《(最新)高等数学基本知识点大全大一复习,考研必备.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(最新)高等数学基本知识点大全大一复习,考研必备.doc（84页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄
2、膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈
3、肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂
4、芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆
5、肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁
6、莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈
7、膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂
8、羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆
9、节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀
10、肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅
11、莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈芅螀羅肄芄蒀螇羀莃薂羃芈莃蚅螆膄莂袇羁膀莁薇袄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁肈膇莇薃袀肃蒇蚆肆罿蒆螈衿芇蒅蒈蚂芃蒄蚀羇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒂薄螈芀蒁蚆羄膆薀蝿螆肂蕿蒈羂羈薈薁螅莇薇螃肀芃薆袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁膁螀肇艿芀葿袀膅艿薂肅肁艿螄袈肇芈艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂
12、薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿
13、莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃
14、蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇
15、蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁
16、螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆
17、薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀
18、莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄
19、蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁
20、蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅
21、蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀
22、薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄
23、莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈
24、蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃
25、蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿蚄虿肁膂薀蚈膃莇蒆螇袃膀莂螆羅莅蚁螅肇膈蚇螄芀莄薃螄罿芇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄蒀薀袀羆芃蒅衿肈葿莁袈膁芁螀袈羀肄蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈袅袄莈莄袄羇膁蚃羃聿莆蕿羂膁腿蒅羂袁莅莁羁肃膇蝿羀膆蒃蚅罿芈芆薁羈羈蒁蒇薅肀芄莃蚄膂葿
26、蚂蚃袂节薈蚂羄蒈蒄蚁膇芁蒀蚀艿膃螈蚀羈荿 大一期末复习和考研复习必备高高等数学基本知识点84一、函数与极限1、集合的概念 、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。、邻域：设与是两个实数，且0.满足不等式x-的实数x的全体称为点的邻域，点称为此邻域的中心，称为此邻域的半径。2、函数、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变
27、量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母f、F表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。、域函数
28、的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：笛卡尔直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：笛卡尔直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：3、函数的简单性态、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有f(x)M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么
29、我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx在(-,+)内是有界的.、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1x2时，有 ，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。例题：函数=x2在区间(-,0)上是单调减小的，在区间(0,+)上是单调增加的。、函数的奇偶性如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于
30、定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。、函数的周期性对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。例题：函数是以2为周期的周期函数；函数tgx是以为周期的周期函数。4、反函数、反函数的定义：设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义域内必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。 、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值
31、域为 R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).注：严格增(减)即是单调增(减)例题：y=x2，其定义域为(-,+)，值域为0,+).对于y取定的非负值,可求得x=.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-,+)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x0，则对y0、x=就是y=x2在要求x0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减). 、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一笛卡尔直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图所示： 5、复合函数复合函数的定义：若y是u的
32、函数：，而u又是x的函数：，且的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。例题：函数与函数是不能复合成一个函数的。因为对于的定义域(-,+)中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2），使都没有定义。6、初等函数、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不论x为何值,y总为正数;b):
33、当x=0时,y=1.对数函数a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点b):当a1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+)的值为正；在定义域内单调增.幂函数a为任意实数这里只画出部分函数图形的一部分。令a=m/na):当m为偶数n为奇数时,y是偶函数;b):当m,n都是奇数时,y是奇函数;c):当m奇n偶时,y在(-,0)无意义.三角函数(正弦函数)这里只写出了正弦函数a):正弦函数是以2为周期的周期函数b):正弦函数是奇函数且反三角函数(反正弦函数)这里只写出了反正弦函数a):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在-/2,/2上,并称其为反正弦函数的主值.、初等函数：由基本初等
34、函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.例题：是初等函数。7、双曲函数及反双曲函数、双曲函数：在应用中我们经常遇到的双曲函数是：(用表格来描述)函数的名称函数的表达式函数的图形函数的性质双曲正弦a)：其定义域为:(-,+)；b)：是奇函数；c)：在定义域内是单调增双曲余弦a)：其定义域为:(-,+)；b)：是偶函数；c)：其图像过点(0,1)；双曲正切a)：其定义域为:(-,+)；b)：是奇函数；c)：其图形夹在水平直线y=1及y=-1之间；在定域内单调增；我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：双曲函数的性质三角函数的性质shx与thx
35、是奇函数，chx是偶函数sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数它们都不是周期函数都是周期函数双曲函数也有和差公式：、反双曲函数：双曲函数的反函数称为反双曲函数.a)：反双曲正弦函数 其定义域为：(-,+)；b)：反双曲余弦函数 其定义域为：1,+)；c)：反双曲正切函数 其定义域为：(-1,+1)；8、数列的极限我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。 、数列：若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an，那末，我们称这列有次序的数a1，a2，an，为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.注：
36、我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数，即：an=，它的定义域是全体正整数 、极限：极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。、数列的极限：一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数(不论其多么小)，总存在正整数N，使得对于nN时的一切不等式都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a .记作：或注：此定义中的正数只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数是有关的，它是随着的给定而选定的。、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能
37、理解它。数列极限为a的一个几何解释：将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的邻域即开区间(a-，a+)，如下图所示： 因不等式与不等式等价，故当nN时，所有的点都落在开区间(a-，a+)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。 、数列的有界性：对于数列，若存在着正数M，使得一切都满足不等式M，则称数列是有界的，若正数M不存在，则可说数列是无界的。定理：若数列收敛，那末数列一定有界。注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1，
38、 是有界的，但它是发散的。9、函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取 1内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢 ?下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!、函数的极限(分两种情况)a):自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设函数，若对于任意给定的正数(不论其多么小)，总存在着正数X，使得对于适合不等式 的
39、一切x，所对应的函数值都满足不等式 那末常数A就叫做函数当x时的极限，记作：下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：数列的极限的定义函数的极限的定义存在数列与常数A，任给一正数0，总可找到一正整数N，对于nN的所有都满足则称数列，当x时收敛于A记：。存在函数与常数A，任给一正数0，总可找到一正数X，对于适合的一切x，都满足，函数当x时的极限为A，记：。b):自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.例：函数，当x1时函数值的变化趋势如何？函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把x1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:从中
40、我们可以看出x1时，2.而且只要x与1有多接近，就与2有多接近.或说：只要与2只差一个微量，就一定可以找到一个，当时满足定义：设函数在某点x0的某个去心邻域内有定义，且存在数A，如果对任意给定的(不论其多么小)，总存在正数，当0时，则称函数当xx0时存在极限，且极限为A，记：。注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？这是因为我们只讨论xx0的过程，与x=x0出的情况无关。此定义的核心问题是：对给出的，是否存在正数，使其在去心邻域内的x均满足不等式。有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢？ a):先任取0； b):写出不等式；c):解不等式能否得出去心邻域0，若能
41、； d):则对于任给的0，总能找出，当0时，成立，因此10、函数极限的运算规则、函数极限的运算规则 若已知xx0(或x)时，.则： 推论： 在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。函数极限的存在准则学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。 我们先来看一个例子：例：符号函数为对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。定义：如果x仅从左侧(xx0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的左极限.记：如果x仅从右侧(xx0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的右
42、极限.记：注：只有当xx0时，函数的左、右极限存在且相等，方称在xx0时有极限函数极限的存在准则 准则一：对于点x0的某一邻域内的一切x，x0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有，且，那末存在，且等于A注：此准则也就是夹逼准则.准则二：单调有界的函数必有极限.注：有极限的函数不一定单调有界两个重要的极限 一：注：其中e为无理数，它的值为：e=2.718281828459045.二：例题：求解答：令，则x=-2t，因为x，故t，则注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x时，若用t代换1/x，则t0.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：已知函数，当x0时，可
43、知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数，当时，成立，则称函数当时为无穷大量。记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当x时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x时是无穷大量，记为：无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。定义：设有函数，对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正数(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x)
44、时 为无穷小量.记作：(或)注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数在(或x)时有极限A，则差是当(或x)时的无穷小量，反之亦成立。定理二：无穷小量的有利运算定理a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比较通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下
45、来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。定义：设，都是时的无穷小量，且在x0的去心领域内不为零，a)：如果，则称是的高阶无穷小或是的低阶无穷小；b)：如果，则称和是同阶无穷小；c)：如果，则称和是等价无穷小，记作：(与等价)例：因为，所以当x0时，x与3x是同阶无穷小；因为，所以当x0时，x2是3x的高阶无穷小；因为，所以当x0时，sinx与x是等价无穷小。等价无穷小的性质设，且存在，则.注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。例题：求 此题不能将其展开成两个函数差的形式，因为X（3X）3的极限
46、为无穷大，极限不存在，不符合等价无穷小的条件存在解答：注：注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子。函数的一重要性质连续性在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念增量设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量，记为：x即：x=x2-x1 增量x可正可负.我们再来看一个例子：函数在点x0的邻域内有定义，当自变量x在领域内从x0变到x0+x时，函数y相应地从变到，其对应的增量为：这个关系式的几何解释如下
47、图：现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当x趋向于零时，函数y对应的增量y也趋向于零，即：，那末就称函数在点x0处连续。函数连续性的定义：设函数在点x0的某个邻域内有定义，如果有称函数在点x0处连续，且称x0为函数的的连续点.下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：设函数在区间(a,b内有定义，如果左极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点b左连续.设函数在区间a,b)内有定义，如果右极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点a右连续.一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间a，b连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。注