案例99：平行四边形的判别.pdf

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1、案例 99：平行四边形的判别 黎恒涛（南京市29 中） 1、教学目标 1.1 经历平行四边形判别条件的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识、主动探 究的习惯，使学生逐步掌握说理的基本方法. 1.2 探索并掌握平行四边形的判别条件：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对 边平行且相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2、教学过程 2.1 课前准备 四根牙签 （其中两根是标准长度，另两根分别为从标准长度中截去相同长度后剩下的部分）， 一张练习本的纸，两根长度不等的细线. 2.2 第 1 环节回顾引入： 提出下面的问题，回顾有关平行四边形的性质，希冀以此作

2、为本节课的基础： （1）怎样的四边形是平行四边形？ （2）平行四边形有哪些性质？ 2.3 第2环节学生活动，探究有关平行四边形的判别条件： 活动 1： 工具：两对长度分别相等的牙签. 要求： （1）你能在平面内将这四根牙签首尾顺次相接组成一个平行四边形吗？ （2）若能，请将这四根牙签首尾顺次相接组成的平行四边形画在纸上，通过实际操 作来验证你的拼接是正确的. （3）你能用说理的方法来说明你的拼接是正确的吗？ （4）通过以上活动你得到了什么结论？ 活动目的： 通过学生活动，探究结论：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 活动的实际效果：绝大多数学生都能在纸上拼出一个平行四边形， 如右图；在第二

3、个问题的回答中，学生给出了多种精彩的回答： 利用量角器测出A、 B、 C的大小，看是否有等式A B=180 和等式 B C=180成立；利用一副三角板平推来验证是否AB CD 、AD BC ；利用割补法，将B剪下，先将它拼到A处看能 否构成一个平角， 再将它拼到C处看能否构成一个平角. 由于第二问的设置，学生的思路完 全被激活， 主动参与的程度相当高，第三个问题也就迎刃而解，最后的结论也非常容易地被 描述出来 . 活动 2： 工具：两根长度相等的牙签，一张练习本的纸. （1）你能将两根长度相等的牙签放置在纸上，使得两根牙签的端点所 代表的四个点能在纸上画出一个平行四边形吗？说说你是怎么 操作的

4、 . （2）你能用说理的方法来说明你的操作是正确的吗? （3）通过以上活动你得到了什么结论？ 活动目的 ：通过学生活动，探索结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 活动的实际效果： 在备课时， 本以为学生会很轻松地摆出右图所示的图形，但事实不是这样， 有的学生摆出了下图（3）的图形，将两根牙签夹在两平行线之间，我当时就问：“为什么四 边形 ABCD 是平行四边形？”这位同学说：“由于 AB CD ，ADBC ，所以四边形 ABCD 是平行四 边形 . ”我紧接着再问： “你得到了什么结论？”他说：“一个四边形中如果有一组对边相等， A j C A D B B C D 另一组对边平行，那

5、么这个四边形就是平行四边形. ”这时我请全体同学思考一个问题：“在 有平行线的纸上要摆出一个满足一组对边相等并且另一组对边平行的四边形，只有刚才这一 位同学的摆法吗？”很快就有同学举出如图（4）的反例 . 其实这位同学犯的错误非常的好， 也非常的及时，使全体学生通过感性认识提高了对平行四边形判别条件的理解. 也有的同学 摆出了如图（ 5）的图形，我就问他： “这样的摆放方法你是怎样设想的？”他说：“目的是 使两根牙签互相平行. ”我问： “在我们做实验用的纸上，有没有使两根牙签互相平行的更方 便的放置方法呢？”这时几乎所有学生都意识到了图（2）的放置方法了. 由此可见，学生的 想法有时老师是无

6、法预测的，尽管看似一个较简单的问题，由于学生自身个体因素的差异， 给出的解决方案可能是错的，也有可能不是最方便的，但是我们要放手让学生去思考，这样 才能培养他们的探究能力，也有利于知识的掌握. 对于第三问，有的学生利用第三章所学的 知识给出了非常简明的说理方法：线段CD 可看作有线段AB 平移得来，由平移性质可知：AC BD，AB CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形. 图（ 3） 图（ 4） 图（ 5） 活动 3： 工具：两根长度不相等的绳子. （1）你能用这两根长度不等的绳子在纸上摆出平行四边形吗？说说你是怎么做的. （2）你能用说理的方法来说明你的操作是正确的吗? （3）通过以上活动

7、你得到了什么结论？ A D B C A D B C A D B C 活动目的： 探究结论：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 活动实际效果：第三个活动更具开放性，有的学生受平行四边形形状的影响，想用这两根细 线围成一个平行四边形，但由于没有其他工具，始终只能做到形似而非，就是无法通过说理 的方法来说明得到的四边形是平行四边形，有的学生甚至围成了如图（6）的形状，只有少 部分学生在尝试着将两根细线作为所要构成的四边形的对角线来看待，看到此情形， 我作了 适当的提示： “请问同学们，平行四边形的性质有哪些？”学生又将平行四边形的性质复述 了一遍，再问： “我们刚才做的活动一和活动二，是将牙签作

8、为平行四边形的什么元素来看 待的？”学生都说是将牙签作为平行四边形的边来看待的，接着问：“我们是否仍然将两根 细线作为边来看待呢？”这时大部分学生意识到可能不再作为边来看待了，那作为什么呢？ 自然将它们作为对角线来看待，就想把它们摆成图（7）的形状，下面的关键是如何使两条 细线互相平分 . 有一位同学想到了一个非常实用的好方法：将两根细线交叉后再对折，这时 它们会勾在一起，此时在结点处将两根细线分别打结，然后将两根细线分别拉直，将它们的 端点顺次连接起来，就得到一个平行四边形. 这个方法的优点在于它的固定性非常好，由此 可以看出只要给学生机会去思考，他们的方法有时就会使你眼前一亮，非常具有独创

9、性，这 正是我们想要看到的可喜的一面. 图（ 6）图（ 7） 2.4 第3环节：学生自行总结有关结论： 平行四边形的判别方法： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）. （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形. （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2.5 第4环节巩固与应用（略） 2.6 第5环节：布置作业（略） 问题研讨 本课是平行四边形性质探索的第一课时，教科书中本课时仅仅安排了探究其中两个判别 条件，可黎老师一次性探究了三个判别条件。这促使我们探讨这样几个问题： 1、第一课时到底完成多少任务，常见的设计方式有哪些

10、？各有什么特点和不足？如何 选择？ 一般而言，可能有两种方式： 第一种方式：第一课时，完成其中一到两个判别条件的探索任务，第二课时再完成其余 判别条件的探索任务。由于一节课有两个完全类似的任务，教学时常见的模式是方案 2：将 课时分成两个阶段， 每个阶段完成一个判别条件的探索与巩固任务，即依次完成下面的任务： 活动得到判别条件1- 例习题巩固判别条件1- 活动得到判别条件2- 例习题巩固判别条 件 2。 第二种方式：第一课时完成所有定理的探索任务（当然，第一课时就难有时间巩固运用 了），第二课时几种进行判别定理的巩固运用。 第一种方式的好处是：稳扎稳打，每探索一个判别条件，就进行一次巩固训练，

11、可以确 保所有学生很好地跟上节拍，不掉队。但同时也具有与生俱来的缺陷：由于稳扎稳打， 每一 个判别定理后进行的所谓巩固运用，只能是这一判别条件的直接应用，学生解决问题的过程 基本上就是一个对照条件的过程，不需要任何回忆、选择，缺乏空间。如果仅仅如此，学生 还不能灵活选用各个判别条件解题；长期以往， 学生容易习惯于于简单模仿，不利于学生能 力的提高。为此，需要增补一个课时，让学生选择恰当的条件判别平行四边形。 第二种方式，由于第一课时已经得到了所有判别条件，第二课时自然就可以直接进行判 别条件的选择使用了，具体地，可以依次完成下面的活动：在某个图形中富余一些条件，要 求学生判别该图形是平行四边形

12、（关注于判别条件的回忆与解题方法的多样）；接着，通过 变式呈现问题， 要求学生选择判别条件（当然，学生的整体水平较高时，还可以要求学生自 行增补条件设计习题）。第二种方式的好处是：效率比较高，同时课堂上学生的思维空间较 大，有利于发展学生的能力。但，这种方式对学生的整体要求较高，如果学生学力水平不够， 部分学生可能更不上课堂的节奏，易于造成部分学困生的掉队现象。 任何教学方案，都有利有弊。教学设计本身一个选择的过程，根据学生的实际选择较为 贴合的方案的过程。但我们应认识到各种方案的利弊，力图扩大优势，弥补不足。 2、如果一节课探究出所有的判别条件，这样的活动是学生自主的探究还是教师指导下 的学

13、生探究？ 显然，黎老师的教学设计中，学生的探究完全在教师的掌控之中，设计的三个活动的目 的十分明确， 依次得到三个判别条件，也就是说判别条件的得到的先后顺序，已经完全由老 师所设计好了， 教学中不会出现太多的意外。应该说，这样的设计在学生学力水平较高，但 活动探究能力尚显不够的8 年级上学期，还是比较恰当的。 当然，如果学生学力水平再高一些，也可以尝试让学生完全自主地探究，如可以设计下 面的 方案 3： 1、回顾旧知。回忆平行四边形的概念和性质，在黑 板上依次写下有关性质：AB/CD,AD/BC,AB=CD,AD=BC, BAC=DCB, ABC= CDA, OA=OC,OB=OD. 2、创设

14、疑问情境。“显然，平行四边形具有上述8 个性质，反之，如果满足这8 个性质肯定可以保证四边 形是平行四边形。那么，以后判断一个四边形是平行四 边形，请大家依次寻找这8 个条件！”，显然，“8 个条件”只是老师的一个“噱头”，希 冀激起学生的争议， “老师，不需要这么多条件”， “两个条件就可以了，如 AB/CD,AD/BC ” ， 从而最终引向两个条件，在此过程中可以顺势说明一个道理：所探求的判别条件应尽可能简 洁。 3、自主探究 “是的，两个条件就可以。但从上述8 个条件中选择2 个，可以有很多种不同的组合， 有些能确保图形是平行四边形，有些未必哟！ 大家先自己独立地探索几分钟，看看哪些能确

15、 保图形是平行四边形，说明理由；哪些不能，尝试举出反例。” 在学生独立探究的基础上，以小组为单位，交流并整理下表： 确保图形是平行四边形 序号条件理由简单描述 不能保证图形是平行四边形 序号条件反例 C O D A B 4、班级的交流整理 请各小组汇报自己小组的探究结果，并在黑板上整理出来。 这个方案中，学生的探究完全是自主的，探究的内容、顺序，都不是老师能预设的。因 而，学生的研究空间更大，也更利于发展学生的探究能力。 当然，这一方案对学生的要求也更高，如果学生认知水平不高或者不甚整齐，一般不要 选择这一方案， 否则，可能由于缺乏教师的帮助，很多学生会无所适从，课堂成为一盘散沙。 此外， 这

16、样的课堂是开放的，开放的难免显得有些混乱，如，按照各自小组的结论汇报， 所得到的结论难免显得比较杂乱，这样不利于学生的记忆与理解，因此， 在班级交流的过程 中，教师应有意识地“收一收”，将这些结论适当归归类，以帮助学生记忆与整理。也就是 说，要注意适当的平衡，做到“放收自如”。 3、如果选择教师引导下的学生探究，如何加强各个活动之间的联系，提高课堂效益？ 既然是教师引导下的学生探究，也就是说探究的顺序等在教师的掌控之中，但又不能忽 视学生的主体性，仍然应关注学生的活动，通过活动获得有关结论。这里就需要思考几个问 题：几个判别条件探索的顺序是什么？如何加强几个探究活动之间的联系，提高课堂教学的

17、效益。黎老师的这节课可以给我们什么启示？ 为此，我们不妨将某教科书中的方案抄录如下（作为方案4），权作对比。 方案 4： 活动 1：小明的爸爸在钉制框架时，采用了下面的两种方法： 方法 1：将两根木条AC、BD的中点重合，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边 形； 方法 2：将两根同样长的木条AB 、CD平行放置，再用木条AD 、BC加固，得到的四边形 ABCD 就是平行四边形。 你能说说这两种方法的道理吗？与同伴交流。 希冀由此归纳出判别条件： 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 活动 2：用两根长 40厘米的木条和两根30厘米的木条作为

18、四边形的四条边，能否拼成一个 平行四边形？与同伴交流。 希冀得到另一个判别条件： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 教科书中，针对全国大多数学生，按两个课时设计了这三个活动和相应的巩固练习等任 务。应该说，教科书关注了判别条件的探索过程，也注意了这些探究活动之间的联系，都基 于“用木条拼接平行四边形”这一背景。但将几个活动放到一堂课上，总感觉不甚自然，怎 么想到如此操作的呢？相互之间又有怎样的关联呢？ 正是基于这些思考，黎恒涛老师，受教科书中活动形式的启发，有了上面的教学设计。 我们不妨追寻黎老师的设计过程： 黎老师，同样希望是一个总的活动目的：拼接平行四边形。但对于城市学生而言，木条

19、并不现实，因此，黎老师想到了替代品- 家里常用的牙签； 一节课时间有限，最好能加强几个活动之间的联系，提高教学效益。教科书中几个方法 之间没有过渡， 好像彼此孤立的。不妨考察一下几个活动中的工具：两个不等长的木条、两 个等长的木条、 两组等长的木条，显然工具越来越多，学生自主探究的要求越来越低了，何 不反过来， 逐步提高要求呢？这就有了“从四根牙签（两组等长的）到一组等长的牙签再到 一组不等长的牙签拼接平行四边形”的活动设计。 当然， 在活动 2 中借助作业纸的帮助，活 动 3 中将不等长牙签换成棉绳，都是为了操作方便的需要了。 总之，黎老师的这节课，借助材料的变式，将三个探究活动串成一个有机

20、的整体，收到 了很好的教学效益。此外，对于这三个活动，上，黎老师也注意了要求的变化，我们可以细 加体会。 类似地，为了寻求同一个情境，以探究出所有判别条件，裴光亚老师提供了方案5。 方案 5： 首先画出一个平行四边形，把它分成两个三角形，檫去其中的一个三角形，并提出问题： 如何根据这个三角形把它还原成平行四边形呢？ 面对这个问题， 学生自然联想到平行四边形的各个性质，每个性质分别对应着一种画法， 从而给我们以某种画法的启示。 在画图的基础上，自然产生猜想：你画的是不是平行四边形？ 接着就是证明它，确认它可以作为判别定理。 正如裴老师所说，这样做的好处有：1 画图中自然联想到性质，这样来复习前次概念， 比直接提问好；2 通过学生的画图行为获得命题，是一个实践到理论的过程；3 性质只是一 种启示，并不能作为依据，证明就成了探究活动的自然延伸；4 一个问题，生成了本节课的 全部知识，提高了课堂的效益。