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1、班级：高二（ 6）班 课题组长：余杭银 课题成员：王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、 徐李忺、朱佳威、顾棋锋 指导老师：王少波 研究性学习课题开题报告 201 4 年 5 月 30 日 班级高二（ 6）班 研究课程数学 课题名称二次函数图象特点的应用 小组成员王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋 组长余杭银指导教师王少波 选择本课题 的主要原因 随着新课程标准如火如荼的实施，其核心理念“为了我们每一个学生 的发展”越来越受到人们的关注与重视。课程改革已成为转变学习方式的 一场革命，学习已成为人的主体性、能动性、独立性、创造性不断生成、 张扬、发展和提升的过程。 在这一背景下，我
2、们成立了“二次函数图像的 特点和应用”的课题研究小组。 开展本课题研 究的目的与意 义 (1) 顺应当前教育发展的需要。在如今交流工具网络化和全球经济一体 化的推动下， 知识更新的速度越来越快，教育面临着前所未有的挑战。按 照素质教育要求， 教师的职责不仅仅是传道授业解惑了，单单让我们学生 从书本上获取知识是很难面向未来的。人要在一生中不断学习， 才能适应 社会的快速发展， 所以学校教育不但要教给我们学生各方面的知识，更重 要的是， 激发我们学生自主探究的积极性，培养我们学习的能力，为今后 持续不断的发展打下坚定的基础。我们学生一旦学会了学习的方法与能 力，知识的获取将是无限的。 (2）促进我
3、们学生发展的需要。教育的核心应着眼于我们学生的全面 发展，应立足于我们学生本位教育。教学改革的真实意义：“即是使每个 人发展自己的才能和创造潜力。 ”因此，坚持以我们学生为本的改革方向， 坚持教育培养的应该是有主体性的人，只有这样的人才能主动、 积极地参 与社会活动， 并为社会进步作出贡献。 教育过程中通过启发、引导受教育 者内存的教育需求，创设和谐、宽松、民主的教育环境，有目的、有计划 地组织、规范各种教育活动，从而把我们培养成为自主地、能动地、创造 性地进行认识和实践活动的社会主体。这就必须让我们从小在“探究”的 教育活动中锻炼自己， 养成良好的学习品质， 获得终身发展的知识和能力。 (3
4、) 具体到专题上，二次函数在数学上占有重要地位，在初中和高中 都有涉及到， 且初中还作为重点学习，而且在生活二次函数应用广泛，如 杂技表演，在物理上也相当重要，如速度等，组织我们学生个人研究，小 组讨论， 探讨，进而形成结论有利于我们学生形成正确的知识体系，体会 研究的快乐，激发我们学生的的兴趣。 活 动 计 划 1）任务分工： 任务负责人 开题报告的提出余杭银、徐李忺 资料的查阅王钰莹、叶尧栋 资料的整理王金玉、朱佳威 结题报告王钰桦、顾棋锋 报告整理余杭银 2）研究方法： 查阅文献、上网搜索、访问调查等 3）活动步骤： 选题；写开题报告；调查&收集资料；写结题报告；整理报告 4）活动所需条
5、件： 图书资料：数学课本、文献资料等 实验室（设备） ：计算机等 其他：计算机上网、调查 5）计划访问专家： 校内 1 位：王少波 校外 0 位 1.二次函数的基本定义 一般地，把形如y=ax2+bx+c （其中 a，b，c 是常数， a0，bc 可以为 0）的函数叫 做二次函数（ quadratic function） ，其中 a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。 x 为自变量， y 为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。 对称轴为直线x=-b/2a 。 顶点坐标 -b/2a,(4ac-b2)/4a交点式为 y=a(X-x1)(X-x2) 仅限于与
6、x 轴有交点 A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线 注意： “变量”不同于“自变量” ，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多 项式函数”。 “未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值）， “变量”可在实数范围 内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论 是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况），但是函数中的 字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等 于函数的关系。 2. 二次函数图象的特点及应用 二次函数在数学上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中还作为重点学习。 在生
7、活中，二次函数应用广泛，如杂技表演，在物理上业相当重要，如加速度。此次，我们 参加二次函数的研究课题，有利于我们对二次函数的进一步认识，有利于我们解释生活现象， 有利于我们的自主探究能力。 二次函数图象的特点 一般地， 自变量 X 和因变量Y 之间存在如下关系： y=ax2+bx+c （a,b,c为常数。且a0） 则称 Y 为 X 的二次函数。 二次函数的三中表达形式： （1）一般式：y=ax2+bx+c （ 其中 a,b,c 为常数，且 a0） ； （2） 顶点式 抛物线的顶点 P(h，k) ： y=a（x-h）2+k（其中 a,h.k 为常数， 且 a0） ； （3）交点式：y=a(x-x
8、1)(x-x2)（其中 a0 且 A( x1，0)和 B(x2 ，0) 为二次函数图像与x 轴的交点坐标。） 三中表达形式的关系 以上 3 种形式可进行如下进行转化： （1）一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a)， 即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b2)/4a （2）一般式和交点式的关系 x1,x2=-b (b2-4ac)/2a( 即一元二次方程求根公式) 抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的 顶点 P。 特别地，当b=0 时，抛物线的
9、对称轴是y 轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a ) 当-b/2a=0 时， P 在 y 轴上；当 = b2-4ac=0 时， P 在 x 轴上。 3.二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。 当 a0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越 小。 4.一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时（即ab0） ，对 称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即ab 0） ，对称轴在y 轴右。 5.常数项 c 决定抛物线与y 轴交点。抛物线与y 轴交于（ 0，c） 6
10、.抛物线与x 轴交点个数 = b2-4ac0 时，抛物线与x 轴有 2个交点。= b2-4ac=0 时，抛物线与x 轴有 1 个交 点。= b2-4ac0 时，抛物线与x 轴没有交点。X 的取值是虚数（x= -b b24ac 的 值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） 当 a0 时，函数在 x= -b/2a 处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a ；在x|x-b/2a 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是y|y 4ac-b2/4a 相反不变 当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为 y=ax2+c(a 0) 7.定义域： R 值域： （对应解
11、析式，且只讨论a 大于 0 的情况， a 小于 0 的情况请读者自行 推断） (4ac-b2)/4a ，正无穷）； t，正无穷） 8.奇偶性：偶函数 9.周期性：无 二次函数图像的应用 二次函数可谓应用广泛。在具有代表性的信息时代技术领域，计算机鼠标的每一举动，都 会变为一系列的二次函数命令，于是荧幕上的箭头，才得摆动。信息的传递，传递和存储也 少不了二次函数。在日常生活中。许多常见事物中都有二次函数的身影。如桥梁建设，篮球 出手时的抛物线等。 典型题目如： （一）、图像与性质问题：已知函数f（x）=x2-6x+8 并且函数的最小值是f（a） ，则实数 a 的取值范围是？解得a的取值范围是（1
12、,3. 利用图象可以直观的解决和图象有关的问题。 （二） 、最值问题：已知函数分f（x）=x2+3x-5 ，xt，t+1 ，若 f（x）的最小值为h（t） ， 写出 h（ t）的表达式。解的函数的表达式为h（t）=t2+5t-1 运用函数与方程的思想方法。 （三） 、实根问题：设二次 函数 f（x）=x2+ax+a，方程 f（x）-x=0 的两根 x1 和 x2，满足 0x1x21，求 a 的取值 范围。解得0a3-2（ 2）. 用数型结合的思想来做的。 （四） 、综合应用问题：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c 和 一次函数g（x）=-bx，其中 a，b，c 满足 abc， a+b+c=
13、o（a，b，cR 且 a0） ，求线 段 AB 在 x 轴上的影射A1B1 之长的取值范围。解得A1B1 的取值范围是（3,2 3）. 二次函数和一次函数的共同问题。 生活实际运用如： （一）、某果园有100 棵橙子树， 每一棵平均结600 个橙子。 现在准备多种一些橙子树以提 高质量，但若多种树，那么树之间的距离和每一棵树所受的阳光就会减少。据经验分析，每 多种一棵树， 平均每棵树就会少结5个橙子。 假设果园增种x 棵橙子树， 果园橙子总产量为 y 个。 （1）请写出y 与 x 之间的关系式； （2）增种多少棵橙子树，可使果园的橘子总产量最高？最大值为多少？ 解： （1）由题意得：y=（600-5x） （100+x）=-5x2+100x+6000 。 （2）由 y=-5x2+100x+6000 得当 x=-b/2a=10 时， Ymax=（4ac-b2）/2a=60500 所以增种10 棵橙子树时，橙子的总产量最高，为50600 个。