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1、1 汕头市金山中学2016 届高三上学期期中考试 数学（理科） 本试题分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120 分钟 . 第卷 （选择题共 60 分） 一、选择题：(本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1已知i为虚数单位，若复数 2 11aai aR 是纯虚数，则实数a的值为（） A1B1C0D1 2“ 2 3 sin” 是“ 3 ” 的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 3已知数列 n a为等比数列， 19 1,3aa，则 5 a（） A2B3或3C3D3 4如图
2、，正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱 1 BB的中点，用过点 1 ,A E C的平面截去该正方体 的上半部分，则剩余几何体的左视图为（） A B C D 5设双曲线 22 22 1,0,0 xy ab ab 的渐近线方程为 3 3 yx，则该双曲线的离心率为（） A 2 23 B 2C 3 32 D2 6 已 知 平 面 向 量 22 (2sin,cos)axx ， 22 ( sin,2cos)bxx ，fxa b， 要 得 到 3sin 2cos2yxx的图像，只需将yfx的图像（） A向左平移 6 个单位长度B向右平移 6 个单位长度 C向左平移 3 个单位长度向右平移 3 个
3、单位长度 AB C D A B C D 1 1 1 1 E 第 4 题图 2 7设,x y满足约束条件 220 840 0 ,0 xy xy xy ，若目标函数0,0zabxy ab的最大值为8，则 ab的最小值为（） A3B4C8D9 8 定义平面向量的正弦积为sin 2aba b ，（其中为a、b的夹角）， 已知ABC中，ABBCBC CA，则此三角形一定是（） A等腰三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形 9运行如图所示的流程图，则输出的结果S是（） A 4 2011 B 4 2013 C 2 2011 D 2 2013 10 如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线sin0,fxx
4、x及 直线 0,xa a与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若 落在阴影部分的概率为 1 4 ，则a的值是（） A 7 12 B 2 3 C 3 4 D 5 6 11 已知向量OA与OB的夹角为，2OA，OBtOQOAtOPOB)1 (, 1， PQ在 0 t时取得最小值，当 0 1 0 5 t时，夹角的取值范围是（） A0, 3 B, 3 2 C 2 , 23 D 2 0, 3 12设定义在1,e上函数lnfxxxaaR若曲线1cosyx上存在点 00 ,xy使 得 00 ffyy，则实数a的取值范围是（） A1,2ln 2B0 2ln2，C 2 1,1ee D 2 0,1ee 第卷（
5、非选择题共 90 分） 二、填空题：(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 ) 13已知函数 4 log,0 ( ) 3 ,0 x x x f x x ，则 1 4 ff。 14已知 24 3 sinsin 35 ，则 7 sin 6 的值是 第 9 题图 是 否 开始 S=0 ，n=1 2013n 2 cos 3 n SS n=n+1 结束 输出S x y 6 ,Ba a ,0A a C O 第 10 题图 3 15 已 知 函 数2sin2 6 fxx ， 在ABC中 ，, ,a b c分 别 是 角,A B C的 对 边 ， 若 3,()1af A，则bc的最大值为_。 16已知
6、实数,x y满足 : 3 210 ( 12,0)xxyxx，这个方程确定的函数为( )yf x，若 函数kxfxz)(23有且只有一个零点，则实数k的取值范围是。 三、解答题： （本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分12 分） 某同学用 “ 五点法 ” 画函数sin,0, 2 fxAx 在某一个周期内的图象时，列表并 填入的部分数据如下表： x 1 x 3 1 2 x 3 7 3 x x 0 22 3 2 )sin(xA 0 30 30 （）请写出上表的 1 x、 2 x、 3 x，并直接写出函数的解析式； （）将( )f x的图象沿x轴向
7、右平移 2 3 个单位得到函数( )g x的 图象，P、Q分别为函数( )g x图象的最高点和最低点（如图）， 求OQP的大小 18 （本小题满分12 分） 某工厂某种产品的年固定成本为250 万元，每生产 x千件，需另投入成本为 C x，当年产量不足 80 千件时， 2 1 10 3 C xxx（万元）。当年产量不小于80 千件时， 10000 511450C xx x （万元），每件商品售价为0.05 万元 。通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。 （）写出年利润L x（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 第 17 题图
8、 4 19 （本小题满分12 分） 如图， 已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，60ABC，EF，分 别是BCPC，的中点 （）证明：AEPD； （）若2,2ABPA，求二面角EAFC的余弦值 20 （本小题满分12 分） 已知顶点为原点O 的抛物线 1 C的焦点F与椭圆 22 2 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点重合， 1 C与 2 C 在第一和第四象限的交点分别为,A B （）若 AOB 是边长为2 3的正三角形，求抛物线 1 C的方程； （）若AFOF，求椭圆 2 C的离心率e； （）点P为椭圆 2 C上异于,A B的任一点，若直线AP、BP分别与x
9、轴交于点(,0)M m和 ( ,0)N n，试探究：当a为常数时，mn是否为定值？请证明你的结论 21 （本小题满分12 分） 已知函数 2 ( )(2)ln ,f xxaxax其中常数0a。 （）求函数( )f x的单调递增区间； （）设定义在D 上的函数( )yh x在点 00 (, ()P x h x处的切线方程为:( ),lyg x当 0 xx时， 若 0 ( )( ) 0 h xg x xx 在 D 内恒成立，则称P为函数( )yh x的“ 类对称点 ” ，请你探究当4a时，函 数( )yf x是否存在 “ 类对称点 ” ，若存在，请最少求出一个“ 类对称点 ” 的横坐标；若不存在，
10、请说 明理由。 P B E C D F A 第 19 题图 5 选做题：请在22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑 22（本小题满分1 0 分）选修4 1 ：几何证明选讲 如图，O的半径为 6，线段AB与O相交于点C、D，=4AC，BODA，OB与O相 交于点 E。 （） 求BD长； （）当CEOD时，求证：AOAD。 A E O DC B 23 (本小题满分10 分)选修 4 4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是cos4以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，直线l
11、的参数方程是t ty tx ( sin cos1 是参数) （）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且14AB，求直线的倾斜角的值 24 (本小题满分10 分 )选修 45：不等式选讲 已知函数|3|,fxxaxaR （）当1a时，解不等式1fx； （）若0,3x时，4fx，求 a的取值范围 第 22 题图 6 数学（理科）参考答案 题号l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B B C C C D B A C B C B 13 3 1 ；14 5 4 ；1532； 16, 2 5 4 15 )5,( 17解： () 3 2 1 x，
12、 3 4 2 x， 3 10 3 x-3 分 所以) 32 sin(3)(xxf。-6 分 ()将)(xf的图像沿x轴向右平移 3 2 个单位得到函数xxg 2 sin3)(-7 分 因为QP、分别为该图像的最高点和最低点，所以)3, 3(),3, 1 (QP-8 分 所以2OP，4PQ，-9 分 12OQ， 2 3 2 cos 222 QPOQ OPPQOQ -11 分 所以 6 。-12 分 法 2：可以得 o POx60，60P，30QOx所以30 法 3：利用数量积公式, 2 3 39124 )3, 3()32,2( cos QOQP QOQP 所以30 18解： ()因为每件商品售价
13、为0.05 万元，则x千件商品销售额为 x 100005.0万元，依题意得： 当800x时， 25040 3 1 25010 3 1 )100005.0()( 22 xxxxxxL. -2 分 当80x时， x x x xxxL 10000 12002501450 10000 51)100005.0()( 所以 )80( 10000 1200 )800(25040 3 1 )( 2 x x x xxx xL-6 分 () 当800x时 ，950)60( 3 1 )( 2 xxL， 此 时 ， 当60x时 ，)(xL取 得 最 大 值 950)60(L万元。-8 分 当80x时，10002001
14、200 10000 21200 10000 1200)( x x x xxL 7 此时，当 x x 10000 时，即100x时)(xL取得最大值1000 万元。-11 分 1000950所以，当产量为100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000 万元。 -12 分 19解：()证明：由四边形ABCD为菱形，60ABC，可得ABC为正三角形， 因为E为BC 的中点，所以BCAE。又ADBC /，因此ADAE。 因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以AEPA。 而PA平面PAD，AD平面PAD且AADPA， 所以AE平面PAD。又PD平面PAD，所以PDAE。-6 分
15、()由()知AE，AD，AP两两垂直， 以A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，又E， F分别为BC，PC的中点，所以)0,0 ,0(A，)0 , 1, 3(B，)0 , 1 ,3(C，)0,2,0(D， )2,0,0(P，)0, 0,3(E，1 , 2 1 , 2 3 F，所以1 , 2 1 , 2 3 ),0,0,3(AFAE. 设平面AEF的一法向量为),( 111 zyxm则 0 0 AFm AEm 因此 .0 2 1 2 3 ,03 111 1 zyx x 取1 1 z，则)1,2,0(m，因为ACBD，PABD，AACPA，所以BD平面AFC， 故BD为平面AFC的一法向量
16、。又)0, 3 ,3(BD，所以 BDm,cos BDm BDm 5 15 125 32 . 因为二面角CAFE为锐角，所以所求二面角的余弦值为 5 15 。-12 分 20解： (1)设椭圆的右焦点为)0 ,(cF，依题意得抛物线的方程为cxy4 2 -1 分 AOB是边长为32的正三角形，点A的坐标是),3,3(-2 分 代入抛物线的方程cxy4 2 解得, 4 1 c故所求抛物线 1 C的方程为xy 2 。-3 分 (2)OFAF，点A的横坐标是c，代入椭圆方程解得 a b y 2 ，即点A的坐标是 ）（ a b c 2 ,，-4 分 点A在抛物线cxy4 2 上， 2 2 4 4c a
17、 b ，即acb2 2 ，-5 分 将 222 Cab代入上式整理得：,012)( 2 a c a c 8 即 ,012 2 ee解得21e。-6 分 10e，故所求椭圆 2 C的离心率12e。-7 分 (3)证明：设),( 11 yxP，),( 22 yxA，),( 22 yxB，代入椭圆方程得 1 2 2 1 2 2 1 b y a x ，1 2 2 2 2 2 2 b y a x ，-8 分 而直线PA的方程为0)()( 211112 yyxxyyxx，-9 分 令0y得 21 2112 yy yxyx m。-10 分 在 21 2112 yy yxyx m中，以2 y代换 2 y得 ,
18、 21 2112 yy yxyx n-11 分 2 2 2 2 1 2 22 2 122 12 2 22 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 21 2112 21 2112 )1()1( a yy y b y ay b y a yy yxyx yy yxyx yy yxyx mn 当a为常数时，mn是定值。-12 分 21解： ()由xaxaxxfln)2()( 2 可知，函数的定义域为0|xx，且 , )1)(2()2(2 )2(2)( 2 x xax x axax x a axxf-1 分 当2a时，)(xf的单调递增区间为)1 ,0(， , 2 a ；-3 分 当2a时，)(
19、xf的单调递增区间为),0(；-4 分 当20a时，)(xf的单调递增区间为), 1(), 2 ,0( a ；-5 分 ()由题意，当4a时，6 4 2)( x xxf，则在点P处切线的斜率 k切6 4 2)( 0 00 x xxf. 所以切线方程为 00 2 00 0 0 ln46)(6 4 2)(xxxxx x xxgy 4ln4)6 4 2( 0 2 0 0 0 xxx x x-7 分 )ln46()(6 4 2ln46)()()( 00 2 00 0 0 2 xxxxx x xxxxxgxfx，则 x xxx xxx xx x x x xxx 2 )( 22 1)(26 4 26 4
20、2)(, 0)( 00 00 0 0 00 当2 0 x时，)(x在) 2 ,( 0 0 x x上单调递减，所以当) 2 ,( 0 0 x xx时，. 0)()( 0 xx 从而有) 2 ,( 0 0 x xx时，0 )( 0 xx x ； 当2 0 x时，)(x在), 2 ( 0 0 x x 上单调递减，所以当), 2 ( 0 0 x x x时，. 0)()( 0 xx 9 从而有), 2 ( 0 0 x x x时，0 )( 0 xx x ； 所以在 ),2()2,0( 上不存在 “ 类对称点 ” 。-10 分 当 2 0 x时， 2 )2( 2 )(x x x，所以)(x在),0(上是增函
21、数，故 .0 )( 0 xx x -11 分 所以2x是一个类对称点的横坐标。-12 分 22解： ()ODOC，ODCOCD，-1 分 ODBOCA . ABOD ， OBDAOC -3 分 AC OD OC BD ，6ODOC，4AC， 4 6 6 BD ，9BD. -5 分 ()证明： OEOC ， ODCE . ABODCOD . ADOOCDCODODCAAOD oo 180180 AOAD. -10 分 23解： ()4)2( 22 yx，-4 分 ()将 sin cos1 ty tx 代入圆的方程得 4)sin() 1cos( 22 tt，化简得 03cos2 2 tt。 设 A
22、、 B 两点对应的参数分别为 21 tt 、，则 3 cos2 21 21 tt tt ，-6 分 1412cos44)( 2 21 2 2121 ttttttAB， 4 , 2 2 cos,2cos4 2 或 4 3 ，-10 分 24解： ()当1a时，不等式为131xx-1 分 当3x，不等式转化为12)3() 1(xx，不等式解集为空集；-2 分 当13x，不等式转化为1)3()1(xx，解之得1 2 5 x； -3 分 当1x时，不等式转化为12)3() 1(xx，恒成立；-4 分 综上不等式的解集为), 2 5 。-5 分 ()若 3,0x时，4)(xf恒成立，即7|xax，-7 分 亦即727xa恒成立，-8 分 又因为3 ,0x，所以77a，-9 分 所以a的取值范围为7,7。-10 分