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1、第十一届华杯赛决赛试题及解答 一、填空题 1、计算：126.3（） 2、 如图是一个长方形， 其中阴影部分由一副面积为1 的七巧板拼成 （如 图b）。那么这个长方形的面积是（） 3、有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场， 胜得 3 分，负者得 0 分，如果踢平，两队各得1 分。现在甲、乙、丙分 别得了 7 分、1 分和 6 分，已知甲和乙踢平，那么丁得（）分。 4、图中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线要 联，连续标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大的信息 量。现在从结点A向结点B传递信息， 那么单位时间内传梯的最大信息 量是（）。 5、 先写
2、出一个两位数62， 接着在 62 右端写这两个数字的和8， 得到 628， 再写末两位数字2和 8的和 10， 得到 62810， 用上述方法得到一个有2006 位的整数： 628101123, ，则这个整数的数字之和是（）。 6、智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老 人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多 出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人 数应该是（）人。 7、如图所示，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的 所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为10500，则线段AB 的长度是（）。 8、10
3、0个非 0 自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能 值是（）。 二、解答下列各题 9、如图，圆O的直径AB与CD互相垂直，AB=10厘米，以C为圆心，CA 为半径画弧。求月牙形ADBEA（阴影部分）的面积。 10、甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的速度之比是865，它们沿一个圆圈 从同一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行。 问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次（包括结束时刻）？ 11、 12、将一根长线对折，再对折，共对折10 次，得到一束线，用剪刀将 这束线剪成 10 等份，问：可以得到不同长度的短线段各多少根？ 三、解答下列各题 13、华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年： “
4、猛攻若战是第一，熟练生出百巧来，勤能补拙是良训，一分辛劳一分 才。“ 现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应相同的自 然数，并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自然数。如 果这个 28 个自然数的平均值是23，问“分”字对应的自然数的最大可 能值是多少？ 14、一根长为 L 的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度将 它分成n等份（mn）。 (1) 设x是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x+1是m和n的公约 数； (2) 如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170 根长短不等的 小棍，其中最长的小棍恰有100 根。试确定m和n的值。 一、填空 1. 0
5、.1 2. 3. 3 4. 17 5. 7018 6. 127 7. 5 8. 17 二、解答下列各题，要求写出简要过程 9 解：月牙形ADBEA( 阴影部分 ) 的面积半圆的面积+ABC的面积 扇形的面积 月牙形 ADBEA 的面积25（平方厘米） . 答：月牙形 ADBEA 的面积是 25 平方厘米。 10 解：甲乙丙三只蚂蚁的速度之比为865，所以，当它们首次同 时回到出发点时，甲运动8 圈，乙运动 6 圈。蚂蚁甲比蚂蚁乙多运动 了 1 圈，就追上蚂蚁乙1 次，所以，甲一共追上乙2 次。 答：当三只蚂蚁爬行结束时，甲追上乙2 次。 1l 解：设三角形 BCO 以 CD为轴旋转一周所得到的
6、立体的体积是s，S 等于高为 10厘米，底面半径是6 厘米的圆锥的体积减去2 个高为 5 厘 米，底面半径是3 厘米的圆锥的体积。 即：， 2S180565.2 （立方厘米） 答：体积是 565.2 立方厘米。 12 解： 10 次对折后，得到的是1024 条线并列的线束。 用剪刀将得到的线束剪成10 等分，除去两端，中间的8 等分的线段 都是较短的线段，共有81024根。 另外，剪下的两端，其中，有一端，有2 条短的线段。余下 (21024 2)条线，每两条构成1 条线段。所以，较长的线段有102411023 根，较短的线段共有8102428194 根。 答： 较长的线段有10241=102
7、3根， 较短的线段共有8102428194 根。 三、解答下列各题，要求写出详细过程 13解：因为 2328=644， 设这串连续自然数的起始的数是m ， 不同汉字所对应的自然数依次是： m ，m 1，, ， m 23；设其中“分”字对应的自然数是m x，“是”字 对应 m a，“一”字对应m b。既然要求“分”字对应的自然数尽可 能大，可以要求23Xab0。 诗文中“分、 是”各出现 2 次，“一”出现 3 次，其他汉字只出现1 次， 则有 644， 28m 276（a2b） x644，28m 368x（ a2b） ，但是， 23x，b0，ab10，a2babb1. 所以，35.29. 取
8、m=12 ，x=23，a=9，b=0(或 a=5，b=2 或 a=1，b=4)，得到满足条件的 解，其中“分”对应的自然数是35。 答：“分”对应的自然数的最大可能值是35。 14解： 同样， 由题设， ， 所以， ， 即 13n 是 1313 的因数，1313 只有 3 个因数：1，13，. 所以， 甲追上乙的位置 (3 分) ：会判断丙在甲追上乙的时刻所爬行的距离 (3 分)。 即 13+n是 1313 的因数， 1313 只有 3 个因数： 1，13，13。所以， 13+n=，n=13=156，m=12 。 求出正整 m ，n 的另一方法：使， . 设 m Ka，nKb，(a，b)=1，代入上式，. (b 一 a)和 a，b 都互质， 一定整除 K。记 d是正整数， ba 则有： . 由上式和 ba，b=13，a=1，d=1。所以， K=12 ，m和 n 有唯一解， m=13 ， n=156。 符：m=13 ，n=156。