高中数学竞赛知识点.pdf

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1、高中数学竞赛知识点 均值不等式 被称为均值不等式。即调和平均数不超 过几何平均数， 几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超 过平方平均数，简记为“调几算方”。 其中：，被称为调和平均数。 ，被称为几何平均数。 ，被称为算术平均数。 ，被称为平方平均数。 一般形式 设函数（当 r 不等于 0 时）； （当 r=0 时），有时，。 可以注意到， Hn Gn AnQn 仅是上述不等式的特殊情形， 即。 特例 对实数 a,b ，有（当且仅当 a=b 时取“=”号）， （当且仅当a=-b 时取“=”号） 对非负实数a,b ，有，即 对非负实数a,b ，有 对实数 a,b ，有 对非负实数a,b ，有

2、 对实数 a,b ，有 对实数 a,b,c ，有 对非负数 a,b ，有 对非负数 a,b,c ，有 在几个特例中，最著名的当属算术几何均值不等式（AM-GM 不等式）： 当 n=2 时，上式即： 当且仅当时，等号成立。 根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即 。 排序不等式 基本形式： 排序不等式的证明 要证 只需证 根据基本不等式 只需证 原结论正确 棣莫弗定理 设两个复数（用三角形式表示） ，则： 复数乘方公式： . 圆排列 定义 从 n 个不同元素中不重复地取出m （1m n）个元素在一个 圆周上，叫做这n 个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋 转可以得到另一个m-圆排列，则认为

3、这两个圆排列相同。 计算公式 n 个不同元素的m-圆排列个数 N为： 特别地，当 m=n时，n 个不同元素作成的圆排列总数N为： 。 费马小定理 费马小定理 (Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其 内容为： 假如 p 是质数，且(a,p)=1 ， 那么 a(p- 1)1（mod p） 。 即：假如 a 是整数， p 是质数，且 a,p 互质( 即两者只有一个公 约数 1) ，那么 a 的(p-1) 次方除以 p 的余数恒等于1。 组合恒等式 组合数 C(k,n) 的定义：从 n 个不同元素中选取k 个进行组合 的个数。 基本的组合恒等式 nC(k,n)=kC(k-1,n-1)

4、 C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m) C(i,n)=2n ( -1)i*C(i,n)=0 C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n) （这个性质叫组合的 【聚合性】 ） C(k,n)+C(k,n+1)+ +C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1) -C(k+1,n) C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+C(p- 1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n) 韦达定理 逆定理 如果两数 和 满足如下关系： +=，= ，那 么这两个数 和 是方程的根。 通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系

5、构造一元 二次方程。 5 推广定理 韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可 以推广说明一元n 次方程根与系数的关系。 定理： 设 （i=1 、 2、 3、 n） 是方程： 的 n 个根，记k 为整数），则有： 。 实系数方程虚根成对定理： 实系数一元 n 次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b 0)是 方程的一个根，则 =a-bi 也是一个根。 无穷递降法 无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为： 假设方程有解，并设X为最小的解。 从 X推出一个更小的解Y。 从而与 X的最小性相矛盾。所以，方程无解。 孙子定理 又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同 余方

6、程组： 有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体 形式。 中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, . ,mn两两互质，则 对任意的整数： a1,a2, . ,an ，方程组有解，并且通解可以 用如下方式构造得到： 设是整数 m1,m2, . ,mn的乘积，并 设是除了 mi 以外的 n- 1 个整数的乘积。 设为模的数论倒数：方程 组的通解形式 ： 在模的意义下，方程组只有一个解： 同余 同余公式也有许多我们常见的定律, 比如相等律 , 结合律 , 交 换律 , 传递律 . 如下面的表示 : 1)aa(mod d) 2)ab(mod d) ba(mod d) 3)(a b(mod

7、d),b c(mod d) ac(mod d) 如果 ax(mod d),b m(mod d), 则 4)a+bx+m （ mod d） 其中 ax (mod d) ，bm(mod d) 5)a- bx -m (mod d) 其中 ax (mod d),bm (mod d) 6)a*b x*m (mod d ) 其中 ax (mod d),bm (mod d) 7）ab（ mod d）则 a-b 整除 d 欧拉函数 函数的值通式： (x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)(1-1/pn),其中 p1, p2 pn 为 x 的所有质因数， x 是不为 0 的整数

8、。 (1)=1 （唯一和 1 互质的数 ( 小于等于 1) 就是 1 本身）。 ( 注意：每种 质因数只一个。比如12=2*2*3 那么（12）=12*（1-1/2 ） *(1-1/3)=4 若 n 是质数 p 的 k 次幂， (n)=pk-p(k-1)=(p-1)p(k-1)， 因为除了 p 的倍数外，其他数都跟n 互质。 设 n 为正整数，以(n) 表示不超过 n 且与 n 互 素的正整数的个数，称为n 的欧拉函数值，这里函数 ：NN，n(n) 称为欧拉函数。 欧拉函数是积性函数若m,n 互质， (mn)=(m) (n) 。 特殊性质：当 n 为奇数时，(2n)= (n), 证明与上述类似

9、。 若 n 为质数则 (n)=n-1 。 格点 定义 数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点 (lattice point)或整点。 性质 1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。 2、格点关于格点的对称点为格点。 3、格点多边形面积公式（坐标平面内顶点为格点的三角形称 为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。）设某格点多边 形内部有格点a 个，格点多边形的边上有格点b 个，该格点多边 形面积为 S， 则根据皮克公式有S=a+b/2-1 。 4，格点正多边形只能是正方形。 5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点 为此三角形的重心。 三面角 定义 三

10、面角：由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角 可记作O -ABC 。 特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。 三面角的补三面角：由三条自已知三面角定点发出的垂直于 已知三面角的三个平面的射线组成的三面角叫做已知三面角的 补三面角。 性质 1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。 2、三面角的三个二面角的和大于180，小于 540。 三面角相关定理 设三面角O -ABC的三个面角 AOB 、BOC 、AOC所对的二 面角依次为 OC ，OA ，OB 。 1、三面角正弦定理： sin OA/sinBOC=sin OB/sinAOC=sin OC/sinAOB 。 2、三面角第一余

11、弦定理： cosBOC=cos OA sin AOB sin AOC+cos AOB cos AOC 。 3、三面角第二余弦定理： cosOA=cos BOC sin OB sin OC - cosOB cosOC 。 直线方程 一般有以下八种描述方式：点斜式，斜截式，两点式，截距 式，一般式，法线式，法向式，点向式。 点斜式 已知直线一点 (x1,y1,)并且存在直线的斜率k， 则直线可表示 为： y-y1=k(x-x1)。适用范围：斜率K存在的直线。 斜截式 已知与 Y轴的交点（0， b） ， 斜率为 K， 则直线可表示为： y=kx+b。 适用范围：斜率存在的直线。 两点式 两点式是解析

12、几何直线理论的重要概念。当已知两点（X1， Y1），（ X2，Y2）时，将直线的斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)代 入点斜式时， 得到两点式 (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) 。适 用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的的直线。 截距式 已知与坐标轴的交点（a，0），（ 0，b）时，截距式的一般 形式： x/a+y/b=1 （a0 且 b0）。适用范围：不平行于（或者 说不垂直于）坐标轴的直线，不过原点的直线。 一般式 ax+by+c=0 (A 、B不同时为 0) 。斜率： -A/B 截距： -C/B。两 直线平行时： A1/A2=B1/B2C1/C2，

13、则无解。两直线相交时： A1/A2B1/B2；两直线垂直时： A1A2+B1B2=0 A1/B1A2/B2=-1 ， 都只有一个交点。两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2，则有无 数解。适用范围：所有直线均可适用。 法线式 过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角 为 ，p 是该线段的长度。 xcos +y sin -p=0。 法向式 知道直线上一点（ x0，y0）和与之垂直的向量（a，b），则 a （x-x0 ）+b（y-y0 ）=0，法向量 n=（a，b）方向向量 d=（b，-a ） k=a/b 。 点向式 知道直线上一点 (x0,y0)和方向向量（ u,v ），

14、(x-x0)/u=(y-y0)/v (u0,v 0)。 极坐标系 极坐标系（ polar coordinates）是指在平面内由极点、极轴 和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O ，称为极点。从O出 发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定 角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用 线段 OP的长度 以及从 Ox到 OP的角度 来确定，有序数对 （，）就称为 P点的极坐标，记为P（，）； 称为 P 点的极径， 称为 P点的极角。 极坐标方程 于极点（ 90/270）对称，如果r( - ) = r() ，则曲 线相当于从极点顺时针方向旋转。 圆 方程为 r( )

15、= 1的圆。 在极坐标系中，圆心在(r0, ) 半径为 a 的圆的方程为 r2-2rr0cos(- )+r02=a2 该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如 方程 r( )=a 表示一个以极点为中心半径为a 的圆。 直线 经过极点的射线由如下方程表示= , 其中 为射线的倾斜角度，若 k 为直角坐标系的射线的斜 率，则有 = arctan k。 任何不经过极点的直线都会与某条 射线垂直。这些在点（ r0, ）处的直线与射线 = 垂直， 其方程为 r( )=r0sec( - ) 圆幂 点到圆的幂：设P 为O 所在平面上任意一点，PO=d ，O 的半径为 r ，则 d2r2 就是点

16、P对于 O的幂过 P任作一直 线与 O交于点 A、B，则 PA PB= |d2 r2| “到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条 直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线” 这个结论这条直线称为两圆的“根轴” 三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点， 这一 点称为三圆的“根心” 三个圆的根心对于三个圆等幂 当三个圆两两相交时， 三条公共弦 (就是两两的根轴 ) 所在直 线交于一点 1 定义从一点A作一圆周的任一割线，从A起到和圆相交 为止的两段之积，称为点A于这圆周的幂 2 圆幂定理已知 (O, r) ，通过一定点P，作 O的任一 割线交圆于 A, B ，则 P

17、A，PB为 P对于 O的幂，记为 k ，则 当 P在圆外时， k=PO2-r2 ； 当 P在圆内时， k= r2-PO2 ； 当 P在圆上时， k=0. 图：相交弦定理。如图，AB、CD为圆 O的两条任意弦。相 交于点 P， 连接 AD 、 BC ， 由于B 与D 同为弧 AC所对的圆周角， 因此由圆周角定理知： B= D ，同理A= C ，所以。 所以有：，即：。 图：割线定理。如图，连接AD 、BC 。可知 B= D ，又因为 P 为公共角，所以有，同上证得。 图：切割线定理。如图，连接AC 、AD 。PAC为切线 PA与 弦 AC组成的弦切角，因此有 PBC= D ，又因为P为公共角，

18、所以有，易 图： PA 、PC均为切线，则 PAO= PCO=90 ，在直角三角 形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此。所以 PA=PC ，所 以。 综上可知，是普遍成立的。 根轴 定义 在 平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合 是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。 另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称 作等幂轴。 根轴方程 设两圆 O1,O2的方程分别为： (x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=0(1) (x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2=0(2) 由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点(x,y), 有 (x-a1)2+(y-b

19、1)2-(r1)2=圆幂=(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2 两式相减，得根轴的方程( 即 x,y 的方程 ) 为 2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0 其中 f1=(a1)2+(b1)2-(r1)2,f2类似。 解的不同可能 (1)(2)连立的解，是两圆的公共点M(x1,y1),N(x2,y2) 如果是两组不等实数解，MN不重合且两圆相交，根轴是两圆的 公共弦。 如果是相等实数解，MN重合，两圆相切，方程表示两圆的内公 切线。 如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标 系内没有实质。称M,N是共轭虚点。 尺规作图 相交 , 相切时根轴为两圆交点的连线

20、. 内含时 , 作一适当的圆与两园相交, 这圆与两圆的根轴的交点在 根轴上 . 同理 再作一点 , 两点所在的直线即为根轴( 等幂轴 ) 相关定理 1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线； 2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线； 3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线； 4，若两圆外离，则两圆的根轴上的点分别引两圆的切线，则切 线长相等。 5，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆 心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三 圆圆心共线，则三条根轴互相平行； 6， 反演后的圆和反演圆和被反演的圆3 个圆共根轴。 容斥原理 也可表示为：设S为有限集

21、 ,则 两个集合的容斥关系公式：AB =|AB| = |A|+|B| - |AB |( ：重合的部分） 三个集合的容斥关系公式：|ABC| = |A|+|B|+|C| - |AB| - |BC| - |CA| + |A BC| 抽屉原理 第一抽屉原理 原理 1： 把多于 n+k 个的物体放到n 个抽屉里，则至少有一 个抽屉里的东西不少于两件。 证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那 么物体的总数至多是n1，而不是题设的n+k(k 1)， 故不可能。 原理 2 ：把多于 mn(m乘以 n)（n 不为 0）个的物体放到n 个 抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1 ）的物体。 证

22、明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体 , 那么 n 个抽 屉至多放进 mn个物体 , 与题设不符，故不可能。 原理 3 ：把无穷多件物体放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉 里 有无穷个物体。 原理 1 、2 、3 都是第一抽屉原理的表述。 第二抽屉原理 把（mn 1）个物体放入 n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至 多有（ m 1）个物体 ( 例如，将 35-1=14 个物体放入 5 个抽屉 中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2) 。 极端原理解题，就是在解决相关数学问题时，重点放在所研 究问题的极端情况。 极端原理 最小数原理、最大数原理 命题一有限个实数中， 必有一个最小数 （也必有一个最大数） 。 命题二在有限个或无限个正整数中，必有一最小数。 命题二可用集合的语言表述为， 最小数原理 ：若是自然数集的任一非空子集 ( 注：有限或 无限均可 ) ，则中必有最小的数，即对属于的任何数，均 有。 最短长度原理 最短长度原理1：任意给定平面上的两点，在所有连接这两点 的曲线中，以直线段的长度为最短；（需注意此原理虽然是直观 的，但对曲线和其长度的严格定义却颇费周折。） 最短长度原理2： 在连接一已知点和已知直线或已知平面的点 的所有曲线中，以垂线段的长度为最短。