安徽省合肥168中2017-2018学年高二(上)入学数学试卷(理科)(含解析).pdf

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1、2017-2018学年安徽省合肥168 中高二（上）入学数学试卷（理科） 一、选择题 . 1如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是 （） A B C D 2如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，期中一个 数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（） ABCD 3在钝角ABC中，a=1，b=2，则最大边c的取值范围是（ ） A1c3 B2c3 Cc3 D2c3 4函数 y=logsin（2x+）的单调减区间为（） A （k ，k （kZ） B （k （kZ） C （k ，k + （kZ） D （k +，k + （kZ） 5有下列数组排成一

2、排： 如 果 把 上 述 数 组 中 的 括 号 都 去 掉 会 形 成 一 个 数 列 ： 则 此 数 列 中的第 2011 项是（） ABCD 6已知数列 an 是首项为 1，公差为2 的等差数列，数列bn 满足关系 ，数列 bn 的前 n 项和为 Sn，则 S5的值为（） A454 B450 C446 D442 7已知关于 x 的方程 x2+（a 21）x+a2=0的一个根比 1 大，另一个根比 1 小， 则实数 a的取值范围是（） A （1，1）B （， 1）（ 1，+） C （2，1）D （，2） （1，+） 8设 x 表示不超过 x 的最大整数，则关于 x 的不等式 2 x 211

3、 x 60 的解 集是（） A 0，7） B （0，7C 1，6） D （1，6 9若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 （） Aa5 Ba7 C5a7 Da5 或 a7 10计算机中常用 16 进制采用数字 09 和字母 AF共 16 个计数符号与 10 进制得对应关系如下表： 16 进制01 23456789ABCDEF 10进制0123456789101112131415 例如用 16 进制表示 D+E=1B ，则 AB=（） A6E B7C C 5F DB0 11执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为 7，第二次输入的x 值为 9，则第一次，第二次输出的

4、a 值分别为（） A0，0 B1，1 C0，1 D1，0 12已知是（， +）上的增函数，则实 数 a 的取值范围是（） ABC a| 1a6Da| a6 二选择题 . 13我国古代数学家刘徽创立的“ 割圆术”可以估算圆周率 ，理论上能把的值 计算到任意精度祖冲之继承并发展了 “ 割圆术 ” ， 将 的值精确到小数点后七位， 其结果领先世界一千多年， “ 割圆术 ” 的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S内，S内= 14已知向量、 满足 | =1，| =2，则 |+ |+| | 的最小值是， 最大值是 15在平面直角坐标系xOy中，角 与角 均以 Ox为始边，它们的终边关于y 轴对称，若

5、sin = ，则 cos（ ）= 16我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示 年降水量 （mm） 100，150 ） 150，200 ） 200，250 ） 250，300 概率0.210.160.130.12 则年降水量在 200，300 （mm）范围内的概率是 三解答题 . 17如图，一个三棱锥，底面ABC为正三角形，侧棱SA=SB=SC=1，ASB=30 ， M、N 分别为棱 SB和 SC上的点，求 AMN 的周长的最小值 18设函数 f（x）=sin（x ）+sin（x ） ，其中 0 3，已知 f（） =0 （）求 ； （）将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为

6、原来的2倍（纵坐标不变）， 再将得到的图象向左平移个单位，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（x）在 ， 上的最小值 19半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上一点， 且 OA=2B为半圆上任意一点， 以 AB 为边向外作等边 ABC ，则 B 点在什么位置时四边形OACB的面积最大？ 求出这个最大面积 20某同学大学毕业后在一家公司上班，工作年限x 和年收入 y（万元），有以 下的统计数据： x3456 y2.5344.5 =，=，= x （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于 x 的线性回归方程； （3）请你估计该同学第8 年的年收入约是

7、多少？ 21重庆因夏长酷热多伏旱而得名“ 火炉 ” ，八月是重庆最热、用电量最高的月 份图是沙坪坝区居民八月份用电量（单位：度）的频率分布直方图，其分组区 间依次为： 180，200） ， 200，220） ， 220，240） ， 240，260） ， 260，280） ， 280，300） ， 300，320 （1）求直方图中的 x； （2）根据直方图估计八月份用电量的众数和中位数； （3）在用电量为 240，260） ， 260，280） ， 280，300） ， 300，320 的四组用 户中，用分层抽样的方法抽取11 户居民，则用电量在 240，260）的用户应抽取 多少户？ 22设

8、不等式组所表示的平面区域为Dn，记 Dn内整点的个数为 an（横纵坐标均为整数的点称为整点） （1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域 D2，再求a2的值； （2）求数列 an 的通项公式； （3）记数列 an 的前 n 项的和为 Sn，试证明：对任意nN * 恒有+ + +成立 2017-2018 学年安徽省合肥168 中高二（上）入学数学试 卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 . 1如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是 （） ABCD 【考点】 L8：由三视图还原实物图 【分析】由题意可知， 变成正方体后相邻的平面中三条线段是平行线，相邻平面 只有两

9、个是空白面，不难推出结论 【解答】解：将其折叠起来， 变成正方体后的图形中， 相邻的平面中三条线段是平行线，排除A，C；相邻平面只有两个是空白面，排 除 D； 故选 B 2如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，期中一个 数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（） A B C D 【考点】 BA：茎叶图 【分析】 根据茎叶图计算甲乙的平均数， 利用古典概率的概率公式即可得到结论 【解答】 解：由茎叶图知： =90， 设被污损的数字为a， =（83+83+87+90+99+a）=88.4+， 甲的平均成绩不超过乙的平均成绩， 88.4+90，解得 a8，a=8或

10、a=9， 甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为， 故选： D 3在钝角 ABC中，a=1，b=2，则最大边 c 的取值范围是（） A1c3 B2c3 Cc3 D2c3 【考点】 HR ：余弦定理 【分析】 要求 c 的范围，就要确定对应角的范围，当C=90 时，根据勾股定理 计算 c 的长度，根据钝角大于90 和三角形两边之和大于第三边，可以确定c 的 范围 【解答】 解：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 可以确定 c 的范围为 1c3， 又因为当 C为直角时， c=， 而题目中给出的 C为钝角，所以 c， 整理得：最大边 c 的范围为c3 故选：C 4函数y=logsin

11、（2x+ ）的单调减区间为（） A （k ，k （kZ） B （k （kZ） C （k ，k + （kZ） D （k +，k + （kZ） 【考点】 3G：复合函数的单调性 【分析】 由题意可得，本题即求函数t=sin（2x+）在满足 t0 时，函数 t 的 增区间，结合正弦函数的图象可得2k +02x+2k +，kz，解得 x 的范 围，可得结论 【解答】 解：函数 y=logsin（2x+）的单调减区间， 即函数 t=sin（2x+）在满足 t0 时，函数 t 的增区间， 结合正弦函数的图象可得 2k+02x+ 2k+，kz， 解得 k xk +， 故在满足 t0 的条件下，函数 t 的增

12、区间为（k ， k + ，kz， 故选： C 5有下列数组排成一排： 如 果 把 上 述 数 组 中 的 括 号 都 去 掉 会 形 成 一 个 数 列 ： 则此 数列 中的第 2011 项是（） ABC D 【考点】 8B：数列的应用 【分析】观察数列： 知此数列的项数共有1+2+3+4+5+ +n 项，项数和为，求此数列的第 2011 项时，验证，知=1953，=2016，则该项分母为 20111953=58， 分子为 6358+1=6，从而求得该数列的第2011 项 【解答】解：观察数列： 知此数列： 项数是 1+2+3+4+5+n组成，项数和为 ，求此数列中的第 2011项时，验 证，

13、知=1953，=2016，所以，该项的分母为20111953=58，分 子为 6358+1=6；所以，数列的第2011 项是 故应选： B 6已知数列 an 是首项为1，公差为2 的等差数列，数列 bn 满足关系 ，数列 bn 的前 n 项和为 Sn，则 S5的值为（） A454 B450 C446 D442 【考点】 84：等差数列的通项公式 【分析】 数列 an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，可得an=2n1数列 bn 满足关系， n2 时， + +=， 可得： =，可得 bn=（12n）?2nn=1 时，可得 b1，即可得出 【解答】解：数列 an 是首项为 1，公差为 2 的等

14、差数列， an=1+2（n1）=2n 1 数列 bn满足关系 ， n2 时， + +=， 可得：=，可得 bn=（12n）?2n n=1 时，= ，解得 b1=2 S5=2322523724925=450 故选： B 7已知关于 x 的方程 x 2+（a21）x+a2=0的一个根比 1 大，另一个根比 1 小， 则实数 a的取值范围是（） A （1，1）B （， 1）（ 1，+） C （2，1）D （，2） （1，+） 【考点】 52：函数零点的判定定理 【分析】利用二次函数与二次方程的关系，通过零点判定定理， 列出不等式求解 即可 【解答】解：关于 x 的方程 x2+（a21）x+a2=0

15、的一个根比 1 大，另一个根比 1 小， 可知函数 y=x 2+（a21）x+a2 的开口向上，由零点判定定理可知： f（1）0， 可得： 12+a21+a20，解得 a（ 2，1） 故选： C 8设 x 表示不超过 x 的最大整数，则关于 x 的不等式 2 x 211 x 60 的解 集是（） A 0，7） B （0，7C 1，6） D （1，6 【考点】 7E：其他不等式的解法 【分析】 利用题意首先求得关于 x 的不等式的解集，然后利用新定义整理计算 即可求得最终结果 【解答】 解：不等式即：（ x 6） （2 x+1）0，据此可得： ，结合 x 的定义可得不等式的解集为： 0，7） 故

16、选： A 9若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是 （） Aa5 Ba7 C5a7 Da5 或 a7 【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域 【分析】 先画出另外两个不等式表示的区域，再调整a 的大小，使得不等式组 表示的平面区域是一个三角形即可 【解答】 解：由图可知 5a7， 故选 C 10计算机中常用 16 进制采用数字 09 和字母 AF共 16 个计数符号与 10 进制得对应关系如下表： 16 进制0123456789ABCDEF 10 进制0123456789101112131415 例如用 16 进制表示 D+E=1B ，则 AB=（） A6E B7C

17、C 5F DB0 【考点】 EM：进位制； E3：排序问题与算法的多样性 【分析】 先算出十进制下的结果，再由进位制下转换的规则转换 【解答】 解：由表， 1011=110， 11016 商是 6 余数是 14， 故 AB=6E 故选 A 11执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为 7，第二次输入的x 值为 9，则第一次，第二次输出的a 值分别为（） A0，0 B1，1 C0，1 D1，0 【考点】 EF ：程序框图 【分析】 根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案 【解答】 解：当输入的 x 值为 7 时， 第一次，不满足 b2x，也不满足 x 能被 b 整数，故 b

18、=3； 第二次，满足 b2x，故输出 a=1； 当输入的 x 值为 9 时， 第一次，不满足 b2x，也不满足 x 能被 b 整数，故 b=3； 第二次，不满足 b2x，满足 x 能被 b 整数，故输出 a=0； 故选： D 12已知是（， +）上的增函数，则实 数 a 的取值范围是（） ABC a| 1a6Da| a6 【考点】 3E：函数单调性的判断与证明 【分析】 根据题意当 x1时，f（x）=logax 在1，+）上单调递增 ? a1，从 而 f（x）=logax0；当 x1 时，f（x）=（6a）x4a 在（， 1）上单调递 增? 6a0；而 f（x）是（， +）上的增函数，故当x1

19、 时，f（x）=（6 a）x4a0；综合可解得实数 a 的取值范围 【解答】 解：是（， +）上的增函数， 当 x1 时，f（x）=logax 在 1，+）上单调递增， a1，f（x）=logax0； 由 x1 时，f（x）=（6a）x4a 在（， 1）上单调递增得： 6a0， 即 a6； 又 f（x）是（， +）上的增函数， x1 时，f（x）=logax0； 当 x1 时，f（x）=（6a）x4a0， f（1）=（6a）?14a0，即5a6，a 由可得a6 故选： A 二选择题 . 13我国古代数学家刘徽创立的“ 割圆术 ” 可以估算圆周率 ，理论上能把 的值 计算到任意精度祖冲之继承并发

20、展了 “ 割圆术 ” ， 将 的值精确到小数点后七位， 其结果领先世界一千多年， “ 割圆术 ” 的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S内，S内= 【考点】 F4：进行简单的合情推理 【分析】单位圆内接正六边形的面积， 可以看成是 6 个边长为 1 的等边三角形面 积的和，进而求出答案 【解答】 解：单位圆内接正六边形的面积， 可以看成是 6 个边长为 1 的等边三角形面积的和， 故 S内=612=， 故答案为： 14已知向量、 满足 | =1，| =2，则 |+ |+| | 的最小值是4，最 大值是 【考点】 3H：函数的最值及其几何意义；93：向量的模 【分析】 通过记 AOB= （0

21、 ） ，利用余弦定理可可知 |+ | =、 | | =，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论 【解答】 解：记 AOB= ，则 0 ，如图， 由余弦定理可得： |+ | =， | | =， 令 x= ，y= ， 则 x2+y2 =10（x、y1） ，其图象为一段圆弧MN，如图， 令 z=x+y，则 y=x+z， 则直线 y=x+z 过 M、N 时 z 最小为 zmin=1+3=3+1=4， 当直线 y=x+z 与圆弧 MN 相切时 z 最大， 由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的倍， 也就是圆弧 MN 所在圆的半径的倍， 所以 zmax= 综上所述， |+ |+| | 的最小

22、值是 4，最大值是 故答案为： 4、 15在平面直角坐标系xOy中，角 与角 均以 Ox为始边，它们的终边关于y 轴对称，若 sin = ，则 cos（ ）= 【考点】 GP ：两角和与差的余弦函数 【分析】 方法一：根据教的对称得到 sin =sin = ，cos =cos，以及两角差的 余弦公式即可求出 方法二：分 在第一象限， 或第二象限， 根据同角的三角函数的关系以及两角差 的余弦公式即可求出 【解答】解：方法一：角 与角 均以 Ox为始边，它们的终边关于 y 轴对称， sin =sin = ，cos= cos ， cos （ ）=coscos+sin sin =cos 2 +sin2

23、=2sin2 1= 1= 方法二： sin = ， 当 在第一象限时， cos=， ，角的终边关于 y 轴对称， 在第二象限时， sin =sin = ，cos= cos= ， cos （ ）=coscos+sin sin =+= ：sin = ， 当 在第二象限时， cos= ， ，角的终边关于 y 轴对称， 在第一象限时， sin =sin = ，cos=cos=， cos （ ）=coscos+sin sin =+= 综上所述 cos（ ）=， 故答案为： 16我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示 年降水量 （mm） 100，150 ） 150，200 ） 200，250

24、 ） 250，300 概率0.210.160.130.12 则年降水量在 200，300 （mm）范围内的概率是 0.25 【考点】 B7：频率分布表 【分析】 先根据频率分布表观察年降水量在 200，300 （m，m）范围内有几种 情形，然后将这几种情形的概率相交即可求出年降水量在 200，300 （m，m） 范围内的概率 【解答】 解：观察图表年降水量在 200，300 （m，m）范围内有两部分 一部分在 200，250 ，另一部分在 250，300 年降水量在 200，300 （m，m）范围内应该是 200，250 与 250，300 两部分 的概率和 所以年降水量在 200，300 （

25、m，m）范围内的概率 =0.13+0.12=0.25 故答案为 0.25 三解答题 . 17如图，一个三棱锥，底面ABC为正三角形，侧棱SA=SB=SC=1，ASB=30 ， M、N 分别为棱 SB和 SC上的点，求 AMN 的周长的最小值 【考点】 LV ：平面与平面平行的性质 【分析】 将三棱锥 SABC侧面沿侧棱 SA剪开，将 3 个侧面铺平展开，成曲边 扇形 SABCA ，由此能求出 AMN 的周长的最小值 【解答】解： 一个三棱锥，底面 ABC为正三角形，侧棱 SA=SB=SC=1， ASB=30 ， M、N分别为棱SB和SC上的点， 将三棱锥 S ABC侧面沿侧棱 SA剪开， 将

26、3 个侧面铺平展开，成曲边扇形SABCA ， SA=SB=SC=1，ASB=30 ， ASA=90 ， AMN 的边展成了折线 AMNA，连接 AA， 平面内两点之间线段最短， 三角形 AMN 周长 AM+MN+NAAA=， 三角形 AMN 的周长的最小值为 18设函数 f（x）=sin（x ）+sin（x ） ，其中 0 3，已知 f（） =0 （）求 ； （）将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 再将得到的图象向左平移个单位，得到函数 y=g（x）的图象，求g（x）在 ， 上的最小值 【考点】 GF ：三角函数的恒等变换及化简求值 【分析】 （）利用三角

27、恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0 求出 的值； （）写出 f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出 x ， 时 g（x）的最小值 【解答】 解： （）函数 f（x）=sin（x ）+sin（x ） =sin xcos cosxsin sin（x ） =sin xcosx =sin（x ） ， 又 f（）=sin（ ）=0， =k ，kZ， 解得 =6k +2， 又 0 3， =2 ； （）由（）知， f（x）=sin（2x ） ， 将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到 函数y= sin（x ）的图象； 再将得到的图象向左平

28、移个单位，得到 y=sin（x+）的图象， 函数 y=g（x）=sin（x） ； 当 x ， 时，x ， ， sin（x） ，1 ， 当x=时，g（x）取得最小值是 = 19半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上一点， 且 OA=2B为半圆上任意一点， 以 AB 为边向外作等边 ABC ，则 B 点在什么位置时四边形OACB的面积最大？ 求出这个最大面积 【考点】 HU：解三角形的实际应用 【分析】 设AOB= 0， AB=x由余弦定理可得： x2=54cos 根据 S四边形OACB=SOAB +S ABC，利用和差公式、三角函数的单调性即可得出 【解答】 解：设 AOB= 0， AB=x

29、 由余弦定理可得： x 2=12+22212cos=5 4cos S四边形OACB=SOAB+SABC =sin + =sin +54cos =sin（ ）+5，其中 cos=，sin =，为锐角 当且仅当sin（ ）=1时，四边形 OACB的面积最大值为+5 此时 = +=arctan4+ 20某同学大学毕业后在一家公司上班，工作年限x 和年收入 y（万元），有以 下的统计数据： x3456 y2.5344.5 =，=，= x （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于 x 的线性回归方程； （3）请你估计该同学第8 年的年收入约是多少？ 【考点】B

30、K：线性回归方程 【分析】 （1）由题意绘制散点图即可； （2）结合题中的数据和回归方程的公式整理计算即可求得回归方程； （3）结合（ 2）中的结论预测该同学第8 年的年收入即可 【解答】 解： （1）绘制散点图如图所示： （2）结合题中的数据计算可得：， 则：， 则回归方程为： （3）结合（ 2）中求得的回归方程预测当x=8时， 则估计该同学第 8 年的年收入约是 5.95 万元 21重庆因夏长酷热多伏旱而得名“ 火炉 ” ，八月是重庆最热、用电量最高的月 份图是沙坪坝区居民八月份用电量（单位：度）的频率分布直方图，其分组区 间依次为： 180，200） ， 200，220） ， 220，2

31、40） ， 240，260） ， 260，280） ， 280，300） ， 300，320 （1）求直方图中的 x； （2）根据直方图估计八月份用电量的众数和中位数； （3）在用电量为 240，260） ， 260，280） ， 280，300） ， 300，320 的四组用 户中，用分层抽样的方法抽取11 户居民，则用电量在 240，260）的用户应抽取 多少户？ 【考点】 B8：频率分布直方图 【分析】 （1）由频率和为 1，列方程求出 x 的值； （2）由小矩形最高的一组底边中点求出众数，利用中位数两边频率相等求出中 位数的值； （3）利用分层抽样计算月均用电量在 240，260）内应

32、抽取的户数 【解答】 解： （1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）20=1， 解得 x=0.0075； （2）由小矩形最高的一组是 240，260） ， 所以众数为=250； 又因为（ 0.002+0.0095+0.011）20=0.450.5， 所以中位数应在 220，240）内， 设中位数为 a，由（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a220）=0.5， 解得 a=224； （3）月均用电量在 240，260）内的户数为 0.012520100=25， 在 260，280）内的户数为 0.007520100=15

33、， 在 280，300）内的户数为 0.00520100=10， 在 300，320 内的户数为 0.002520100=5， 从中抽取 11 户，抽取比例为= ， 所以月均用电量在 240，260）内应抽取的户数为25=5 22设不等式组所表示的平面区域为Dn，记 Dn内整点的个数为 an（横纵坐标均为整数的点称为整点） （1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域 D2，再求a2的值； （2）求数列 an 的通项公式； （3）记数列 an 的前 n 项的和为 Sn，试证明：对任意nN * 恒有+ + +成立 【考点】 8K：数列与不等式的综合 【分析】 （1）在 48 的矩形区域内有 59 个整点，对角线上有5 个整点，可求 a2的值； （2）直线 y=nx与 x=4交于点 P（4，4n） ，即可求数列 an 的通项公式； （3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论 【解答】 解： （1）D2如图中阴影部分所示， 在48的矩形区域内有 59个整点，对角线上有5个整点， a2=25 （另解： a2=1+3+5+7+9=25） （2）直线 y=nx与 x=4交于点 P（4，4n） ， 据题意有 an=10n+5 （另解： an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5） （3）Sn=5n（n+2） =?， + + + =（+ +）=（+）