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1、初二数学反比例函数讲义 上课时间： 2014 年_月_日 一、本节课知识点梳理 1、反比例函数的概念 2、反比例函数的图像及其性质 3、反比例系数k 的意义及其实际应用 二、重难点点拨 教学重点：反比例函数图像及其性质 教学难点：反比例函数 k 的几何意义 三、典型例题与分析 知识点一：反比例函数概念 一般地，如果两个变量x、y 之间关系可以表示成y= x k ， （k 为常数 ，k0）的形式，那么称y 是 x 的反 比例函数。反比例函数形式还可以写成：xy=k，y=kx -1（k0 的常数） 1、在下列函数中，反比例函数是（） A 1 1 x y B xy=0 C x k y D x y 2
2、 1 2、如果函数 12m xy为反比例函数，则m的值是（） A 、1 B、0 C 、 2 1 D、1 知识点二：反比例函数的图象与性质 注意 1：双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。 函数解析式正比例函数：y=kx(k 0) 反比例函数：y= x k (k0) 图象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点 自变量取值范围 图象位置（性质） 当 k0时，经过象限 当 K 0时，经过象限 当 K0时，在象限 当 K0时，在象限 性质 当 K0 时，y 随 x 的增大而 当 K0 时，y 随 x 的增大而 当 K 0 时，在每一个象限内 ， y 随 x
3、的增大而 当 K 0 时，在每一个象限内。 y 随 x 的增大而 （1）已知 y= x k （k0）的图象上有两点A（x1，y1） 、 B(x2，y2) 若 x1x20，则 y1与 y2大小关系是y1 y2 ; 若 0x1x2，则 y1与 y2大小关系是y1 y2 若 x10x2，则 y1与 y2大小关系是y1 y2 若 x1x2，则 y1与 y2大小关系是。 （2）已知 y= x k （k 0 ）的图象上有两点A（x1， y1） 、B(x2，y2) 若 x1x20，则 y1与 y2大小关系是y1 y2 ; 若 0x1x2，则 y1与 y2大小关系是y1 y2 若 x10x2，则 y1与 y2
4、大小关系是y1 y2 若 x1x2，则 y1与 y2大小关系是。 注意 2：反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形，是以直线y=x 和 y=x为对称轴的轴对称图 形。 【例 1】在反比例函数 x y 1 的图像上有三点 1 x， 1 y， 2 x， 2 y， 3 x， 3 y。若 321 0xxx则 下列各式正确的是（） A 213yyy B 123yyy C 321yyy D 231yyy 练习： 1下列函数中，y 随 x 增大而增大的是_ A y=-x+1 B y= x4 3 C y= x2 1 D y=2x-1 2反比例函数y= x k 图象在第二四象限，则一次函数y=kx-5
5、的图象不经过_象限。 3在同直角坐标系中，函数y=kx-k与 y= x k （k0）的图象大致是_。 4已知反比例函数 3 y x ， 若 x-3 ，则 y 的取值范围 若 y-1 ，则 x 的取值范围 知识点三：反比例函数y= x k 比例系数k 的意义 1.如图过双曲线上任一点p（ x、y）作 x 轴、 y 轴垂线段PM 、PN所得矩 形 PMON 的面积 S=PM PN=|y| |x|=|xy| y= x k xy=k s=|k| ，即反比例函数y= x k （k0）中的比例系数k 的绝对值表示过 双曲线上任意一点，作X轴， Y轴的垂线所得的矩形的面积。 2.如图过双曲线上一点Q向 X轴
6、或 Y轴引垂线， 则 S AOQ= k 2 1 【例 2】如图， RtABO的顶点 A是双曲线 k y x 与直线yxm ?在第二象限的交点，AB垂直x轴于 B，且 SABO 3 2 ， 则反比例函数的解析式 【例 3】如图，正比例函数(0)ykx k与反比例函数 2 y x 的图象相交于A、C两点， 过点 A作 AB x轴于点 B，连结 BC 则 ABC的面积等于（） A1 B2 C 4 D随k的取值改变而改变 练习： 1、老师在同一个直角坐标系中画了一个反比例函数(0) k yk x 的图象以及正比例函数2yx的 图象，请同学观察有什么特点。甲同学说：双曲线与直线2yx有两个交点；乙同学说
7、：双曲线上任意 一点到两坐标轴的距离的积都是5请你根据甲、乙两位同学的说法，写出这个反比例函数的解析 式 y x O A C B 2、 如图 A ， B是函数 x y 1 的图象上关于原点O对称的任意两点， AC平行与 y 轴， BC平行于x轴， ABC的面积为S。则（） A、S=1 B、1S 2 C、S=2 D、S2 3、如图 , 在平面直角坐标系中，直线 2 k yx与双曲线 k y x 在第一象限交于点A， 与x轴交于点C，AB x轴，垂足为B，且 AOB S 1求： （ 1）求两个函数解析式；（2）求 ABC的面积 知识点四：待定系数法 【 例 4】 已知正比例函数kxy与反比例函数
8、3 y x 的图象都过A（m， 1） ，正比例函数的解析式为 _. 练习： 1已知 y= x k （k0）的图象经过（3，2）则 k= 。 2. 若y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的（） A、正比例函数 B、反比例函数 C 、一次函数D、不能确定 3、已知 21 yyy， 1 y与x成反比例， 2 y与2x成正比例，且x1 时，y 1；x3 时， y5，求x5 时y的值。 知识点五：反比例函数与正比例函数的交点问题 直线xky 1 与双曲线 x k y 2 的交点情况： 当 1 k与 2 k满足： _，直线xky 1 与双曲线 x k y 2 无交点 O A B 当 1 k与 2 k满
9、足： _，直线xky 1 与双曲线 x k y 2 有两个交点。若其中一个交点坐 标为（ m,n）, 另一个交点坐标为_。 【例 5】已知函数 x a yaxy 4 和的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的 交点坐标是。 练习： 1、已知函数 y k x 1 与yk 2 x的图象交点是（2，5）是，则它们的另一个交点是 A（ 2，5） B（5， 2） C （ 2， 5） D（2， -5 ） 2在同一直角坐标平面内，如果直线xky 1 与双曲线 x k y 2 有交点，那么 1 k和 2 k的关系一定是（） A 1 k0 B 1 k0， 2 k 2 y. 课后作业： 1、矩
10、形的面积为6cm 2，那么它的长 y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系用图象表示为（） 2、已知点A( 2，a) 在函数 x y 2 的图像上，则a=（） A.1 B.1 C.2 D. 2 图 5 x y OA B C D o y x y x o y x o y x o A B C D 3、如图，在AOBRt中，点A是直线mxy与双曲线 x m y在第一象限的交点，且2 AOB S，则 该直线的解析式为_. 4、已知： y=y1+y2，其中 y1与 x 成反比例， y2与 x-2 成正比例，但当x=1 时， y=-1 ，当 x=3 时， y=3，求函 数 y 的解析式。 5、正比例函数xy2
11、与双曲线 x k y的一个交点坐标为A（ 2，m） 。 （1）求出点A的坐标； （2）求反比例函数关系式；（3）求这两个函数图象的另一个交点坐标 6如图，在直角坐标系xOy中，一次函数ykxb 的图象与反比例函数 m y x 的图象交于A(-2 ，1) 、B(1， n)两点。 (1) 求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2) 求 AOB的面积。 7、某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60 元，在营销 中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x 元的反比例函数，且当售价定为100 元/ 件时，每日可售 出 30 件. （1）请写出y 关于 x 的函数关系式； （2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800 元，则其售价应为多少元？