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1、高中数学点、直线、平面之间的位置关系 知识点归纳与常考题型专题汇总 知识点： 1、空间点、直线、平面的位置关系 （1）平面 平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的； 平面的表示：通常用希腊字母 、 、 表示，如平面 （通常写在一个锐角内）； 也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。 点与平面的关系：点 A 在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A 点与直线的关系：点 A 的直线 l 上，记作： A l；点 A 在直线 l 外，记作A l； 直线与平面的关系：直线 l 在平面 内，记作l ；直线 l 不在平面 内，记作l 。 （2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条
2、直线是所有的点都在这个平面 内。 （即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用： 检验桌面是否平；判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1：,Al Bl ABl （3）公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论： 一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一 平面。 公理 2 及其推论作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据 （4）公理 3： 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线 符号： 平面 和 相交，交线是a，记作 a。 符号语言：,PABABl Pl 公理 3 的作用： 它是判定两个平面相交的方法
3、。 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 （5）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 （6）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质：既不平行，又不相交。 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角：直线 a、b 是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a a，b b，则把直线a 和 b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和 b 所成的角。两条异面直线 所成角的范围是（0 ， 90 ，若两条异面直线所成的角
4、是直角，我们就说这两条异面直线互 相垂直。 说明 ： （1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理 （2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点O 的位置无关。 求异面直线所成角步骤： A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点 选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角 （7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 （8）空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内 有无数个公共点 三种位置关系的符号表示：a a A a （9）平面与平面之间的位置关系：平行
5、 没有公共点； 相交 有一条公共直线。b 2、空间中的平行问题 （1）直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行 （2）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 （1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （线面平行 面面平行）， （2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 （线线平行 面面平行）， （3）垂直于同一
6、条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理 （1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行 线面平 行） （2） 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行 线线平行） 3、空间中的垂直问题 （1）线线、面面、线面垂直的定义 两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 线面垂直： 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂 直。 平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角 （从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。 （2
7、）垂直关系的判定和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一 个平面。 4、空间角问题 （1）直线与直线所成的角 两平行直线所成的角：规定为 0 。 两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别
8、作与两条异面直线a，b 平行的直线 ba ,，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所 成的角。 （2）直线和平面所成的角 平面的平行线与平面所成的角：规定为0 。平面的垂线与平面所成的角：规定为90。 平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条 直线和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“ 一作，二证，三计算” 。 在“ 作角 ” 时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线， 在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线； （2）过斜线上的一 点或过斜线的平
9、面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。 （3）二面角和二面角的平面角 二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二 面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个 面内 分别作 垂直于棱的两条射 线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平 面垂直，那么所成的二面角为直二面角 求二面角的方法 定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法： 已知二面角内一点
10、到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为 二面角的平面角 常考题： 一选择题（共11小题） 1已知直线 l平面 ，直线 m? 平面 ，给出下列命题 =l m； ? lm； lm? ； lm? 其中正确命题的序号是（） ABCD 2设 m、n 是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，则（） A若 mn，n ，则 mB若 m ， ，则 m C若 m ，n ，n ，则 mD若 mn，n ， ，则 m 3已知 m，n 是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是 （） A若 m ，n ，则 mn B若 ， ，则 C若 m ，m ，则 D若 m ，n ，则 mn 4如图，
11、在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点， M，N，Q 为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面 MNQ 不平行的是（） ABC D 5直三棱柱 ABCA1B1C1中，若 BAC=90 ，AB=AC=AA1，则异面直线 BA1 与 AC1所成的角等于（） A30B45C60D90 6如图，四棱锥 PABCD 中，ABC=BAD=90 ，BC=2AD， PAB 和 PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与 PB 所成角的大小为（） A90B75C60D45 7如图，正棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B 与 AD1所 成角的余弦值为（） ABCD 8平面过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A， 平面CB1D1， 平面 ABCD=m ， 平面 ABB1A1=n，则 m、n 所成角的正弦值为（） A BCD 9正四棱锥 PABCD 的底面积为 3，体积为，E 为侧棱 PC 的中点，则 PA