第一讲比较与估算重点.pdf

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1、1 第一讲 比较与估算 一 要求 基本要求较高要求竞赛要求 1.掌握分数大小比较的几种 常用方法。 2.会用放缩法求若干小数或 分数的和的整数部分。 1.同基本要求。 2.灵活运用重要结论及“加 成分数”思想构造符合要 求的分数。 1.同较高要求。 2.会用分段放缩法求若干小 数 或 分 数 的 和 的 整 数 部 分。 二 知识点总结及相关例题。 1.分数大小比较的几种常见方法。 通分 通分子 通分母 若干分数的分子或分母之间若有倍数关系，宜用通分法。 例：比较下列分数的大小。 3 2 , 5 3 , 7 5 , 19 15 , 37 30 比倒数。倒数越小，原来分数越大 与 1 比较法 分

2、数越小。减比较差，差越大，原真分数： 数越大。比较差，差越大，原分假分数：减 1 1 注：有时我们不一定和1 去比较，当若干个分数都统一接近某个数M时，我们 就要和 M去比较。 例：比较下列分数的大小。 8 3 ， 24 7 ， 32 9 ， 16 5 ， 40 11 解析：这些分数都接近于 4 1 ， 可以和 4 1 去比较。 重要结论 大，分数的值越大。时，分子与分母的值越差真分数：分子与分母的 大，分数的值越小。时，分子与分母的值越差假分数：分子与分母的 same same 注：要会灵活运用这两个结论，当分子与分母的差不一样时，可利用分数 的性质扩大或缩小这个差，使之变成一样。 例：比较

3、下列分数的大小。 7 5 ， 23 20 ， 33 29 ， 161 149 解析：分子分母的差分别为2，3，4，12. 可将前三个分数的分子与分母分 别乘以 6，4，3，使之差都变为12 再利用结论去比较。 例：比较下列分数的大小。 97 53 ， 1715 1311 ， 2523 2119 解析：利用分子与分母的规律性，可将每个分数拆成分子与分母的差相同 的两个分数相乘的形式再进行比较。 97 53 = 9 5 7 3 ； 1715 1311 = 17 13 15 11 ； 2523 2119 = 25 21 23 19 ； 2 因为： 7 3 c d , 则 bcad: 如果 a b b

4、 3 c 5 d 7 e 9 , 求 a+b+c+d+e 的最小值。（字母为不相同的整数） 解析：a 越小，b， c， d， e 则越小。a 最小为 2， 所以 b3a ,b 最小为 7； 3c5b,c 最小为 12； 5d7c,d 最小 17；7e9d,e 最小为 22. 则 a+b+c+d+e 最 小为 2+7+12+17+22=60. 2.放缩法求整数部分。 整体放缩 : （ 最小项项数）S10 所以 S的整数部分为10. 以中间项为标准放缩。 有时我们进行整体放缩时会发现，不能将和置于两个连续整数之间，这是因为 我们放的太大的缘故，此时可以中间项为标准进行放缩。 例：求 A= 28 1

5、 11 1 10 1 的整数部分 解析：如果进行整体放缩， 10 19 28 19 A, 则不能确定A的整数部分； 我们先来比较一下 28 1 10 1 与 19 1 19 1 的大小： 28 1 10 1 = 2810 1028 = 2810 1919 ， 因 为10 28 1919 1919 19 1 19 1 , 即 ： 28 1 10 1 19 1 19 1 同 理 可 知 ： 27 1 11 1 19 1 19 1 , 26 1 12 1 19 1 19 1 , 20 1 18 1 19 1 19 1 3 所以我们可以最中间的分数和最大分数为标准。共19 个分数，最 中间的分数为 1

6、9 1 ， 10 19 19 19 A，则 A的整数部分为1. 分段放缩 有时我们以中间项为标准也不能将和置于两个整数之间，则要进行分段放缩。 例：求 A= 30 1 11 1 10 1 的整数部分。 解析：以中间项为标准放缩， 10 21 20 21 A，则不能确定A的整数部分。 可将 A分为两段， M= 19 1 11 1 10 1 ,N= 30 1 11 1 20 1 则： 10 10 M=1， 20 11 N 所以： A=M+N 20 21 =1 20 1 所以： A的整数部分为1. 第二讲 曲线图形 一要求 基本要求较高要求竞赛要求 1.掌握圆、扇形的面积及周 长的求法。 2.掌握基

7、本的曲线图形的求 法。 3.会用割补，平移法求简单 曲线图形的面积。 1.同基本要求。 2.会用等级变形及借来还去 的思想解决较复杂的曲线 图形。 1.同较高要求。 2.会对复杂图形进行简答化 处理。 知识点及相关例题。 1.圆，扇形 圆的面积 = r 2 扇形的面积 = r 2 360 n 圆的周长 =2r = d 扇形的周长 =2r 360 n +2r 扇形的弧长 =2r 360 n 2. 与圆相关的基本图形 弓形：弓形面积=扇形面积 - 三角形面积 注：在曲线形图形里，用到三角形面积时，经常会遇到 等腰直角三角形。要会利用等腰直角三角形的特殊性。 等腰直角三角形的面积=直角边的的平方2

8、=斜边的平方 4 4 弯角：弯角的面积=正方形的面积 - 扇形 谷子：谷子的面积=弓形面积 2 3.几种常见图形的的切割，平移，旋转利用 3 3 B A 3 3 AB C D E (2) (1) E D C B A 4545 20cm A C B 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O DC B A _ 3 5 第三讲 质数与合数 一要求 基本要求较高要求竞赛要求 4.会判断一个较大整数是否 是质数。 掌握 2 的特殊性。 5.会拆分整数， 求最大乘积。 6.会构造连续合数。 3.同基本要求。 4.会利用完全平方数有奇数 个约数的性质。 5.掌握在不同条件下整数的 分拆方法。

9、 3.同较高要求。 4.会求有固数量个约数的整 数。 二知识点及相关例题 1.2 是唯一的偶质数。 例： 已知 m ，n 均为质数，且 nm 22 53 =167，求 nm 22 的值。 解析： 167 为奇数，只有偶数+奇数 =奇数，所以 nm 22 53和一个为偶数， 一个为奇数。因为m.n 均为质数，所以其中有一个是2。假设 m=2 ， n 2 5=167-3 4=155， n 2 =31，不符题意。 假设 n=2， m 2 3=167-5 4=147， m 2 =49，m=7. nm 22 =49+4=53. 2.构造 n 个连续合数。 法一：令m= 2,3,4, ,n ， （n+1）

10、 则 m+2 ， m+3 ， m+n ， m+n+1为 n 个连续合数。 法二：令m=2 34 n(n+1) 则 m+2 ， m+3 ， m+n ， m+n+1为 n 个连续合数。 3.将整数 m分拆成若干个整数之和，求这些整数的最大乘积。 当分拆个数不受限制时 A：各个整数可以相同时，尽可能多拆3，不能有1，最多有两个2 例：把 100 拆成若干整数之和，这些整数的乘积最大是多少？ 解析： 100 若拆成 33 个 3，还余下 1，所以此时要拿出一个3 和 1 凑成 4，然后把4 拆成两个 2. 最大乘积为4 3 32 B: 各个整数不能相同时，尽可能拆成从2 开始的连续自然数。如果恰 好可

11、以拆成从2 开始的若干个连续自然数的和，则最好不过；如果 不能，则将不足的部分m平均分给最后m个数。 例：把 100 拆成若干不相同的整数之和，这些整数的乘积最大是多少？ 解析： 2+3+4+ +13=90, 90+14=104100,当我们把100 拆成从2 加到 13 时不够100，再加上14 又大于 100 时，我们要把 100-90=10 平均分配给最后10 个数，即：把 100 拆成 2，3， 5，6，7，8，9，10，11，12，13，14. 所以最大乘积 =23 5678 910 11121314. 当分拆个数有限制时。各个整数要尽可能接近。 6 4.完全平方数有奇数个约数，质数

12、的完全平方数有3 个约数。 例：屋里有200 盏亮着的灯，把这些灯按1200 的顺序编号。有200 名小朋 友也按1200 的顺序编号，然后这些小朋友依次进入房间，每个小朋友 都把编号是自己编号倍数的灯的灯绳拉一下，然后走出房间。所有小朋友 都出来后，问：房间里还有多少盏灯市亮着的？ 解析：每一盏灯都至少被拉了一次，只有被拉了偶数次的灯最后还是亮着 的，也就是说被拉了奇数次的灯是熄灭的。什么样的灯被拉了奇数 次呢？只有编号是完全平方数的灯被拉了奇数次。 14 2 =196，也就 是说 200 之内有 14 个数是完全平方数。200-14=186. 最后还有186 盏灯是亮着的。 第四讲 余数问

13、题 一要求 基本要求较高要求竞赛要求 1.掌握被除数、除数、商、 余数之间的关系。 2.会利用同余性质求除数。 3.会利用同余性质求较大数 的余数。 1.同基本要求。 2.会构造同余。 1.同较高要求。 2.会利用余数性质求 m n 的 最后两位数字。 注：本讲尖子班学案2 题目有误。 有些老师可能按照例3 的方法进行讲解求出答案 为 8465。本题讲解思路没有问题，但题目有问题。在所剩余的5 个数中，不 可能找出三个数的和是另外两个数的和的8 倍。所以此题不可能实现，无正确 答案。在此更正。 附学案 2：六张卡片上分别标上2357 、2367、 2127 、 3435 、 2485 、 84

14、65 六个数，甲取3 张，乙取 2 张，丙取 1 张，结果发现甲乙各自手中 卡片上的数之和一个人是另一个人的8 倍， 则丙手中卡片上的数是 多少？ 二 知识点及相关例题 1.余数的性质 如果 A B=C D, 则 A=B C+D,B=(A-D) C,D=A-B C 例： 在除法算式A B=C D中， C为 11，D为 14， A+B+C+D=219,A是多 少？ 解析： A=B C+D=11B+14,所以 A+B+C+D=11B+14+B+11+14=219 12B=219-11-2 14=180 B=15 小结：除数 = （被除数 +除数 +商+余数） - （商 -2 余数） （商 +1）

15、7 A 与 B的和（积）除以 C的余数等于A和 B分别除以C所得余数之和 （积）。 （当这个和或积大于除数C时，要用这个和或积再去除以C）. 例： 求（ 35 20082009 ）除以 26 的余数。 解析： 当我们求一个形如 a n 这样数除以b 所得的余数时， 我们要尽量 先找到一个数m ，满足 a m 除以 b 余 0 或者余 1，这样再利用余 数的性质就好解决了。 5 4 =625， 625 除以 26 余 1，2009=4 502+1 则： 5 2009 除以 26 的余数就等于 1502 111 个 5 除以 26 所得的余数， 即为 5；3 3 =27，27 除以 26 余 1，

16、2008=3669+1， 3 2008 除以 26 的余数就等于 1669 111 个 3除以 26所得的余数， 即为 3. （ 35 20082009 ）除以 26 的余数就等于5+3，即为 8. 2.同余性质。 如果两个数a 和 b 除以 m所得的余数相同，我们就称a 和 b 关于模 m同余。 记为： a b（mod m ） 如果 a b（mod m ） ，则 a 与 b 的差定能被m整除。反之亦然。 例 ：一个大于1 的整数 A，除 231，346，93 得到的余数相同，则A等于多 少？ 解析：因为 :231 34693（mod A） ，346-231=115 ，231-93=138 所

17、以 93，138 均能被 A整除，即： A是 115 和 138 的公约数。 两个数的公约数是这两个数的最大公约数的约数。（115， 138） =23， 23为质数，它的约数只有1 和 23，所以 A=23. 例： （不同余构造同余）一个整数A，除 131，107， ，200 所得余数分别为m ， 2m+1 ，3m+2 ， A为多少？ 解析： 这三个数不同余，我们要先构造同余。构造同余时要掌握技巧，尽 量把数往小变。107 除以 A余 2m+1， （107-1 ） 2=53，则 53 除以 A 余 m ；200 除以 A余 3m+2 ， （200-2 ） 3=66，则 66 除以 A余 m 。

18、 有： 131 5366（mod A） ，131-66=65， 66-53=13 ， （65，13）=13， A是 13 的约数， A不可能是 1，只能是13. 注意：当所求的最大公约数不是质数，即不止一个非1 的约数时， 我们要把这些约数一一加以验证，求得满足条件的A。 任意 n+1 个整数中，根据抽屉原理。可知至少能找到两个数关于模n 同余。 例：任意给定6个数，一定找到两个数除以5 所得余数相同。 8 第五讲分数计算的特殊方法 一要求 基本要求较高要求竞赛要求 1.掌 握 基 本 的 裂 差 裂 和 公 式。 2.熟练运用换元法。 3.了解通项归纳法。 1.同基本要求。 2.会在不同条件

19、下综合利用 裂差裂和公式进行计算。 3.会利用通项归纳法进行归 纳，达到裂项要求。 1.同较高要求。 2.对符合裂项条件的分数运 算，能熟练进行心算。 3.能熟练运用通项归纳法对 复杂分数求得通项公式。 二知识点及相关例题 1. 裂差 abba ba11 例：求 2115 6 1510 5 106 4 63 3 31 2 的值。 解：原式 = 2115 1521 1510 1015 106 610 63 36 31 13 = 21 1 15 1 15 1 10 1 10 1 6 1 6 1 3 1 3 1 1 1 = 21 20 1 11 )1( 1 nnnn ) 11 ( 1 )( 1 kn

20、nkknn ) 11 ( )(knnk m knn m 例: 求 145141 29 139 29 95 29 51 29 的值。 解：这里k=4，m=9. 原式 =) 145 1 141 1 141 1 137 1 9 1 5 1 5 1 1 1 ( 4 29 =) 145 1 1 1 ( 4 29 = 145 144 4 29 = 5 36 9 )2()( 1 )( 1 2)2()(knknknnk m knknn m 2. 裂和 abba ba11 a n b m ba nbma 例：计算 63 43 45 46 21 13 6 5 7 1 5 1 3 1 2 1 解析： 对于多个分数的

21、加减计算，我们一般会采取裂项的方法。裂差的目的一 般是为了抵消某些项，裂和的目的有时是为了抵消，有时是为了创造同 分母分数， 进而凑整。 这就要求我们学会观察每个分数的分子与分母的 关联。 很明显， 前四个分数不可能裂项，后面的分数也很难实现裂差，如果用 裂和的方法， 因为全是加号， 也就不存在抵消的可能。所以很可能要创 造同分母分数，进而凑整。 原式 = 97 794 95 9452 73 732 32 32 7 1 5 1 3 1 2 1 = 9 1 7 4 5 4 9 2 3 1 7 2 3 1 2 1 7 1 5 1 3 1 2 1 =) 9 1 9 2 () 7 4 7 2 7 1

22、() 5 4 5 1 () 3 1 3 1 3 1 () 2 1 2 1 ( = 3 1 4 3. 换元法 换元法的宗旨就是把某些很复杂或者总是反复出现的数或者整体用一个字母来代 替，进而达到简化书写和简化计算的目的。 4.通项归纳法 通项归纳法就是把“形似”的复杂算式，用字母来表示出其中的规律性，然后进行简 化进而得到常见的，利于我们计算的一般形式。 例：计算 ) 99 1 1() 3 1 1)( 2 1 1( 99 1 ) 4 1 1)( 3 1 1)( 2 1 1( 4 1 ) 3 1 1)( 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 2 1 解析：用通项归纳法进行归纳时，要先观察每一项分析分

23、子与分母的规律，进而用含 有字母（我们通常用n）的式子来表达每一项。 这个复杂的算式共包括98 项，先观察分子，每一项的分子都等于 1 1 项数 ，则 10 第n项的分 子= 1n 1 ；再分析 分母，第n项的分母 =) 1 1 1)( 1 1 () 3 1 1)( 2 1 1( nn = 1 21 4 5 3 4 2 3 n n n n = 2 2n 则第 n 项= )2)(1( 2 2 2 1 1 2 2 1 1 nn n n n n 。 原式 = )21)(11( 2 + )22)(12( 2 + + )297)(197( 2 + )298)(198( 2 = 32 2 + 43 2 +

24、 + 9998 2 + 10099 2 =) 100 1 2 1 ( 1 2 = 50 49 第六讲 进制与位值 一要求 基本要求较高要求竞赛要求 1.掌握整数在不同进制之间 的转换。 2.掌握 n 进制数的凑整。 3.掌握三个不同数字所组成 的 六 个 三 位 数 的 和 的 求 法。 1.同基本要求。 2.会利用分拆法转换十进制 数。 3.掌握小数在十进制与二进 制之间的转换。 1.同较高要求。 2.掌握 N 个不同数字所组成 的 P N N 个 N 位数的和的求 法。 3.已知三个数字所组成的6 个三位数中5 个的和，会 求另一个三位数。 二 知识点及相关例题 1.n 进制数每一位的位值

25、 对 n 进制数 aaaaa mm0121 aa 00 1 naa 1 11 naa 2 22 11 naa m mm 1 11 naa m mm 2.十进制数与n 进制数之间的互换。 n 进制整数转换成十进制： aaaaa mm0121 （n）= a0 + na 1 1 + na 2 2 + + na m m 1 1 + na m m 十进制整数转换成n 进制数 除 n 倒取余数法。 十进制小数转换成N 进制小数都可以采用“乘 n 正取整数法”.一直乘 到小数部分为0 止。 例如：把十进制数0.6224 转换成 5 进制数。 0.6224 5=3.112 3 0.1125=0.56 0 0.

26、565=2.8 2 0.85=4.0 4 )3024.0()6224. 0( 510 N 进制小数如何转换成十进制小数 对于一个N进制小数，我们只要把小数点右边的每一位数字所对应的位值相加 即可。 例：把 )211.0( 5 转换成十进制小数 )231.0( 5 = 125 1 1 25 1 3 5 1 2=0.4+0.12+0.008=0.528 例：把 )1011.0( 2 转换成十进制小数 )1011.0( 2 = 16 1 1 8 1 1 4 1 0 2 1 1=0.5+0.125+0.0625=0.6875 m 进制与 n 进制之间的转换 非十进制数转换成另一种非十进制数，我们通常以

27、十进制为桥梁。 3.n 进制数的混合运算 在做一道n 进制的混合运算题时，我们可以把所有的数都转换成我们熟悉的十进 制数后再计算，求出结果后再转换回n 进制数，但这样通常比较麻烦，比较耽误 时间。实际上我们可以直接利用n 进制计算，只不过需要注意的是，借位时，借 “1”当“ n” ，进位时，满“n”进“ 1” 。凑整时，凑“n”而非凑“十” 。 12 4.反序数的性质 两个互为反序数的数，这两个数如果有奇数位，则这两个数的差是99 的倍数； 如果两个数如果有偶数位，则这两个数的差是9 的倍数。 例： 1234 和 4321 互为反序数，且为四位数，则4321-1234=3087 是 9 的倍数

28、。 123456789和987654321互 为 反 序 数 ， 且 为9位 数 ， 则 987654321-123456789=864197532 是 99 的倍数。 5.利用位值原理和排列知识解决问题。 例 ：有三个数字能组成6 个不同的三位数，这6个三位数的和是4440，求所有这 样的 6 个三位数中最小的三位数。 解析：三个数字能组成6 个三位数，则这三个数字一定是3 个非 0 的不同数字。 假设这三个数字分别为a、b、c，则 a、b、c 分别在百位、十位、个位出 现了 2 次，所以这六个三位数的和为（a+b+c） 222. （a+b+c） 222=4440， （a+b+c） =20，

29、要想组成的三位数最小，则百位越 小越好，但百位不能为1， 20-1=19 ， 19 不能拆成两个不相同的一位数之和； 百位也不能为2，20-2=18 ，18 也不能拆成两个不相同的一位数之和；百位 最小为 3，十位最小为8，个位为9，最小的三位数是389. 由此题可以引导学生掌握四个、五个、六个不同的且不含0 的数字可分别组成 少个不含重复数字的四位数、五位数、六位数，这些数的总和是多少？。 四个数字：共可组成24 4 4 A 个四位数，每个数字分别在千位、百位、十 位、个位个出现6 次，所以这24 个四位数的和 =（a+b+c+d） 6000+（a+b+c+d） 600+（a+b+c+d）

30、60+ （a+b+c+d） 6=（a+b+c+d） 6666. 五个数字：共可组成120 5 5 A 个五位数，每个数字分别在万位、千位、 百位、十位、个位个出现24 次， 所以这 120 个五位数的和 = （a+b+c+d+e） 240000+ （a+b+c+d+e） 24000+ （a+b+c+d+e） 2400+（a+b+c+d+e） 240+（a+b+c+d+e） 24 =（a+b+c+d+e） 266664 六个数字： 共可组成720 6 6 A 个五位数， 每个数字分别在十万位、万位、 千位、百位、十位、个位个出现120 次，所以这720 个六位数 的和 =（ a+b+c+d+e+

31、f ） 12000000+ （ a+b+c+d+e+f ） 1200000+ （ a+b+c+d+e+f ） 120000+ （ a+b+c+d+e+f ） 12000+ （a+b+c+d+e+f ） 1200+ （a+b+c+d+e+f ） 120 =（a+b+c+d+e+f ） 13333320 13 例：三个数字可以组成6 个不同的三位数，其中五个的和为2075，则这三 个数字分别是多少？ 【解析】 6 个三位数的和为（a+b+c） 222，而我们知道了 其中五个的和，由此可判断出这六个数的和的范围， 进一步推断出（a+b+c）的范围，然后作进一步判断。 因为剩余的那个三位数最大为987

32、，最小为123，则： 2075+123（ a+b+c） 2222075+987，即： 2188（ a+b+c） 2223062，那么： 2188 222a+b+c3062222 9.85 a+b+c 13.79 ，所以 a+b+c 的和可能为10、 11、12、13 假设 a+b+c=13，则剩余的三位数=13222-2075=811 ，不符。 假设 a+b+c=12，则剩余的三位数=12222-2075=589 ，不符。 假设 a+b+c=11，则剩余的三位数=11222-2075=367 ，不符。 假设 a+b+c=10，则剩余的三位数=10222-2075=145 ，相符。 所以这三个数字分别为1、 4、5. 注：由于时间紧张，本人尚未进行校正，如有错误，敬请 谅解，并欢迎指正。谢谢！