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1、竭诚为您提供优质的服务，优质的文档，谢谢阅读/双击去除关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用,现用定理形式叙述如下:定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.证明:不妨设抛物线的极坐标方程为= ,则显然有 ,其中等号成立当且仅当=2k+(kZ)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.证明:设抛物线极坐标方程为= ,焦点弦为Ab,且设A(1,),b(2,+),则有 Ab=1+2= + = 2p=通径长, 其中等号成立当且仅当=k+/2(kZ)即弦Ab为通径时.证
2、毕.定理3.设A(a,0)是抛物线y2=2px(p0)的对称轴上的定点,m(x,y)是抛物线上的动点,则 mAmin= 证明:由mA2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2px=x2-2(a-p)x+a2 =x-(a-p)2+p(2a-p),并且注意到x0,+),立知结论成立.证毕.定理4.设A(a,b)是抛物线y2=2px(p0)内一定点,F是焦点,m是抛物线上的动点,则 y (mA+mF)min=a+p/2. Q m A(a,b) 证明:如图1所示,作AQ准线L:x=-p/2于Q,则知 o F x (mA+mF)min=AQ =a-(-p/2)=a+p/2.证毕. 图1 定理5.设线段Ab
3、是抛物线y2=2px(p0)的过焦点的弦,分别以A、b为切点的抛物线的两条切线相交于点m,则三角形Abm的面积的最小值为p2.证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由A、F、b三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2(y2-y1)(1)于是利用(1)式由两切线方程 y Am:y1y=p(x+x1), A bm:y2y=p(x+x2), m F x 易得m的坐标(x,y)适合: b kmFkAF=-1,mFAb,即mF是mAb的Ab边上的高. 图2 mFFK(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p,又由定理2知Ab2p(通径长),smAb=1/2AbmF1/22pp=p2,因其中等号当且仅
4、当Abx轴时成立,故三角形mAb的最小值为p2.证毕.定理6.过抛物线y2=2px的顶点o引两条互相垂直的动弦oA和ob,则三角形oAb的面积的最小值为4p2. y证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由oAob得 A x1x2+y1y2=0(1) o x 将y12=2px1,y22=2px2代入(1)立得:x1x2=4p2(2)于是 b (soAb)2=1/4oA2ob2 图3 =1/4(x12+y12)(x22+y22)=1/4(x12+2px1)(x22+2px2) =1/4(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2 1/4(x1x2)2+2px1x2(2x1x2
5、)+4p2x1x2(3) 将(2)式代入(3)则得(soAb)216p4,从而soAb4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形oAb的面积的最小值为4p2。证毕.定理7.抛物线y2=2px的内接等腰直角三角形的面积的最小值为4p2.证明:设RtAbc内接于抛物线y2=2px,点c为直角顶点,设A(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),根据抛物线的对称性以及其开口方向,不妨设y10,y2y30,并记直线cA的斜率为k,则由 y3-y1=k(x3-x1)=k(y32/2py12/2p)及 y y3-y2=-1/k(x3-x2)=-1/k(y32/2py22/2p) A 可得
6、 y1=2p/ky3及y2=-2pk-y3(1) o x又由 Ac=bc有 c b (x1-x3)2+(y1-y3)2=(x3-x2)2+(y3-y2)2(2) 图4 将x1=y12/2p,x2=y22/2p,x3=y32/2p及(1)代入(2)可得 y3= (3)从而据(1)、(3)可得 y1-y3= (4)于是Abc的面积 s=1/2Ac2=1/2(x1-x3)2+(y1-y3)2= (y1-y3)2 = 2p2 ( )2 =2p2 2p2 =4p2. 因当k=1且y3=0时上式等号成立,故等腰RtAbc面积的最小值为4p2.证毕.定理8.设Ab是抛物线的焦点弦,准线与抛物线对称轴的交点为
7、m,则Amb的最大值为/2.证明:如图5所示,设A1、b1分别是A、b在准线L上的 y 射影,F是焦点,连A1F和b1F,则知 A A(1)当AbmF时,显然有Amb/2; m F x(2)当Ab与mF不垂直时,由AA1A1m知 b1 bAmA1A1Am/2AmA1, 图5 AmA1/4;同理 bmb1/4,故有Amb/2.综合(1)、(2),定理8获证.定理9.设Ab是抛物线yax2(a0)的长为定长m的动弦,则.当m1/a(通径长)时,Ab的中点m到x轴的距离的最小值为（2ma-1)/4a;.当m1/a(通径长)时,Ab的中点m到x轴的距离的最小值为am2/4.证明:设m(x0,y0),将
8、直线Ab的参数方程 y (其中t为参数,倾斜角/2) A 代入yax2并整理得 ma(cos)2t2+(2ax0cos-sin)t+(ax02-y0)0, b故由韦达定理和参数t的几何意义以及Abm立得 0 x t1+t2(2ax0cos-sin)/a(cos)20 图6t1t2(ax02-y0)/a(cos)2(m/2)2由解出x0并代入整理上一页 1 2 3 下一页得 y0 (sec)2 (cos)2 对右边前两项利用基本不等式则得y02 （2ma-1)/4a.于是,令 (sec)2 (cos)2, 得(cos)2 . 因此,当am1时,(y0)min（2ma-1)/4a; 当0am1时,
9、记(cos)2x,则式化为关于x的函数式 y0f(x) x (0x1). 易证此函数是减函数,故此时(y0)minf(1) .证毕.定理10.设Ab是抛物线y22px的焦点弦,o为坐标原点,则三角形oAb的面积的最小值为p2/2. y证明:(1)当Abx轴时,显然有sAobp2/2; A(2)当Ab不垂直x轴时,设Ab:yk(x-p/2),代 o F x入y22px并整理得k2x2-(pk2+2p)x+k2p2/4=0.于是 b设A(x1,y1),b(x2,y2),则由弦长公式和韦达定理得: 图7 Ab (1+k2)(x1+x2)2-4x1x2 . 又顶点o到弦Ab的距离 d . 故此时sAob Abd . 综合(1)、(2),定理10获证. 上一页 1 2 3 最后，小编希望文章对您有所帮助，如果有不周到的地方请多谅解，更多相关的文章正在创作中，希望您定期关注。谢谢支持！