山东省泰安市2019年中考数学真题试题(含解析).pdf

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1、2019 年山东省泰安市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正 确的选项选出来，每小题选对得4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1 （ 4 分）在实数 | 3.14| ， 3， 中，最小的数是（） AB 3 C| 3.14| D 2 （ 4 分）下列运算正确的是（） Aa 6 a 3 a 3 Ba 4?a2a8 C （ 2a 2）36a6 Da 2+a2 a 4 3 （ 4 分） 2018 年 12 月 8 日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦 娥四号”进入近地点约200 公里、远地点约42 万公里

2、的地月转移轨道，将数据42 万公 里用科学记数法表示为（） A 4.2 10 9 米B 4.2 10 8 米C4210 7 米D4.2 10 7 米 4 （ 4 分）下列图形： 是轴对称图形且有两条对称轴的是（） ABCD 5 （ 4 分）如图，直线1112， 130，则 2+3（） A 150B 180C210D240 6 （ 4 分）某射击运动员在训练中射击了10 次，成绩如图所示： 下列结论不正确的是（） A众数是8 B中位数是8 C平均数是8.2 D方差是1.2 7 （ 4 分）不等式组的解集是（） Ax2 Bx 2 C 2x 2 D 2x2 8 （ 4 分）如图，一艘船由A港沿北偏东

3、65方向航行30km至B港，然后再沿北偏西 40方向航行至C港，C港在A港北偏东 20方向，则A，C两港之间的距离为（） km A 30+30B 30+10C10+30D30 9 （ 4分）如图，ABC是O的内接三角形，A119，过点C的圆的切线交BO于点P， 则P的度数为（） A 32B 31C29D61 10 （4 分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5 的五个小球，这些球除标号外都相同， 从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（） ABCD 11 （4 分）如图，将O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若O的半径为3，则的长 为（） AB C2D3 12 （4 分）如图，

4、矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为 DF中点，连接PB，则PB的最小值是（） A 2 B 4 CD 二、填空题（本大题共6 小题，满分24 分，只要求填写最后结果，每小题填对得4 分） 13 （4 分）已知关于x的一元二次方程x 2（ 2k1）x+k2+30 有两个不相等的实数根， 则实数k的取值范围是 14 （4 分） 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚， 白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思 是：甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11 枚（每枚白银重量 相同） ，

5、称重两袋相等，两袋互相交换1 枚后，甲袋比乙袋轻了13 两（袋子重量忽略不 计） ，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可 列方程组为 15 （4 分）如图，AOB90，B30，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、 点C，交OB于点D，若OA3，则阴影都分的面积为 16 （4 分）若二次函数yx 2+bx5 的对称轴为直线 x2，则关于x的方程x 2+bx5 2x 13 的解为 17 （4 分）在平面直角坐标系中，直线l：yx+1 与y轴交于点A1，如图所示，依次作正 方形OA1B1C1， 正方形C1A2B2C2， 正方形C2A3B3C3， 正方形C3A

6、4B4C4， ，点A1，A2，A3，A4， 在直线l上，点C1，C2，C3，C4，在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和 是 18 （4 分）如图，矩形ABCD中，AB3，BC12，E为AD中点，F为AB上一点，将 AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 三、解答题（本大题共7 小题，满分78 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演 步骤） 19 （8 分）先化简，再求值： （a9+）（a1） ，其中a 20 （8 分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生 的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50 分） ，绘制了如下的统计图表（不

7、完整）： 组别分数人数 第 1 组90x100 8 第 2 组80x90 a 第 3 组70x80 10 第 4 组60x70 b 第 5 组50x60 3 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求出a，b的值； （2）计算扇形统计图中“第5 组”所在扇形圆心角的度数； （3）若该校共有1800 名学生，那么成绩高于80 分的共有多少人？ 21 （11 分）已知一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象交于点A，与x轴交 于点B（5，0） ，若OBAB，且SOAB （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点P为x轴上一点，ABP是等腰三角形，求点P的坐标 22 （11 分）端午节是我

8、国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗某商场在端午节来临之际 用 3000 元购进A、B两种粽子1100 个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同已知 A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2 倍 （1）求A、B两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过7000 元的资金再次购进A、B两种粽子共2600 个，已知A、B两种 粽子的进价不变求A种粽子最多能购进多少个？ 23 （13 分）在矩形ABCD中，AEBD于点E，点P是边AD上一点 （1）若BP平分ABD，交AE于点G，PFBD于点F，如图，证明四边形AGFP是菱形； （2）若PEEC，如图，求证：AE?ABDE?AP； （3）在（ 2）的条

9、件下，若AB1，BC2，求AP的长 24 （13 分）若二次函数yax 2+ bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0） 、B（0，2） ， 且过点C（2， 2） （1）求二次函数表达式； （2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且SPBA4，求点P的坐标； （3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使ABOABM？若存在，求出点M到y轴 的距离；若不存在，请说明理由 25 （14 分）如图，四边形ABCD是正方形，EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且 CEF90，FGAD，垂足为点C （1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明； （2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给

10、出证明；若不垂直，说明理由 2019 年山东省泰安市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正 确的选项选出来，每小题选对得4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1 （ 4 分）在实数 | 3.14| ， 3， 中，最小的数是（） AB 3 C| 3.14| D 【分析】 根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小 【解答】 解： | | 3| 3 （ 3） C、D项为正数，A、B项为负数， 正数大于负数， 故选：B 【点评】 此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负

11、数比较大 小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“ 2 （ 4 分）下列运算正确的是（） Aa 6 a 3 a 3 Ba 4?a2a8 C （ 2a 2）36a6 Da 2+a2 a 4 【分析】 直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分 别计算得出答案 【解答】 解：A、a 6 a 3 a 3，故此选项正确； B、a 4?a2 a 6，故此选项错误； C、 （2a 2 ） 38a6，故此选项错误； D、a 2+a22a2，故此选项错误； 故选：A 【点评】 此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌 握相关运算法则是解题关

12、键 3 （ 4 分） 2018 年 12 月 8 日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦 娥四号”进入近地点约200 公里、远地点约42 万公里的地月转移轨道，将数据42 万公 里用科学记数法表示为（） A 4.2 10 9 米B 4.2 10 8 米C4210 7 米D4.2 10 7 米 【分析】 科学记数法的表示形式为a10 n 的形式，其中1|a| 10，n为整数确定n 的值时， 要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n是正数；当原数的绝对值1 时，n是负数 【解答】 解： 42 万公里 420000000m用

13、科学记数法表示为：4.2 10 8 米， 故选：B 【点评】 此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10 n 的形式， 其中 1|a| 10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值 4 （ 4 分）下列图形： 是轴对称图形且有两条对称轴的是（） ABCD 【分析】 根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解 【解答】 解：是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确； 是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确； 是轴对称图形且有4 条对称轴，故本选项错误； 不是轴对称图形，故本选项错误 故选：A 【点评】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，

14、图形两部分 折叠后可重合 5 （ 4 分）如图，直线1112， 130，则 2+3（） A 150B 180C210D240 【分析】 过点E作EF 11，利用平行线的性质解答即可 【解答】 解：过点E作EF11， 1112，EF11， EF1112， 1AEF30，FEC+3180， 2+3AEF+FEC+330+180 210， 故选：C 【点评】 此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答 6 （ 4 分）某射击运动员在训练中射击了10 次，成绩如图所示： 下列结论不正确的是（） A众数是8 B中位数是8 C平均数是8.2 D方差是1.2 【分析】 根据众数、中位数、平均数以及方差

15、的算法进行计算，即可得到不正确的选项 【解答】 解：由图可得，数据8 出现 3 次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确； 10 次成绩排序后为：6，7，7， 8，8，8，9， 9，10， 10，所以中位数是（8+8） 8， 故B选项正确； 平均数为（6+72+83+92+102） 8.2 ，故C选项正确； 方差为 （68.2 ） 2+（78.2 ）2+（7 8.2 ）2+（ 88.2 ）2+（88.2 ）2+（88.2 ） 2+（9 8.2 ）2+（98.2 ）2+（108.2 ）2+（10 8.2 ）2 1.56 ，故 D选项错误； 故选：D 【点评】 本题主要考查了众数、中位数、平均数以

16、及方差，用“先平均，再求差，然后 平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差 7 （ 4 分）不等式组的解集是（） Ax2 Bx 2 C 2x 2 D 2x2 【分析】 先求出两个不等式的解集，再求其公共解 【解答】 解：， 由得，x 2， 由得，x2， 所以不等式组的解集是2x2 故选：D 【点评】 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求 不等式组解集的口诀：同大取大， 同小取小， 大小小大中间找，大大小小找不到 （无解） 8 （ 4 分）如图，一艘船由A港沿北偏东65方向航行30km至B港，然后再沿北偏西 40方向航行至C港，C港

17、在A港北偏东 20方向，则A，C两港之间的距离为（） km A 30+30B 30+10C10+30D30 【分析】 根据题意得，CAB65 20，ACB40+20 60，AB30，过B 作BEAC于E，解直角三角形即可得到结论 【解答】 解：根据题意得，CAB65 20，ACB40 +20 60，AB30， 过B作BEAC于E， AEBCEB90， 在 RtABE中，ABE45，AB30， AEBEAB30km， 在 RtCBE中，ACB60， CEBE10km， ACAE+CE30+10， A，C两港之间的距离为（30+10）km， 故选：B 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用，方向角

18、问题，三角形的内角和，是基础知识 比较简单 9 （ 4分）如图，ABC是O的内接三角形，A119，过点C的圆的切线交BO于点P， 则P的度数为（） A 32B 31C29D61 【分析】 连接OC、CD，由切线的性质得出OCP90，由圆内接四边形的性质得出ODC 180A61，由等腰三角形的性质得出OCDODC61，求出DOC58， 由直角三角形的性质即可得出结果 【解答】 解：如图所示：连接OC、CD， PC是O的切线， PCOC， OCP90， A119， ODC180A61， OCOD， OCDODC61， DOC180 261 58， P90DOC32； 故选：A 【点评】 本题考查了

19、切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角 和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键 10 （4 分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5 的五个小球，这些球除标号外都相同， 从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（） ABCD 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的 小球的标号之和大于5 的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】 解：画树状图如图所示： 共有 25 种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有 15 种结果， 两次摸出的小球的标号之和大于5 的概率为； 故选：C 【点评】 本题考查的是用列表法

20、或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不 重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之 比 11 （4 分）如图，将O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若O的半径为3，则的长 为（） AB C2D3 【分析】 连接OA、OB，作OCAB于C，根据翻转变换的性质得到OCOA，根据等腰三 角形的性质、三角形内角和定理求出AOB，根据弧长公式计算即可 【解答】 解：连接OA、OB，作OCAB于C， 由题意得，OCOA， OAC30， OAOB， OBAOAC30， AOB120， 的长2， 故选：C 【点评】 本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，

21、掌握弧长公 式是解题的关键 12 （4 分）如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为 DF中点，连接PB，则PB的最小值是（） A 2 B 4 CD 【分析】 根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得 当BPP1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1P1P2，故BP 的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可 【解答】 解：如图： 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2， P1P2CE且P1P2CE 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP

22、由中位线定理可知：P1PCE且P1PCF 点P的运动轨迹是线段P1P2， 当BPP1P2时，PB取得最小值 矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点， CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12 ADECDECP1B45，DEC90 DP2P190 DP1P245 P2P1B90，即BP1P1P2， BP的最小值为BP1的长 在等腰直角BCP1中，CP1BC2 BP1 2 PB的最小值是2 故选：D 【点评】 本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决 问题，有难度 二、填空题（本大题共6 小题，满分24 分，只要求填写最后结果，每小题填对得4 分） 1

23、3 （4 分）已知关于x的一元二次方程x 2（ 2k1）x+k2+30 有两个不相等的实数根， 则实数k的取值范围是k 【分析】 根据方程有两个不相等的实数根可得（2k1） 2 4（k2+3） 0，求出 k的 取值范围； 【解答】 解：原方程有两个不相等的实数根， （ 2k1） 24（ k 2+3） 4k+1120， 解得k； 故答案为：k 【点评】 本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c 0（a0）的根与 b 24ac 有如下关系： 当 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个 实数根；当0 时，方程无实数根 14 （4 分） 九章算术是我国古代数学的经典著作，

24、书中有一个问题：“今有黄金九枚， 白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思 是：甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11 枚（每枚白银重量 相同） ，称重两袋相等，两袋互相交换1 枚后，甲袋比乙袋轻了13 两（袋子重量忽略不 计） ，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可 列方程组为 【分析】 根据题意可得等量关系：9 枚黄金的重量11 枚白银的重量；（10 枚白银 的重量 +1 枚黄金的重量）（1 枚白银的重量 +8 枚黄金的重量）13 两，根据等量关系 列出方程组即可 【解答】 解：设每枚黄金重x两，

25、每枚白银重y两，由题意得： ， 故答案为： 【点评】 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找 出题目中的等量关系 15 （4 分）如图，AOB90，B30，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、 点C，交OB于点D，若OA3，则阴影都分的面积为 【分析】 连接OC，作CHOB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出 BD，证明AOC为等边三角形，得到AOC 60，COB30，根据扇形面积公式、三 角形面积公式计算即可 【解答】 解：连接OC，作CHOB于H， AOB90，B30， OAB60，AB2OA 6， 由勾股定理得，OB3， OAOC，OA

26、B 60， AOC为等边三角形， AOC60， COB30， COCB，CHOC， 阴影都分的面积33+3， 故答案为： 【点评】 本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、 三角形的面积公式是解题的关键 16 （4 分）若二次函数yx 2+bx5 的对称轴为直线 x2，则关于x的方程x 2+bx5 2x 13 的解为x12，x24 【分析】 根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解 【解答】 解：二次函数yx 2+bx5 的对称轴为直线 x2， ， 得b 4， 则x 2+bx52x13 可化为： x 24x52x13， 解得，x12，x24 故意答案为：x12，x

27、24 【点评】 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解 题的关键 17 （4 分）在平面直角坐标系中，直线l：yx+1 与y轴交于点A1，如图所示，依次作正 方形OA1B1C1， 正方形C1A2B2C2， 正方形C2A3B3C3， 正方形C3A4B4C4， ，点A1，A2，A3，A4， 在直线l上，点C1，C2，C3，C4，在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 （ 2 n1） 【分析】 根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正 方形对角线长的和，本题得以解决 【解答】 解：由题意可得， 点A1的坐标为（ 0，1） ，点

28、A2的坐标为（ 1，2） ，点A3的坐标为（ 3，4） ，点A4的坐标为 （7，8） ， OA1 1，C1A22，C2A34，C3A48， 前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+Cn1An）（1+2+4+8+ +2 n1） ， 设S1+2+4+8+2 n1，则 2S 2+4+8+2 n 1+2n， 则 2SS2 n1， S2 n 1， 1+2+4+8+2 n12n1， 前n个正方形对角线长的和是：（ 2 n1） ， 故答案为：（2 n1） ， 【点评】 本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答 18

29、（4 分）如图，矩形ABCD中，AB3，BC12，E为AD中点，F为AB上一点，将 AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是2 【分析】 连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度， 证明EC平分DCF，再证FEC 90，最后证FECEDC，利用相似的性质即可求出EF的长度 【解答】 解：如图，连接EC， 四边形ABCD为矩形， AD90，BCAD12，DCAB3， E为AD中点， AEDEAD6 由翻折知，AEFGEF， AEGE 6，AEFGEF，EGFEAF90D， GEDE， EC平分DCG， DCEGCE， GEC90GCE，DEC90DCE， GECDE

30、C， FECFEG+GEC 180 90， FECD90， 又DCEGCE， FECEDC， ， EC3， ， FE2， 故答案为： 2 【点评】 本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关 键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果 三、解答题（本大题共7 小题，满分78 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演 步骤） 19 （8 分）先化简，再求值： （a9+）（a1） ，其中a 【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得 【解答】 解：原式（+）（） ? ， 当a时， 原式12 【点评】

31、 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算 法则及二次根式的运算能力 20 （8 分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生 的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50 分） ，绘制了如下的统计图表（不完整）： 组别分数人数 第 1 组90x100 8 第 2 组80x90 a 第 3 组70x80 10 第 4 组60x70 b 第 5 组50x60 3 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求出a，b的值； （2）计算扇形统计图中“第5 组”所在扇形圆心角的度数； （3）若该校共有1800 名学生，那么成绩高于80 分的共有多少人？ 【分

32、析】（1）抽取学生人数1025% 40（人） ，第 2组人数 40 50% 812（人） ，第 4 组人数 40 50% 1037（人） ，所以a12，b7； （2）27，所以“第5 组”所在扇形圆心角的度数为27； （3）成绩高于80 分： 180050% 900（人） ，所以成绩高于80 分的共有900 人 【解答】 解： （1）抽取学生人数1025% 40（人）， 第 2 组人数 40 50% 812（人） ， 第 4 组人数 40 50% 10 37（人） ， a12，b7； （2）27， “第 5 组”所在扇形圆心角的度数为27； （3）成绩高于80 分： 180050% 900（人

33、） ， 成绩高于80 分的共有900 人 【点评】 本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键 21 （11 分）已知一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象交于点A，与x轴交 于点B（5，0） ，若OBAB，且SOAB （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点P为x轴上一点，ABP是等腰三角形，求点P的坐标 【分析】 （1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标， 最后用待定系数法即可得出结论； （2）分三种情况，当ABPB时，得出PB5，即可得出结论； 当ABAP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DPBD4，即可得出结论； 当PBAP时，先表示出AP 2（

34、 9a）2+9， BP 2（ 5 a） 2，进而建立方程求解即可 得出结论 【解答】 解： （1）如图 1，过点A作ADx轴于D， B（5，0） ， OB5， SOAB， 5AD， AD3， OBAB， AB5， 在 RtADB中，BD4， ODOB+BD9， A（9，3） ， 将点A坐标代入反比例函数y中得，m9 327， 反比例函数的解析式为y， 将点A（9，3） ，B（5， 0）代入直线ykx+b中， ， 直线AB的解析式为yx； （2）由（ 1）知，AB5， ABP是等腰三角形， 当ABPB时， PB5， P（0，0）或（ 10，0） ， 当ABAP时，如图2， 由（ 1）知，BD4，

35、 易知，点P与点B关于AD对称， DPBD 4， OP5+4+413，P（13，0） ， 当PBAP时，设P（a，0） ， A（9，3） ，B（5，0） ， AP 2（ 9 a） 2+9， BP 2（ 5 a） 2， （ 9a） 2+9（ 5 a） 2 a， P（， 0） ， 即：满足条件的点P的坐标为（ 0， 0）或（ 10，0）或（ 13，0）或（，0） 【点评】 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积， 等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键 22 （11 分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗某商场在端午节来临之际 用 3000

36、 元购进A、B两种粽子1100 个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同已知 A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2 倍 （1）求A、B两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过7000 元的资金再次购进A、B两种粽子共2600 个，已知A、B两种 粽子的进价不变求A种粽子最多能购进多少个？ 【分析】（1）设B种粽子单价为x元/ 个，则A种粽子单价为1.2x元/ 个，根据数量总 价单价结合用3000 元购进A、B两种粽子1100 个，即可得出关于x的分式方程，解之 经检验后即可得出结论； （2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（ 2600m）个，根据总价单价数量结 合总价不超过7000 元

37、，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得 出结论 【解答】 解： （1）设B种粽子单价为x元/ 个，则A种粽子单价为1.2x元/ 个， 根据题意，得：+ 1100， 解得：x2.5 ， 经检验，x2.5 是原方程的解，且符合题意， 1.2x3 答：A种粽子单价为3 元/ 个，B种粽子单价为2.5 元/ 个 （2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（ 2600m）个， 依题意，得：3m+2.5 （2600m） 7000， 解得：m1000 答：A种粽子最多能购进1000 个 【点评】 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1） 找准等量关系，正确列出

38、分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不 等式 23 （13 分）在矩形ABCD中，AEBD于点E，点P是边AD上一点 （1）若BP平分ABD，交AE于点G，PFBD于点F，如图，证明四边形AGFP是菱形； （2）若PEEC，如图，求证：AE?ABDE?AP； （3）在（ 2）的条件下，若AB1，BC2，求AP的长 【分析】（1）想办法证明AGPF，AGPF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA PF即可解决问题 （2）证明AEPDEC，可得，由此即可解决问题 （3）利用（ 2）中结论求出DE，AE即可 【解答】（1）证明：如图中， 四边形ABCD是矩形， BAD90，

39、AEBD， AED90， BAE+EAD90，EAD+ADE90， BAEADE， AGPBAG+ABG，APDADE+PBD，ABGPBD， AGPAPG， APAG， PAAB，PFBD，BP平分ABD， PAPF， PFAG， AEBD，PFBD， PFAG， 四边形AGFP是平行四边形， PAPF， 四边形AGFP是菱形 （2）证明：如图中， AEBD，PEEC， AEDPEC90， AEPDEC， EAD+ADE90，ADE+CDE90， EAPEDC， AEPDEC， ， ABCD， AE?ABDE?AP； （3）解：四边形ABCD是矩形， BCAD 2，BAD90， BD， AE

40、BD， SABD?BD?AE?AB?AD， AE， DE， AE?ABDE?AP； AP 【点评】 本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直 角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 24 （13 分）若二次函数yax 2+ bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0） 、B（0，2） ， 且过点C（2， 2） （1）求二次函数表达式； （2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且SPBA4，求点P的坐标； （3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使ABOABM？若存在，求出点M到y轴 的距离；若不存在，请说明理由 【分析】（1）用

41、A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式 （2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标把t当常数求直线BP 解析式， 进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示） ，即能用t表示AC的长 把PBA 以x轴为界分成ABC与ACP，即得到SPBAAC（OB+PD） 4，用含t的式子代入即 得到关于t的方程，解之即求得点P坐标 （3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE交 抛物线于点M，即有BEOB，根据等腰三角形三线合一得ABOABM，即在抛物线上 （AB下方）存在点M使ABOABM设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OGAB， 利用O

42、AB面积即求得OG进而得OE的长 易求得OABBOG，求OAB的正弦和余弦 值，应用到RtOEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标求直线BE解析式，把BE解 析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即 求出点M到y轴的距离 【解答】 解： （1）二次函数的图象经过点A（ 3，0） 、B（0， 2） 、C（2， 2） 解得： 二次函数表达式为yx 2 x2 （2）如图 1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PDx轴于点D 设P（t，t 2 t 2） （t 3） ODt，PDt 2 t2 设直线BP解析式为ykx2 把点P代入得：kt2t 2 t2 kt 直线BP

43、：y（t）x2 当y0 时， （t）x20，解得：x C（，0） t3 t21 ，即点C一定在点A左侧 AC3 SPBASABC+S ACPAC?OB+AC?PDAC（OB+PD） 4 4 解得：t14，t2 1（舍去） t 2 t2 点P的坐标为（ 4，） （3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使ABOABM 如图 2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M， 过点E作EFy轴于点F AB垂直平分OE BEOB，OGGE ABOABM A（3，0） 、B（0， 2） ，AOB 90 OA3，OB2，AB sin OAB，cosOAB SAOBOA?OBAB

44、?OG OG OE2OG OAB+AOGAOG+BOG90 OABBOG RtOEF中， sin BOG，cosBOG EFOE，OFOE E（，） 设直线BE解析式为yex2 把点E代入得：e2，解得：e 直线BE：yx2 当x 2x 2 x2，解得：x10（舍去），x2 点M横坐标为，即点M到y轴的距离为 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法， 轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用第（3）题点的存在性问题，可先通 过画图确定满足ABOABM的点M位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为 等量关系求线段的长 25 （14 分）如图，四边形ABCD是正方形，EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且 CEF90，FGAD，垂足为点C （1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明； （2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由 【分析】（1）过点F作FMAB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG MF，AMFG，由“AAS”可证EFMCEB，可得BEMF，MEBCAB，可得BEMA MFAGFG； （2）延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CHFH，可得 GHHN，NC