2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科).pdf

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1、绝密启用前试卷类型： A 2015 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科） 20154 本试卷共6 页， 21 小题，满分150 分考试用时120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后 务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将 监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上不按要求填涂的，答案无效 3非选择题必须用

2、0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上， 请注意每题答题空间，预先合理安排； 如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答漏涂、错涂、多涂的答 案无效 5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 参考公式：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积为ShV； 如果随机变量X服从正态分布),( 2 N，则 , ()( )d b a P aXbxx， 其中 2 2 () 2 , 1 ( )e 2 x x，),(x，为均值，为标准

3、差 一、选择题：本大题共8 个小题；每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是 符合题目要求的 1设i为虚数单位，则复数 2015 i等于 A1B1CiDi 2平面向量(1,2)a，( 2 ,)xb，若a / b，则x等于 A4 B4 C1 D2 3下列四个函数中，在闭区间1,1上单调递增的函数是 A 2 xyB x y2C xy 2 logDxy2sin 4如图 1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸， 则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计） A8B 48 C16D 416 图 1 121 2 2 1 正视图侧视图 俯视图 5若实数x，y满足约束条件 13 11 xy

4、 xy , 则2xy的取值范围是 A0 ,6 B1, 6 C1, 5 D0 , 5 6如图 2，在执行程序框图所示的算法时，若输入 3a，2a，1a，0a的值依次是1，3，3，1， 则输出 v的值为 A 2 B2 C8D8 7从1，2，2，3，3，3这六个数字中任取五个， 组成五位数，则不同的五位数共有 A50个B60个 C100个D120个 8 设X是直角坐标平面上的任意点集，定义),( | )1,1( * XyxxyX 若XX * ， 则称点集X“关 于运算 *对称” 给定点集 1| ),( 22 yxyxA，1| ),(xyyxB， 1|1| | ),(yxyxC， 其中“关于运算 *

5、对称”的点集个数为 A0B1C 2D3 二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分本大题分为必做题和选做题 两部分 （一）必做题：第9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答 9 不等式5|2|1|xx的解集为 10已知随机变量X服从正态分布),1( 2 N，若(01)0.3PX， 则)2(XP 11 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与抛物线 2 4yx的准线围成的三角形面积为1， 则此双曲线的离心率等于 12设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知15 3 S，153 9 S，则 6 S 图 2 是 否 结束 开始 3,

6、 0, 3ivx ?0i 输入 i a i avxv 1ii 输出v 13已知ABC的内角A、B、C所对的边为a、b、c，则“ 2 abc”是“ 3 C” 的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的 一种） （二）选做题：第14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分 14（坐标系与参数方程选做题） 在直角坐标系中， 已知直线l： 1 2 xs ys （s为参数）与曲线C： 2 3xt yt （t为参数）相交于A、B两点，则AB_ 15 （几何证明选讲选做题）如图 3，AB、AC是O的两条切线， 切点分别为B、C 若60BAC， 6

7、BC，则O的半径为 三、解答题：本大题6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（本小题满分12 分） 设函数)2cos()(xxf（其中0，Rx）已知 2 1 )0(f （1）求函数)(xf的解析式； （2）若角满足)() 3 sin(f，且0，求角的值 17（本小题满分12 分） 深圳市于2014 年 12 月 29 日起实施小汽车限购政策根据规定，每年发放10 万个小汽车名额，其中 电动小汽车占20% ，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半政策推出后，某 网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示： 申请意向 年龄 摇号 竞价（人

8、数）合计 电动小汽车（人数）非电动小汽车（人数） 30 岁以下 （含 30 岁） 50 100 50 200 图 3 A B C O 30 至 50 岁 （含 50 岁） 50 150 300 500 50 岁以上100 150 50 300 合计200 400 400 1000 （1）采取分层抽样的方式从30 至 50 岁的人中抽取10 人，求其中各种意向人数； （2）在（ 1）中选出的10 个人中随机抽取4 人，求其中恰有2 人有竞价申请意向的概率； （3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4 人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为， 求的分布列和数学期望 18（本小题满分14 分）

9、如图 4，已知三棱锥OABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，ABC为等边三角形， M 为 ABC内部一点，点 P在OM 的延长线上，且PBPA （1）证明：OBOA； （2）证明：平面PAB平面POC； （3）若 5PAOC，6OPOC，求二面角 BOAP的余弦值 19（本小题满分14 分） 设数列 n a的前n项和为 n S，满足42 3 1 n nn naS， * Nn，且42, 321 aSa成等比数列 （ 1）求 1 a， 2 a， 3 a的值； （ 2）求数列 2 n n a 的通项公式； （ 3）证明：对一切正整数n，有 21 43 aa ,1 2 n a n O 图 4 A

10、B C P M 20（本小题满分14 分） 已知平面上的动点 P与点 ( 0,1)N连线的斜率为 1 k，线段PN的中点与原点连线的斜率为 2 k， 12 2 1 k k m (1m) ，动点P的轨迹为C （ 1）求曲线C的方程； （ 2）是否存在同时满足以下条件的圆：以曲线C的弦AB为直径； 过点N；直径2ABNB若存在，指出共有几个；若不存在，请说明理由 21（本小题满分14 分） 已知函数 x b axxxfln)(，对任意的),0(x，满足0) 1 ()( x fxf， 其中ba ,为常数 （1）若)(xf的图像在1x处切线过点)5,0(，求a的值； （2）已知10a，求证：0) 2

11、( 2 a f； （3）当)(xf存在三个不同的零点时，求a的取值范围 2015 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8 个小题；每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是 符合题目要求的 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案D A B C B D B B 二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分本大题分为必做题和选做题 两部分 （一）必做题：第9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答 92 ,3100.2112126613 （二）选做题：第14、15 题为选

12、做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分 14（坐标系与参数方程选做题）215（几何证明选讲选做题）2 3 三、解答题：本大题6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（本小题满分12 分） 设函数( )cos(2)f xAx（其中0A，0，Rx）已知 6 x时，( )f x取得最小值 2 （1）求函数)(xf的解析式； （2）若角满足 2sin()( ) 3 f，且0，求 sin() 3 的值 解：（ 1）由( )fx最小值2且0A，所以2A ,1 分 因为 ()2 6 f，所以 cos()1 3 ，,2 分 由0可得 4 333 ，所以 3 ，,3 分

13、 所以 2 3 ,4 分 故)(xf的解析式为 2 ( )2cos(2) 3 f xx,5 分 充分非必要 （ 2）（法 1）由（ 1），得) 3 2 2cos() 3 sin(， 即) 3 (sin21) 3 sin( 2 ，01) 3 sin() 3 (sin2 2 ，,8 分 所以1) 3 sin(或 2 1 ) 3 sin(,10 分 又0，所以 4 333 ,11 分 所以 2 1 ) 3 sin(,12 分 （法 2）由（ 1），得) 3 2 2cos() 3 sin(， 即) 3 2 2cos() 6 cos(,8 分 所以 6 2 3 2 2k或 6 2 3 2 2k，Zk,1

14、0 分 即 6 3 2k 或 6 5 2k，Zk 又0，所以 2 ,11 分 所以 2 1 ) 3 sin(,12 分 【说明】本题主要考查cos()yAx的性质，倍角公式、解三角方程、特殊角的三角函数值，考查 学生的运算能力 17（本小题满分12 分） 深圳市于2014 年 12 月 29 日起实施汽车限购政策根据规定，每年发放10 万个小汽车名额，其中电 动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半政策推出后，在全 市有购车意向的市民中，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了抽样调查，结果如下表所示： 申请意向 年龄 摇号 竞价（人数）合计 电动小汽车（人数）

15、非电动小汽车（人数） 30 岁以下 （含 30 岁） 50 100 50 200 30 至 50 岁 （含 50 岁） 50 150 300 500 50 岁以上100 150 50 300 合计200 400 400 1000 （1）采取分层抽样的方式从30 至 50 岁的人中抽取10 人，求其中各种意向人数； （2）在（ 1）中选出的10 个人中随机抽取4 人，求其中恰有2 人有竞价申请意向的概率； （3）用样本估计总体，在全体有购车意向的市民中任意选取4 人，其中摇号申请电动小汽车意向的 人数记为，求的分布列和数学期望 解：（ 1）因为 30 至 50 岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、

16、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例 分别为： 501 50010 、 1503 50010 、 3006 50010 ,2 分 所以，抽取的人10 人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为： 1 101 10 人、 3 103 10 人、 6 106 10 人,4 分 （2）由题意可知，在上述10 人中有竞价申请意向的人数为6 500 300 10人， 所以， 4 人中恰有2 人竞价申请意向的概率为 7 3 4 10 2 4 2 6 C CC ,6 分 （3）4n，的可能取值为4, 3,2, 1,0,7 分 因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为 5 1 100

17、0 200 p， ,8 分 所以，随机变量服从二项分布，即) 5 1 ,4(B,9 分 6 2 5 2 5 6 5 1 1 5 1 )0( 40 0 4 CP， 625 256 5 1 1 5 1 ) 1( 31 1 4 CP， 625 96 5 1 1 5 1 )2( 22 2 4 CP， 625 16 5 1 1 5 1 )3( 13 3 4 CP， 6 2 5 1 5 1 1 5 1 )4( 04 4 4 CP 即的分布列为： 0 12 3 4 P 625 256 625 256 625 96 625 16 625 1 ,11 分 的数学期望为： 5 4 5 1 4npE,12 分 【说

18、明】本题主要考查分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布等知识，考查了考生读取图表、数据处 理的能力 18（本小题满分14 分） 如图 4，已知三棱锥OABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，ABC为等边三角形，M为 ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PBPA （1）证明：OBOA； （2）证明：平面PAB平面POC； （3）若:5:6:1AP PO OC，求二面角BOAP的余弦值 证明 ：（ 1）因为OA，OB，OC两两垂直， 所以 222 ACOCOA， 222 BCOCOB 又ABC为等边三角形，BCAC， 所以 22 OCOA 22 OCOB， 故OBOA,3 分 （2）因为OA

19、，OB，OC两两垂直， 所以， OABOBOA OOBOA OBOC OAOC 平面, OC平面OAB， 而AB平面OAB，所以OCAB,5 分 取AB中点D，连结OD，PD 由（ 1）知，OBOA，所以ODAB 由已知PBPA，所以PDAB 所以， PODPDOD DPDOD PDAB ODAB 平面, AB平面POD， 而PO平面POD，所以POAB,7 分 所以， POCPOOC OPOOC POAB OCAB 平面, AB 平面POC， 又PABAB平面，所以，平面PAB平面POC,9 分 解：（ 3）（法一）由（2）知AB平面POD， 所以平面OAB平面POD， 且平面OAB平面PO

20、DOD， 过点P作PH平面OAB，且交OD的延长线于点 H，连接AH， 因为OCPA5，OCOP6， 由（ 1）同理可证OCOBOA， 在POA中， 222 OPPAOA， 所以OAPA，又因为PHOA， 所以OA平面PAH， 所以PAH为二面角BOAP的平面角，,11 分 在直角PHA中，cos AH PAH PA ，,12 分 由（ 2）知45AOD，所以OAH为等腰直角三角形， 图 4 O A B C P M D H 所以AHOAOC，所以 5 cos 5 AH PAH PA ， 所以，二面角BOAP的余弦值为 5 5 ,14 分 （法 2）如图 6，以OA，OB，OC所在的直线分别为x

21、，y，z轴，建立空间直角坐标系 由（ 1）同理可证OCOBOA， 设1OCOBOA，则)0,0,1 (A，)0,1,0(B，) 1,0,0(C， (1, 0,0)OA ， ( 1,1, 0)AB 设),(zyxP，其中0x，0y，0z 由(,)OPx y z，(1,)APxy z 由（ 2）知OPAB，且55PAOC，66OPOC， 得 222 2 22 ( 1)0 6 15 xy xyz xyz 解之，得1xy，2z,11 分 所以，(1,1, 2)OP 设平面POA的法向量为),( 1111 zyxn， 由 1 OAn， 1 OPn，得 1 111 0 20 x xyz 取1 1 z，得

22、1 2y， 1 (0 ,2,1)n 由（ 2）知，平面OAB的法向量为 2 (0, 0,1)OCn，,13 分 记二面角POAB的平面角为，由图可得为锐角， 所以 12 0( 2)01 1 5 cos|cos,| 5 15 nn 所以，二面角BPCA的余弦值为 5 5 ,14 分 【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，线面垂直、面面垂直的判定与性质，用空间向量求二 面角，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力 19（本小题满分14 分） 设数列 n a的前n项和为 n S，满足42 3 1 n nn naS， * Nn，且42, 321 aSa成等比数列 （ 1）求1a，2a，3a的

23、值； （ 2）设 2 n nn a b， * Nn，求数列 n b的通项公式； y x O 图 6 A B C P M z （ 3）证明：对一切正整数n，有 21 43 aa ,1 2 n a n 解：（ 1）由已知，得 .68 ,20 ,)()42( 321 21 2 2131 aaa aa aaaa ,2 分 解之，得4 1 a，24 2 a，96 3 a,4 分 （ 2）（法 1）因为 42 3 1 n nn naS ， * Nn ， , 所以42) 1( 2 1 n nn naS，其中 2n , ，并整理得 2 1 2)1(2 n nn naa， 2n ，,6 分 即 1 2(1) n

24、n bbn，2n 所以， 32 43 1 23 24 2 nn bb bb bbn 相加，得 2 23 n bbnn,8 分 由（ 1）知24 2 a，所以 2 6b，所以 2n时， 1 n bn n，,9 分 又4 1 a， 1 2b也符合上式， 所以，数列 n b的通项公式为1 n bn n， * Nn,10 分 （法 2）因为42 3 1 n nn naS， * Nn，, 所以42) 1( 2 1 n nn naS，其中2n, ，并整理得 2 1 2)1(2 n nn naa， 2n ， 即 1 2(1) nn bbn，2n,6 分 由（ 1）知2214 1 a， 2 2 23224a，

25、 3 3 24396a 可得 1 21 2b， 2 62 3b， 3 123 4b 猜想1 n bn n， * Nn,8 分 以下用数学归纳法证明之： （i）当1n时或2n时，猜想显然正确 （ii ）假设kn（2k）时，猜想正确，即1 n bk k 那么1kn时， 1 2(1) kk bbk (1)2(1)k kk (1) (2)kk (1) (1) 1kk 即1kn时，猜想也正确 由（ i）（ ii），根据数学归纳法原理，对任意的 * Nn，猜想正确 所以，数列 n b的通项公式为1 n bn n， * Nn,10 分 （ 3）对一切正整数n，因为 nnn n nnnn n a n 2)1(

26、 1 2 1 2) 1( 22 1 ，,12 分 所以， 21 43 aa , 21 232 4 221 32 n a n , n nn n 2)1( 2 2110 23 1 22 1 22 1 21 1 , nn nn2) 1( 1 2 1 1 1 2)1( 1 1 n n ,14 分 【说明】本题主要考查等比数列的定义，处理 n S与 n a的递推公式，用累加法求数列通项，数学归纳法， 理解裂项求和，考查考生运算求解、推理论证、归纳猜想的能力 20（本小题满分14 分） 已知动点(,)Mx y和定点(0,1)N，MN的中点为P若直线MN，OP的斜率之积为常数(其 中O为原点，10)，动点M

27、的轨迹为C （ 1）求曲线C的方程； （ 2）曲线C上是否存在两点 A、B，使得NAB是以N 为顶点的等腰直角三角形？若存在，指出这 样的三角形共有几个；若不存在，请说明理由 解：（ 1）设直线MN，OP的斜率分别为 1 k， 2 k，因为 1 (,) 22 xy P ，,1 分 所以 1 1y k x （0x）， 2 1 2 2 y k x （0x），,3 分 由 12 k k可得： 1 1 2 2 y y x x （0x），,4 分 化简整理可得 22 1xy（0x）， 所以，曲线C的方程为 22 1xy（0x） ,5 分 （2）由题意0,1N，且NANB，当直线NA的斜率为0，则N与A重

28、合，不符合题意， 所以直线NA、NB的斜率都存在且不为0，设直线NA的斜率为k， 所以直线NB的斜率为 1 k ，不妨设0k， 所以直线NA的方程为1ykx，直线NB的方程为 1 1yx k ， ,6分 将直线NA和曲线C的方程联立，得 22 1 1 ykx xy ，消y整理可得 22 20kxkx ， 解得 2 2 A k x k ，所以 2 2 2 1 k NAk k ， 以 k 1 替换k，可得 2 22 2 2 12 11 1 1 k NBk kk k ， ,8 分 由NANB，可得 22 22 2 2 11 1 k kk kk ，,9 分 所以 32 0kkk，即 2 110kkk，

29、,10 分 （1）当 1 1 3 时， 方程 2 10kk有 2 2 143110， 所以方程 2 110kkk有唯一解1k； ,11 分 （2）当 1 3 时， 2 11kkk 31 10 3 k，解得1k； ,12 分 （3）当 1 0 3 时，方程 2 10kk有 2 2 143110， 且 2 111310， 所以方程 2 110kkk有三个不等的根 综上，当 1 1 3 时，有一个圆符合题意；当 1 0 3 时，有三个符合题意的圆 ,14 分 （注：（ 3）也可直接求解： 当 1 0 3 时，方程 2 10kk，因为 2 2 143110， 所以 1,2 131 1 2 k，又因为

30、2 111310， 所以 1,2 1k，故方程 2 110kkk有三个不等的根） 【说明】本题主要考查曲线与方程，直线与椭圆的位置关系，弦长问题，一元二次方程根的个数问题，考 查考生数形结合、函数与方程的数学思想方法及运算求解能力 21（本小题满分14 分） 已知函数 x b axxxfln)(，对任意的),0(x，满足0) 1 ()( x fxf， 其中ba ,为常数 （1）若)(xf的图象在1x处的切线经过点)5,0(，求a的值； （2）已知10a，求证：0) 2 ( 2 a f； （3）当)(xf存在三个不同的零点时，求a的取值范围 解：（ 1）在0) 1 ()( x fxf中，取1x，

31、得0)1(f， 又babaf1ln) 1(，所以ab,1 分 从而 x a axxxfln)(，) 1 1 ( 1 )( 2 x a x xf，af21)1 ( 又5 10 )1 (5 )1( f f， 所以521a，2a,3 分 （2）2ln 2 2 ln2 2 22 ln) 2 ( 3322 a a a a aaa f 令2ln 2 2 ln2)( 3 x x xxg，则 2 42 2 2 )1(43 2 322 )( x xxx xx xg 所以，)1,0(x时，0)(xg，)(xg单调递减，,5 分 故)1,0(x时， 1 ( )(1)2ln 21ln e0 2 g xg 所以，10a

32、时，0) 2 ( 2 a f,7 分 （ 3） 2 2 2) 1 1( 1 )( x axax x a x xf 当0a时，在),0(上，0)(xf，)(xf递增， 所以，)(xf至多只有一个零点，不合题意；,8 分 当 2 1 a时，在), 1(上，0)(xf，)(xf递减， 所以，)(xf也至多只有一个零点，不合题意；,10 分 当 2 1 0a时，令0)(xf，得1 2 411 1 a a x，1 2 411 2 a a x 此时，)(xf在),0( 1 x上递减，),( 21 xx上递增，),( 2 x上递减， 所以，)(xf至多有三个零点,12 分 因为)(xf在) 1,( 1 x上递增，所以0)1()( 1 fxf 又因为0) 2 ( 2 a f，所以), 2 ( 1 2 0 x a x，使得0)( 0 xf ,13 分 又0)() 1 ( 0 0 xf x f，0)1 (f， 所以)(xf恰有三个不同的零点： 0 x，1， 0 1 x 综上所述，当)(xf存在三个不同的零点时，a的取值范围是) 2 1 ,0( ,14 分 【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识, 包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等 知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想. -END-