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1、平面向量与解三角形单元检测题 一、选择题 (本大题共10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1设 x，yR，向量 a(x,1)，b(1，y)，c(2， 4)，且 ac, bc，则 |ab|() A.5B.10 C2 5 D10 2在 ABC 中，N 是 AC 边上一点，且AN uuu r 1 2 NC uuu r ，P 是 BN 上的一点，若AP uu u r mAB uu u r 2 9 AC uuu r ，则实数m 的值为 () A. 1 9 B.1 3 C1 D3 3已知点A(1，1)， B(1， 2)，C( 2， 1)，D(
2、3， 4)，则向量 AB 在CD 方向上的投影为 A. 3 2 2 B.3 15 2 C 32 2 D 3 15 2 4在直角坐标系xOy 中， AB (2,1)，AC (3，k)，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的可能值个数是() A1 B2 C3 D4 5已知向量a 与 b 的夹角为120 ，|a|3，|ab|13，则 |b| 等于() A5 B4 C3 D1 6在四边形ABCD 中， AC (1， 2)，BD (4，2)，则该四边形的面积为 A.5 B25 C 5 D10 7如图所示 ,非零向量=a,=b,且 BC OA,C 为垂足 ,若= a( 0),则 =() 8在 ABC 中,
3、sin 2A sin2B+sin2C-sin Bsin C, 则 A 的取值范围是 () (A) （0, 6 (B) 6 , ）(C)(0, 3 (D) 3 , ) 9设 ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为a，b，c.若 bc2a,3sin A5sin B，则角 C A. 3 B.2 3 C.3 4 D.5 6 10在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A，B， C 三点在同一直线上的等价条件为 存在唯一的实数 ， 使得 OC OA (1 )OB 成立，此时称实数 为“ 向量 OC 关于 OA 和OB 的 终点共线分解系数” 若已知 P1(3, 1)， P2(1,3)， 且向量 OP3
4、 与向量 a (1,1)垂直，则“ 向量 OP3 关于 OP1 和 OP2 的终点共线分解系数” 为 () A 3 B3 C1 D 1 二、填空题 (本大题共5 小题 ,每小题 5 分 ,共 25 分.请把正确答案填在题中横线上) 11在平面直角坐标系xOy 中，已知OA uu r ( 1，t)，OB uu u r (2,2)若 ABO90 ，则实数 t 的值为 _ 12已知 a(1,2)，b(1， )，若 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是 13已知正方形ABCD 的边长为2，E 为 CD 的中点，则 AE BD _ 14设 e1，e2为单位向量，且 e1，e2的夹角为 3，若
5、ae 13e2，b2e1，则向量 a 在 b 方向 上的射影为 _ 15若非零向量a，b 满足 |a|b|，(2ab) b0，则 a 与 b 的夹角为 _ 三、解答题 (本大题共6 小题 ,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16已知 ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是a， b，c，设向量 m(a，b)，n (sin B，sin A)， p(b2，a2) (1)若 mn，求证： ABC 为等腰三角形； (2)若 mp，边长 c2，角 C 3，求 ABC 的面积 17在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bs
6、in C+cos 2B=1. (1)求证 :a,b,c 成等差数列 ; (2)若 C= 2 3 ,求 a b 的值 . 18在 ABC 中,a、b、c 分别是角A、B、C 所对的边 ,且 a= 1 2 c+bcos C. (1)求角 B 的大小 ; (2)若 SABC=3,求 b 的最小值 . 19在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 acos 2C 2 ccos2A 2 3 2b. (1)求证： a，b， c成等差数列；(2)若 B 60 ，b4，求 ABC 的面积 20 ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 AC 的长为 3(百米 ),底 AB 的长为 4(百米 )
7、.现决 定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计 ),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成 的四边形和三角形的周长相等,面积分别为S1和 S2. (1)若小路一端E 为 AC 的中点 ,求此时小路的长度; (2)若小路的端点E、F 两点分别在两腰上,求 1 2 S S 的最小值 . 21已知 ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且满 足 sinsin2coscosC sincos BCB AA 。 （1）证明：2bca； （2）如图，点O 是 ABC 外一点，设(0)AOB， OA=2OB=2，当bc时，求平面四边形OACB 面积的最最大值。 参考答案： 1 B由题意可知
8、 2x40， 4 2y0， 解得 x2， y 2. 故 ab(3， 1)， |ab|10. 2.选 B如图，因为AN uuu r 1 2 NC uuu r ，所以AN uuu r 1 3 AC uuu r ，AP uu u r mAB uu u r 2 9 AC uuu r mAB uu u r 2 3 AN uuu r ，因为 B，P，N 三点共线，所以m 2 31，所以 m 1 3. 3. A 解析AB (2， 1)，CD (5，5)，所以 AB 在CD 方向上的投 . 4. B 解析： .若 A90 ，则 AB AC 6k0，k 6； 若 B90 ，则 AB BC AB (AC AB )
9、0，6k 50，k 1； 若 C90 ，则 AC CB AC (AB AC ) 0，k 2k30 无解 综上， k 可能取 6， 1 两个数故选B. 5. B 解析向量 a与 b 的夹角为120 ，|a|3，|ab|13， 则 a b|a|b| cos 120 3 2|b|， |a b| 2|a|22a b|b|2. 所以 139 3|b|b| 2，则 |b| 1(舍去 )或|b|4. 6. C 解析因为 AC BD 0，所以 AC BD . 故四边形ABCD 的面积 S 1 2|AC |BD | 1 2 5 2 55. 7. A【解析】 .,即,所以 (-) =0,所以 | 2- =0, 即
10、 2|a|2- a b=0, 又 0,解得 =. 8 C.解析 :根据正弦定理 ,由 sin 2A sin2B+sin2C-sin Bsin C 得 a2b2+c2-bc, 根据余弦定理cos A= 222 2 bca bc 2 bc bc = 1 2 , 又 0A ,0A 3 ,故选 C. 9. B 【解析】由 3sin A5sin B，得 3a5b.又因为 b c2a， 所以 a 5 3b，c 7 3b， 所以 cos C a 2b2c2 2ab 5 3b 2b2 7 3b 2 2 5 3b b 1 2.因为 C(0，) ，所以 C2 3 . 10. D.解析：设 OP3 (x，y)，则由
11、 OP3 a 知 xy0，于是 OP3 (x， x)， 设OP3 OP1 (1 )OP2 ，(x， x) (3,1)(1 )(1,3)(4 1,32 ) 4 1x， 32 x， 于是 4 132 0， 1. 11. 5 解析：ABOBOA uu u ruu u ruu r (3,2t)，由题意知OB AB uu u ruu u r 0，所以 2 32(2 t)0，t 5. 12 ， 1 2 .因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以cos 0 且 cos 1， 所以 a b0 且 a与 b 不反向由a b0 得 12 0，故 1 2， 由 a 与 b 共线得 2，故 a 与 b 不可能反向 所以
12、的取值范围为 ， 1 2 . 13.2 解析由题意知： AE BD (AD DE ) (AD AB )(AD 1 2AB ) (AD AB ) AD 21 2AD AB 1 2AB 2 4022. 14.5 2解析 a 在 b 方向上的射影为|a|cos a，b a b |b| . a b(e13e2) 2e12e 2 16e1 e2 5.|b| |2e1|2. a b |b| 5 2. 15. 120【解析】(2ab) b0， 2a bb 20， a b 1 2b 2，设 a 与 b 的夹角为 ，又 |a|b|， cos a b |a|b| 1 2b 2 |a|b| 1 2， 120 . 1
13、6.解： (1)证明： mn， asin Absin B. 即 a a 2R b b 2R，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， 故 ab，即 ABC 为等腰三角形 (2)由题意可知m p0，即 a(b2)b(a 2) 0.abab. 由余弦定理可知4 a2b2ab(ab)23ab， 即(ab) 23ab40， ab4(舍去 ab 1) 故 S1 2absin C 1 2 4 sin 3 3. 17.(1)证明 :由 sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin 2B=1 得 sin A+sin C-2sin B=0. 因为 sin a A = sin b B = sin c
14、C ,所以 a+c-2b=0, 所以 2b=a+c,即 a、b、c 成等差数列 . (2)解:由余弦定理c 2=a2+b2-2ab cos C 及 2b=a+c,c= 2 3 , 得(a-2b) 2=a2+b2-2ab 1 2 .即 a 2+4b2-4ab=a2+b2+ab, 也即 3b2=5ab,所以 a b = 3 5 . 18.解:(1)由正弦定理可得sin A= 1 2 sin C+sin Bcos C, 又因为 A=-(B+C), 所以 sin A=sin(B+C), 可得 sin Bcos C+cos Bsin C= 1 2 sin C+sin Bcos C, 又 sin C 0,
15、 即 cos B= 1 2 ,所以 B= 3 . (2)因为 SABC=3,所以 1 2 acsin 3 =3,所以 ac=4, 由余弦定理可知b 2=a2+c2-ac 2ac -ac=ac,当且仅当 a=c 时等号成立 . 所以 b2 4, 即 b 2, 所以 b 的最小值为2. 19.解析：(1)acos 2C 2 ccos 2A 2a 1cos C 2 c 1cos A 2 3 2b， 即 a(1cos C)c(1cos A)3b.由正弦定理得： sin Asin Acos Csin Ccos Asin C3sin B， 即 sin A sin Csin(A C)3sin B， sin
16、A sin C2sin B. 由正弦定理得，ac2b，故 a，b，c 成等差数列 (2)由 B60 ， b4 及余弦定理得：4 2a2c22accos 60 ， (ac)23ac16，又由 (1)知 ac2b，代入上式得4b23ac16，解得 ac16， ABC 的面积 S 1 2acsin B 1 2acsin 60 43. 20.解:(1)E 为 AC 中点时 ,则 AE=EC= 3 2 , 3 2 +3 3 2 +4,F 不在 BC 上.故 F在 AB 上, 可得 AF= 7 2 ,在三角形 ABC 中,cos A= 2 3 . 在三角形 AEF 中,EF2=AE 2+AF2-2AE AFcos A=15 2 , EF= 30 2 . 即小路一端E 为 AC 中点时小路的长度为 30 2 百米 . (2)若小路的端点E、F 两点分别在两腰上,如图所示 , 设 CE=x,CF=y, 则 x+y=5, 1 2 S S = ABCCEF CEF SS S = ABC CEF S S -1 = 1 sin 2 1 sin 2 CA CBC CE CFC -1= 9 xy -1 2 9 2 xy -1= 11 25 ,当 x=y= 5 2 时取等号 . 答:最小值为 11 25 . 21.