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1、2017 学年春季学期 高等数学（二） 期末考试试卷（B） 注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110 分钟； 3 、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题（8 个小题，每小题2 分，共 16 分）将每题的正确答案的 代号 A、B、 C 或 D 填入下表中 1a与b是向量，若baba，则必有（） (A) ab(B)0,0ab或(C)a=b(D)a ba b 2. ,0,1 sin() lim x y xy x ( ). （ A） 不存在（B） 1（C）0（D） 3二元函数),(yxfz在),( 00 yx处可微的充要条件是（） （ A）),(yxf在),( 00 yx处连续 （B）)
2、,(yxf x ，),(yxfy在),( 00 yx的某邻域内存在 （C）),(yxf x ，),(yxfy在),( 00 yx的某邻域内连续 （D） 当0)()( 22 yx时，yyxfxyxfz yx ),(),( 0000 是 比 22 ()()xy高阶的无穷小 4对函数 22 ( , )f x yxy，原点(0,0)是( ,)f x y的( ). （ A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点 （ C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点 5设平面区域D：1) 1()2( 22 yx，若 2 1 () d D Ixy ， 3 2 () d D Ixy 则有（） （A） 21 II（B） 21
3、 II（C） 21 II（D）不能比较 6设椭圆L：1 34 22 yx 的周长为l，则()d L xys （） (A)0 (B) l (C) l 3 (D) l 4 7下列结论正确的是( ) (A)若 1 1 n n u u (1,2,)n成立，则正项级数 1 n n u 收敛 (B) 当0lim n n u时，交错级数 1 ( 1) n n n u 收敛 (C) 若级数 1 n n u 收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛 (D) 若对级数 1 n n u 的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛 8. 设 1n n nx a的收敛半径为(0)R R，则 1 2 n n
4、 nx a的收敛半径为( A ) (A) R(B) R(C) 2 R(D) 不能确定 二、填空题 (7 个小题，每小题2 分，共 14 分) 1过点(1,2,3)且方向向量为(1,2,3)n的直线方程为； 2. 设z是方程e z xyz所确定的 ,x y的隐函数，则(1,0,0) z x ； 3. 设 22 ( , )fx yxy，则(1,1)fgrad； 4. 交换积分 1 0 d( , )d y y yf x yx的积分次序，变为 ； 5设L是直线21yx上从点（ 0，1）到点（ 1，3）的线段，将( , )( , ) L P x y dxQ x y dy 转换成对弧长的曲线积分为； 6.
5、 幂级数 1 1 ( 1) n n n x n 的收敛域是； 7. 设有周期为2的函数，它在(,上的表达式为 xx x xf 0,1 0,1 ， 其傅里叶级数在点x处收敛于. 题号一二三四总分 得分 阅卷人得分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 阅卷人得分 三 峡 大 学 试 卷 纸 教 学 班 号 序 号 学 号 姓 名 答 题 不 要 超 过 密 封 线 三、综合解答题一（5 个小题，每小题7 分，共 35 分.解答题应写出文字说 明、证明过程或演算步骤） 1设( , )zz x y由方程(23 ,2)0Fxzyz所确定，其中F是可微函数，求dz 解： 2. 求曲面32xyze
6、z 在点)0 ,1 ,2(处的切平面方程与法线方程. 解： 3. 计算二重积分 22 ()d D xxyy ，其中D由1,0,0yxyx所围成 解： 4计算 (1)dIxv，其中 是以原点(0,0,0)为形心，边长为a正立方体 解： 5求幂级数 01 n n x n 的收敛域与和函数 解： 阅卷人得分 三 峡 大 学 试 卷 纸 教 学 班 号 序 号 学 号 姓 名 答 题 不 要 超 过 密 封 线 四、综合解答题二（5 个小题，每小题7 分，共 35 分.解答题应写出文字说 明、证明过程或演算步骤） 1在椭圆44 22 yx上求一点，使其到直线0632yx的距离最短 解： 2. 计算dd
7、 L y xx y，其中L是沿圆周 1)1()1( 22 yx正向一周 解： 3计算d L xy s，其中L为从（ 0， 0）到（ 2，0）的上半圆弧： )0(2 22 yxyx 解： 4计算积分dIz S，其中 是上半球面 222 yxaz，(0)a. 解： 5利用高斯公式计算对坐标的曲面积分 ( coscoscos )dxyzS， 其中 为锥面 222 xyz介于平面0z及1z 之间的部分的下侧，(cos,cos,cos)是上点( , , )x y z处的法向量的方向余弦 解： 2017 学年春季学期 阅卷人得分 三 峡 大 学 试 卷 纸 教 学 班 号 序 号 学 号 姓 名 答 题
8、不 要 超 过 密 封 线 高等数学（二） 期末考试试卷 (B) 答案及评分标准 一、单项选择题（8 个小题，每小题2 分，共 16 分） 1a与b是向量，若baba，则必有（ D ） (A) ab；(B)0,0ab或；(C)a=b；(D)a ba b 2. ,0,1 sin() lim x y xy x ( B ). （ A） 不存在；（B） 1； （C）0；（D）. 3二元函数),(yxfz在),( 00 yx处可微的充要条件是（ C ） （ A）),(yxf在),( 00 yx处连续； （B）),(yxf x ， ),(yxf y 在),( 00 yx的某邻域内存在； （C）),(yxf
9、x ，),(yxfy在),(00yx的某邻域内连续； (D)当0)()( 22 yx时，yyxfxyxfz yx ),(),( 0000 是比 22 ()()xy高阶的无穷小 4对函数 22 ( , )f x yxy，原点(0,0)是( ,)f x y的( C ). （ A）驻点与极值点；（B）驻点，非极值点； （ C）极值点，非驻点；（D）非驻点，非极值点. 5设平面区域D：1) 1()2( 22 yx，若 2 1 () d D Ixy ， 3 2 () d D Ixy 则有（ A ） （A） 21 II；（B） 21 II；（C） 21 II；（D）不能比较 6设椭圆L：1 34 22 y
10、x 的周长为l，则()d L xys （A ） (A)0 ； (B) l； (C) l 3 ； (D) l 4 7下列结论正确的是( C ) (A)若 1 1 n n u u (1,2,)n成立，则正项级数 1 n n u 收敛； (B) 当0lim n n u时，交错级数 1 ( 1) n n n u 收敛； (C) 若级数 1 n n u 收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛； (D) 若对级数 1 n n u 的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛 8. 设 1n n nx a的收敛半径为(0)R R，则 1 2 n n nx a的收敛半径为( A ) (A) R；
11、(B) R；(C) 2 R；(D) 不能确定 二、填空题 (7 个小题，每小题2 分，共 14 分) 1过点(1,2,3)且方向向量为(1,2,3)n的直线方程为 123 123 xyz 2. 设z是方程e z xyz 所确定的,x y的隐函数，则(1,0,0) z x _ 1 2 _ 3. 设 22 ( , )fx yxy，则(1,1)fgrad（2，-2 ） 4. 交换积分 1 0 d( , )d y y yf x yx的积分次序为 _ 2 1 0 d( , )d x x xf x yy_ 5设L是直线21yx上从点（ 0，1）到点（ 1，3）的线段，将( , )( , ) L P x y
12、 dxQ x y dy 转换成对弧长的曲线积分为 1 (2) 5 L PQ ds 6. 幂级数 1 1 ( 1) n n n x n 的收敛域是(1, 1 . 7. 设有周期为2的函数，它在(,上的表达式为 xx x xf 0,1 0,1 ， 其傅里叶级数在点x处收敛于 2 . 三、综合解答题一（5 个小题，每小题7 分，共 35 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 1设( ,)zz x y由方程(23 ,2)0Fxzyz所确定，其中F是可微函数，求dz 解：ddd xy zzxzy2 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案D B C C A A C A 12 1212
13、22 dd 33 FF xy FFFF 5 分 12 12 2d2d 3 FxFy FF 7 分 或解：由 12 (2d3d )(2dd )0FxzFyz，得 12 12 2d2d d 3 FxFy z FF 2. 求曲面32xyze z 在点)0 ,1 ,2(处的切平面方程与法线方程. 解：令32),(xyzezyxF z ，2 分 则2, z zyx eFxFyF，故 (2,1,0) (1,2,3)=n 4 分 所求切平面的方程为03)1(2)2(zyx， 即432zyx，6 分 法线方程为 32 1 1 2zyx .7 分 3. 计算二重积分 22 ()d D xxyy ，其中D由1,0
14、,0yxyx所围成 解： 22 ()d D xxyy = 1-1 22 00 d()d x xxxyyy 4分 1 32 0 515 ()d 62324 x xxx 7 分 4计算(1)dIxv，其中是以原点(0,0,0)为形心，边长为a正立方体 解：的形心为(0,0,0)，的体积V为 3 a，4 分 故 3 IxVVVa. 7 分 5求幂级数 01 n n x n 的收敛域与和函数 解：因为 1 1 limlim1 2 n nn n a n an ，所以1R1 分 在左端点1x，幂级数成为 0 ( 1) 1 n n n ，它是收敛的； 在右端点1x，幂级数成为 0 1 1nn ，它是发散的，
15、 故该幂级数收敛域为 1,1)3 分 令 0 ( ) 1 n n x s x n ， 1,1)x，于是 1 0 ( ) 1 n n x xs x n ， 1,1)x， 逐项求导，得( )xs x 1 01 n n x n = 1 01 n n x n = 0 n n x= 1 1x ，( 1,1)x 将上式两端从 0到x积分，得 0 1 ( )dln(1), 11 1 x xs xxxx x ， （根据和函数的连续性，当1x时，此式也成立） 于是，当 0x 时， 1 ( )ln(1)s xx x ，又(0)1s故 1 ln(1),-1,0)(0,1), ( ) 1,0. xx s xx x 7
16、 分 四、综合解答题二（5 个小题，每小题7 分，共 35 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 1在椭圆44 22 yx上求一点，使其到直线0632yx的距离最短 解：设),(yx为椭圆44 22 yx上任一点，则该点到直线0632yx的距离为 13 326yx d；令)44()326( 222 yxyxL，2 分 于是由 22 4(623 )20, 6(623 )80, 440, x y Lxyx Lxyy Lxy 得驻点 1 8 3 (, ) 3 5 M， 2 8 3 (,) 5 5 M， 3 83 (,) 55 M， 4 83 (,) 55 M，5 分 依题意，椭圆到直线一
17、定有最短距离存在， 其中 13 13 13 326 1 minM yx d即为所求7 分 2. 计算dd L y xx y，其中L是沿圆周 1) 1()1( 22 yx正向一周 解：圆周1)1()1( 22 yx所围区域D 的面积为 2 1，3 分 由格林公式得 dd(11)d d LD y xx yx y=27 分 3计算d L xy s，其中L为从（ 0， 0）到（ 2，0）的上半圆弧： )0(2 22 yxyx 解： :L 1cos ,0, sin xt t yt ，3 分 0 d(1cos )sin d2 L xy stt t 7分 4计算积分dIz S，其中 是上半球面 222 yx
18、az，(0)a. 解： 22 d1d d xy Szzx y= 222 d d a x y axy 3 分 22222 1d d xy D Iaxyzzx y 5 分 2223 222 d dd d DD a axyx ya x ya axy 7 分 5利用高斯公式计算对坐标的曲面积分 ( coscoscos )dxyzS， 其中 为锥面 222 xyz介于平面0z及1z 之间的部分的下侧，（cos,cos,cos）是上点( , , )x y z处的法向量的方向余弦 解：设 1为 22 1(1)zxy的上侧，2 分 则与 1一起构成一个闭曲面， 记它们围成的空间闭区域为 1， 由高斯公式得 1 ( coscoscos )dxyzS3d d dx y z=4 分 而 22 111 ( coscoscos )dd dd d xy xyzSz x yx y ，6 分 因此( coscoscos )dxyzS=0 7 分