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1、圆梦教育中心圆与方程知识点总结 1. 圆的标准方程：以点),(baC为圆心， r 为半径的圆的标准方程是 222 )()(rbyax . 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是： 222 ryx . 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r ： a.点在圆内dr ； b.点在圆上d=r ； c.点在圆外dr (2). 给定点),( 00 yxM及圆 222 )()(:rbyaxC. M 在圆 C 内 22 0 2 0 )()(rbyax M 在圆 C 上 22 0 2 0 )()rbyax（ M 在圆 C 外 22 0 2 0 )()(rbyax （3）涉及最
2、值： 圆外一点 B，圆上一动点P，讨论PB 的最值 min PBBNBCr max PBBMBCr 圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 min PAANrAC max PAAMrAC 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 3. 圆的一般方程：0 22 FEyDxyx . (1) 当04 22 FED时，方程表示一个圆，其中圆心 2 , 2 ED C，半径 2 4 22 FED r. (2) 当04 22 FED时，方程表示一个点 2 , 2 ED . (3) 当04 22 FED时，方程不表示任何图形. 注：方程0 22 FEyDxCyBxyAx 表示圆的充要条件是：0B且0CA且
3、04 22 AFED. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0CByAx与圆 222 )()(rbyax 圆心到直线的距离 22 BA CBbAa d 1）无交点直线与圆相离rd； 2） 只有一个交点直线与圆相切rd ； 3）有两个交点直线与圆相交rd；弦长 |AB|=2 22 dr d r d=r r d 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 0 0 22 FEyDxyx CByAx 求解，通过解的个数来判断： （1）当 0时，直线与圆有 2 个交点，直线与圆相交； （2）当 0时，直线与圆只有 1 个交点，直线与圆相切； （3）当 0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 5. 两圆的位置关系
4、 （1）设两圆 2 1 2 1 2 11 )()(:rbyaxC 与圆 2 2 2 2 2 22 )()(:rbyaxC ， 圆心距 2 21 2 21 )()(bbaad 条公切线外离4 21rrd； 条公切线外切3 21 rrd； 条公切线相交2 2121 rrdrr ； 条公切线内切1 21 rrd ； 无公切线内含 21 0rrd ； 外离外切相交内切 （2）两圆公共弦所在直线方程 圆 1 C： 22 111 0xyD xE yF ， 圆 2 C： 22 222 0xyD xE yF， 则 121212 0DDxEEyFF为两相交圆公共弦方程. 补充说明： 若 1 C与 2 C相切，则
5、表示其中一条公切线方程； 若 1C 与 2 C相离，则表示连心线的中垂线方程. （3）圆系问题 过 两 圆 1C： 22 111 0xyD xE yF和 2 C： 22 222 0xyD xE yF交 点 的 圆 系 方 程 为 2222 111222 0xyD xE yFxyD xE yF（1） 补充： 上述圆系不包括 2 C； 2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） 过直线0AxByC与圆 22 0xyDxEyF交点的圆系方程为 22 0xyDxEyFAxByC 6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： k 不存在，验证是否成立 k 存在，设点斜式方程，用圆心到该
6、直线距离=半径，即 1 )( )( 2 11 0101 R xakyb R xxkyy 求解 k，得到切线方程【一定两解】 例 1. 经过点 P(1， 2) 点作圆 (x+1) 2+( y2) 2=4 的切线，则切线方程为 。 (2) 过圆上一点的切线方程：圆 (xa) 2+( yb) 2=r2，圆上一点为 (x0，y0) ， 则过此点的切线方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)= r 2 特别地，过圆 222 ryx上一点),( 00 yxP的切线方程为 2 00 ryyxx. 例 2. 经过点 P(4， 8) 点作圆 (x+7) 2+ (y+8) 2=9 的切线，则切线方程为 。 7
7、切点弦 (1) 过C： 222 )()(rbyax外一点),( 00 yxP作C的两条切线，切点分别为BA、，则切点弦AB所在直 线方程为： 2 00 )()(rbybyaxax 8. 切线长： 若圆的方程为 (xa) 2 (yb) 2=r2，则过圆外一点 P(x0,y0) 的切线长为d= 22 0 2 0b)(+)(ryax 9. 圆心的三个重要几何性质： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例. 已知圆 C1：x 2 + y 2 2x =0 和圆 C2：x 2 + y 2 +4 y=0，试判断圆和位置关系， 若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。