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1、浙教版八年级数学上册知识点 三角形的 初步认识第一章一、三角形的基本概念三角形：不在同 一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。二、三角形 的分类：。按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 （定义，区别） 1.2. 按边分：不等边三角形、等腰三角形、等 边三角形。三、三角形的基本性质 。180 三角形的内角和 是 1. 。三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段 最短得到） 2. 三角形的任何两边的差小于第三边三角形的任 何两边之和大于第三边大于两边之差。应用：知两条确定第 三条范围；知三条判断能否组成三角形；知四条及以上三角 形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的
2、 角。 3. 。做一做） P7 三角形的一个外角等于和他不相邻的两 个内角的和（教材四、几条重要的线三角形的角平分线： 一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和1.二分 之一 2=1=对边中点；三条角平分线都在三角形内且相交于 一点；等量关系式; 三角形的中线：连接一个顶点和它对边 的中点的线段；三条中线都在三角形内且相交于一点；等量关 2. 。等积三角形；周长差三角形AB 二分之一AP=BP= 系式 三角形的高；从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线 段。 3. 锐角三角形的三条高在三角形的内部相交于一点。直 角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，三条高在 三角形的直角顶
3、点处相交于一点。钝角三角形中，夹钝角两 边上的高都在三角形的外部，三条高在三角形的外部相交于一 点。会带来面积问题、直角、直角三角形：垂直并平分一条 线段的直线。 )中垂线 (线段的垂直平分线4. 中垂线性质：线 段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。逆定理：到线 段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。角平分 线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。5. 逆 定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 五、全等三角形全等图形：能够完全重合的两个图形。形 状相同、大小相等的图形；1. 全等三角形：能够完全重合的 两个三角形。 2. 对应顶点：能够相互重合的顶点；3
4、. 相互 重合的边；有公共边的，公共边一定是对应边；对应边：对 应角：相互重合的角。有公共角的，角一定是对应角；有对顶 角的，对顶角一定是对应角；性质定理：全等三角形的对应 角相等，对应边相等。注意“ 对应” 二字。全等三角形的判定 条件 4. 三边对应相等的两个三角形全等；SSS 一个 角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等；SAS 两 个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等；ASA 两个 角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。AAS 不可以判定？ SSA问题：为什么直角三角形的斜边和一条 直角边对应相等的两个直角三角形全等。HL 页 10 共 页 1 第 用符号表示两个三
5、角形全等时，通常 把 对 应 顶 点 的 字 母 写 在 对 应 的 位 置 上 。 （二）灵活运用全等判定定理、判定两个三 角形全等的定理中，必须具备三个条件，且 至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等 的 1 条件时，总是先寻找边相等的可能 性。、要善于发现和利用隐含的等量元素， 如公共角、公共边、对顶角等。2 、要善于 灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 3 ）已知条件中有两角对应相等，可找：1 （(AAS) 任一组等角的对边相等） ASA 夹边相等（）已知条件中有两边对 应相等，可找2（(SSS) 第三组边也相等 (SAS) 夹角相等）已知条件中有 一边一角对应相等，可找3（(SA
6、S) 夹等 角的另一组边相等ASA) 或(AAS 任一组 角相等六、尺规作图尺规作图：在几 何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规 作图，简称尺规作图。作等量线段、作等 量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、 基本作图 1. 作线段的中垂线、作角的平分 线、中垂线角平分线在一起作、2.3. 知三边、 知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上 的高作三角形作法：有规定名称时需格 外注意字母的标注。注意务必考虑三角形 的各要素（类比于三角形全等的判定条件） 七、定义、命题与证明定义：能清楚地规 定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称 或术语的定义。 1. 命题：定义：判断某一件 事情的句子 2. 结构
7、：由条件和结论两部分 组成。句式改写：如果, 那么 , 通过推理 的方式来判断、人们经过长期实践公认为正 确的分类：真命题 ) 具备命题的条件但 不具备命题的结论的实例(通过举反例假命 题原定理、逆定理互逆定理原命题、 逆命题互逆命题 3. 每个命题都有它的逆命 题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。、 一步一步推得结论成立的)包括推论 (证明：从 命题的条件出发，根据已知的定义、基本事 实、定理 4. 推理过程。分清命题的条件和 结论，结合图形，在已知中写出条件，(2)按 题意画出图形 (1)证明几何命题的格式：在 证明中写出推理过程。(3)在求证中写出结论 在解决几何问题时，有时需要添加
8、辅助线。 添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常 画成虚线。第二章 特殊三角形一、图 形的轴对称轴对称图形定义：一个沿着一 条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重 合图形。对称轴：定义、位置的确定、条 数、对称点、作图、性质：对称轴垂直平 分连结两个对称点的线段定义、性质：成 轴对称的两个图形是全等图形。图形的轴 对称二、等腰三角形等腰三角形的性 质：1 边等腰三角形两腰相等；)即 在同一个三角形中，等边对等角(角等腰 三角形两底角相等线等腰三角形三线合 一，这三线是指顶角的平分线、底边上的高 线、底边上的中线，也就是说一条线页 10 共 页 2 第 段充当三种身份；是常添的辅助线条。3条或
9、1 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有等腰三角形的判定： 2 边有两条边相等的三角形是等腰三角形；（注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？）。 角有两内角相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对等边）3 等边三角形的性质：。；三线 合一在每边上都成立。 60 等边三角形各条边相等，各内角相等，且都等于条对称轴。 3 等边三角形是轴对称图形， 它有等边三角形的判定：4 边有三条边相等的三角形是等边三角形； 。的三角形是等边三角形；60 角有 三个角都是。的三角形是等边三角形；60 有两个角都是。的等腰三角形是等边三角形。60 边角有一个角是 三、直角三角形直角三角形的性
10、质：1 角直角三角形两锐角互余；边直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半； 222 =c+ba。边直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理） 角所对的直角边等于 斜边的一半。 30 直角三角形的判定： 2 角有一个角是直角的三角形是直角三角形；角有两个角互余的 三角形是直角三角形；边较小两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形。(边一条边上的中线 等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角) 形是直角三角形，但有助于解 题。直角三角形全等的判定：3 边斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。四、重点解 读学习特殊三角形，应重点分清性质与判定
11、的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个1 图形形状 通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情 况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有2 腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“ 有 两腰相等的三角形是等腰三角；形 ” 直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是 今后研究直角三角形问3 题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；勾股定理反映的是直角三角形 两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条4，就认为另一边一4 和 3” 就认定是斜边。不
12、 要一看到直角三角形两边长为c是直角边，不要一看到字母“ ；5定是 5” 是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法， 只 有 在 已 知 两 个 三 角 形 均 是 直 角 三 角 形 的 前 提 下 ， HL “ ” 等 判 定 一 般 三 角 形 全 等 的 方 法 对 于 直 角 AAS “ 、” ASA “ 、”SAS “、”SSS此方法才有效，当然，以前学过的“ 三角形全等的判定同样有效。 ! 切记两边及其中一 边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，也就是边边角，没有边边角定理。因此在证明全等时千万不要这样做。 本章解题时用到的主要数学思想方法：分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三
13、角形中所求的边、角、周长等） 页 10 共 页 3 第 方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时， 运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求 角度，求边长等面积法解决几何问题时， 主要从几何图形边、角、线三方面入手，分别从题 中、图中找已知条件一元一次不等式的知 识点第三章不等式的概念： .一 不等式中可一般的， 用符号 “ ” （或“”） ，“ ” （或“”）, “”连接的式子 叫做不等式。以含有未知数，也可以不含）的式子 叫做整式，左右两边为0，系数不为1 连接的，含有 一个未知数，并且未知数的次数都是不等号用。一 元一次不等式二、不等式的性质： ab, b c：如果 1 性质 a
14、c 那么 acbc那么 ab,：如果 2 性质， 不等号的方向不变。)或式子 (即不等式的两边都加上 （或减去）同一个数或acbc( ，那么c0，ab：如 果 3 性质 a/cb/c) a/cb如果即不等式的两边都乘以（或除以）同 一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘 以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。不 等号变等号。 0,注；不等式的两边都乘以三、一元 一次不等式：次的不等式，叫做一元一次不等1 左 右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是 1. 式。一元一次不等式的解集：2. 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。） 1（）一个有未知数的不等式的所有
15、解，组成这个 不等式的解集。 2（求一元一次不等式解集的过程 叫做解不等式。 (3) 的特殊解 有限的一个或几个 解。)组(不等式 (4) 四、解一元一次不等式的一般 步骤： （每步的依据）， （每步需注意的事项） ) 没分 母的也要乘，多项式分子放进括号内(）2（不等 式性质、去分母1 ) 负数乘进去时每项都变号) (去括号法则(去括号、2（不等式性质、移项 3) 移 动的项要变号(）1 ) 运算法则要熟练 (（合并同类项法则）合并同类项、4 ) 乘、除以负数 时要变向 (）2（不等式性质 1 、将未知数的系数化 为 5 、在数轴上表示不等式的解集6 ：一元一次不 等式组.五。不等式组一般的
16、，关于同一个未知数的几 个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次） 1（页 10 共 页 4 第 ）一元一次不等式组中各个不等式的解集 的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的 解集。求不等式2（组解集的过程，叫做解 不等式组。分别求出每个不等式的解、把两 个不等式的解表示在同一数轴上、取公不等 式组的解的求解过程(3) 共部分作为不等式 组的解（若没有公共部分则无解）。口诀： 大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大 大小小是无解解应用题 )组(六、列一元一次 不等式步骤参照列一元一次方程解应用题， 只是最后答的时候写的数值可能要用到取近 似数的各种方法。方案设计题主要通过解不 等式组解决。
17、两条直线的交点坐标也可以 通过解不等式组解决。 : 代数式大小的比较 . 七右边的点表示的数总比左边的大; 利用数 轴法 ）1（照法则比较就是了 ; 直接比较法 ） 2（时，被减数大于等于减数0 差大于等于 ; 差值比较法 ）3（时，被除数大于等于除数 1 商大于等于 ; 商值比较法）4（）5（ 利用 特殊比较法。（在涉及代数式的比较时，还要 适当的使用分类讨论法）不等式解集的表 示方法： 2. 用不等式表示：一般的，一个含 未知数的不等式有无数个解，其解集是一个 范围，这个范围可用最）1（简单的不等式 表达出来，用数轴表示：不等式的解集可以 在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等 式有无限多
18、个解，用数）2（轴表示不等式 的解集要注意两点：一是定边界线；二是定 方向。一元一次不等式的定义：1. 不等 式左右两边都是整式；）1（不等式中只含 一个未知数；）2（。1 未知数最高次数是） 3（注：一元一次不等式的解集不是具体的 几个数，而是一个范围，集合。 2. 的综合运 用：一次函数一元一次不等式与一般先求出 函数表达式，再化简不等式求解。解一元 一次不等式组的步骤：3. 求出每个不等式 的解集； ）1（求出每个不等式的解集的公 共部分；（一般利用数轴）2（3（ 用代数 符号语言来表示公共部分。 （也可以说成是下 结论） ）几种特殊的不等式组的解集：4. x=a 不等式（组）：x a
19、xa的解集为： x 关 于 ）1（ xa x1 横向： 当 倍时，所得的图形 比原来的图形在n、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而 纵坐标分别变成原来的2 倍。n 时，压缩为原来的01 纵向： 当八、图形 “ 纵横向位 置” 的变化规律: ，所得的图形形状、大小不变，而位置向右a、 将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别加上1 个单位。 |a| 平移了 (a0（、将图形上各个点的坐 标的横坐标不变，而纵坐标分别加上2，所得的图形形状、大 小不变，而位置向上b 个单位。 |b| 平移了 (b0（平移变换的坐标变化规律是：左正右负，上正下负 : 九、图形 “ 倒转与对称 ” 的变化规律共
20、 页 6 第 页 10 轴对称。（关于 x，所得的图形与原来的图形关于-1、将图形 上各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘以1 轴对称的两点： 横坐标相同，纵坐标互为相反数）x 轴对称。（关于y，所得的 图形与原来的图形关于-1、将图形上各个点的纵坐标不变，横 坐标分别乘以2 轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相 反数） y，所得的图形与原来的图形关于原点对称。-1，纵坐标 分别乘以 -1、将图形上各个点的横坐标分别乘以3 （关于原点 对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数）: 十、 图形 “ 扩大与缩小 ” 的变化规律），所得的图形与原图形相比，形 状不变； 当 n0 倍（n 将图形上
21、各个点的纵、横坐标分别变 原来的倍。n 时，对应线段大小缩小到原来的01 一次函数第五章 （一）函数 1 在某个变化过程中可以取不同数值的量。、变量： 在某个变化过程中固定不变的量。常量：都有唯一 y 的每一 个确定的值， x，如果对于y、x 一般的，在某个变化过程中， 设有两个变量、函数：2 称为 x；函数的 x 是 y 确定的值，那么 就说 。自变量 ) 是否有唯一确定的值与之对应y 取值确定的时 候， x 的函数，只要看x 是否为 y 判断 (，一个函数中的自变 量允许取值的范围。 ：自变量的取值范围、3 、确定函数自变 量的取值范围的方法：4（）关系式为整式时，为全体实数； 1 ）关系
22、式含有分式时，分式的分母不等于零；2（）关系 式含有二次根式时，被开平方式大于等于等于零；3（）关 系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；4（）实际 问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5 （、函数的解析式：5 用含有表示自变量的字母的代数式表示 因变量的式子叫做函数的解析式、函数的图像6 一般来说， 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点 的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是 这个函数的图象、描点法画函数图形的一般步骤7 ；第一 步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）第二 步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的
23、函数值为纵坐标，描出表格中数值。 ；第三步：连线（按照横 坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）对 应的各点）、函数的表示方法8 列表法：一目了然，使用起 来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之 间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个 变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题 中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只 能近似地表达两个变量之间的函数关系。（二）一次函数、 一次函数的定义是自变量。当x）的函 数，叫做一次函数，其中是常数，且，（一般地，形如时， 一次函数，又叫做正比例函数。就是判断是否能化成 以上要判断一个函数
24、是否是一次函数，一次函数的解析式的 形式是页 10 共 页 7 第 形式仍是一次函数时， 当b，当 时，它不是一次函数正比 例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函 数、正比例函数及性质2 . 叫做比例系数 k 的函 数叫做正比例函数，其中0)k 是常数， y=kx(k 一般 地，形如 k ) 不为零 y=kx (k 注：正比例函数一般 形式 取零 b 1 指数为 x 不为零的增大 x 即随 从左向右上升，一象限，经过三、y=kx 直线时， k0 当 y=kx直线?时，k0 走 向： (3) 图像经过二、四象限 ? 增大而减小 x 随 y， k0：增减性(4)|k| ：倾 斜度 (5) 轴
25、 x 越小，直线越平坦，越接近|k| 轴；y 越 大，直线越陡峭，越接近、一次函数及性质3b=0 当.的一次函数x 叫做 y，那么 k0) 是常数， b(k,b y=kx一般地，形如，所y=kx即 by=kx时， . 以说 正比例函数是一种特殊的一次函数指数为x 不为 零 k ) 不为零 y=kx+b (k 注：一次函数一般形式取 任意实数 b 1 b 它可 y=kx+b, ）两点的一条直线， 我们称它为直线0，-）和（ b， 0 的图象是经过 （y=kx+b一次函数 k 时，向下平移） b0（当.个单位长度得到 |b| 平移 y=kx以看 作由直线-）和（ b，0（： ）必过点 2（0) ，
26、k 是常数， b、y=kx+b(k ： ）解析式 1（）0 k ，图象 经过第二、四象限k0）走向： 3（，图象经过第三、四象限b0： ）增减性 4|k| 轴；y 越大， 图象越接近于 |k| ： ）倾斜度 5（. 轴 x 越小，图象越 接近于个单位； b 的图象向上平移y=kx时，将直 线 b0当 ： ）图像的平移 6（ . 个单位 b 的图象向下 平移y=kx时，将直线b0 经过第一、三象限经过第一、三、四象限 经过第一、二、三象限 k0 的增大而增大x 随 y 图 象从左到右上升，经过第二、三、四象限经过第一、二、 四象限 经过第二、四象限 k0 个单位长度而得到（当|b| 平移 y=kx 的图象是 一条直线，它可以看作是由直线by=kx一次函数时， 向下平移） b0 直线经过第一、三、四象限0b，0 时， 直线经过二、四象限k0 增减性（从左向右下降）的增大而减小。x 随 y，k0 移 平 b . 个单位的图象向下 平移y=kx将直线时，b0 00 ）的位置关系（）与（、 直线 11111222）两直线相交 2（且） 两直线平行1（ 121212）两直线 重合 3（ ）两直线垂直 4（且 212121 页10 共 页10 第