2013年佛山一模_理科数学试题及答案.pdf

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1、第 1 页 共 10 页 2013 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数 学（理科） 本试卷共4页， 21 小题，满分150 分考试用时120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目 2选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4请考生保持答题卷的整洁考试结束后，将答题卷和答题卡交回 参考公式： 柱体的体积公式VSh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高 锥体的体

2、积公式 1 3 VSh，其中S为柱体的底面积，h为锥体的高2013-1-25 标准差 222 12 1 ()()() n sxxxxxx n ，其中x为样本 12 , n xxx的平均数 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1设i为虚数单位，则复数 i 2i 等于 A 12 i 55 B 12 i 55 C 12 i 55 D 12 i 55 2命题:p 2 ,1 1xxR，则p是 A 2 ,11xxRB 2 ,11xxR C 2 ,11xxRD 2 ,1 1xxR 3已知(1,2)a，(0,1)b，( , 2)kc，若

3、(2 )abc，则k A2B8 C2D8 4一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为 A9 B10 C11 D 23 2 5为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6 次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的 得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是 Axx甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 Bxx甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 Cxx甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 Dxx 甲乙 ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 第 5 题图 2 2 1 3 1 正视图侧视图 俯视图第 4 题图 第 2

4、 页 共 10 页 6已知实数,x y满足1 1 yx xy y ，则目标函数2zxy的最大值为 A3B 1 2 C5D6 7已知集合|4|1|5Mx xx，6Nx ax , 且2,MNb, 则ab A6B7C8D9 8对于函数( )yfx，如果存在区间, m n，同时满足下列条件：( )f x在, m n内是单调的；当定义 域是, m n时，( )f x的值域也是, m n，则称, m n是该函数的“和谐区间”若函数 11 ( )(0) a f xa ax 存在“和谐区间” ，则a的取值范围是 A(0,1)B(0, 2)C 1 5 (,) 2 2 D(1,3) 二、填空题：本大共 7 小题，

5、考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分 ( 一) 必做题 (9 13 题) 9已知函数( )yfx是奇函数，当0x时，( )f x= 2 log x，则 1 () 4 ff的值等于 10已知抛物线 2 4xy上一点 P 到焦点F的距离是5，则点 P 的横坐标是 _ 11函数sinsin 3 yxx 的最小正周期为，最大值是 12某学生在参加政、史、地 三门课程的学业水平考试中，取得 A等级的概率分别为 5 4 、 5 3 、 5 2 ， 且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立. 记为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学 期望E的值为 _. 13观察下列不等式： 1 1 2 ；

6、 11 2 26 ； 111 3 2612 ；, 则第5个不等式为 ( 二) 选做题 (14 15 题，考生只能从中选做一题) 14 （坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l过点(1,0)且与直线 3 （R）垂直，则直线l极坐标 方程为 15 （ 几何证明选讲 ）如图， M 是平行四边形 ABCD 的边 AB的 中点，直线l过点M分别交,AD AC于点,E F 若3ADAE，则:AFFC 0 123 P 6 125 ab 24 125 第 15 题图 F A B C D E M l 第 3 页 共 10 页 三、解答题：本大题共 6 小题，满分80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤

7、16 （本题满分12 分） 如图，在ABC中，45C，D为BC中点，2BC. 记锐角ADB且满足 7 cos2 25 （ 1）求cos； （ 2）求BC边上高的值 17 （本题满分12 分） 数列 n a的前n项和为 1 22 n n S， 数列 n b是首项为 1 a，公差为(0)d d的等差数列， 且 1311 ,b b b 成等比数列 （1）求数列 n a与 n b的通项公式； （2）设 n n n b c a ，求数列 n c的前n项和 n T 第 16 题图 C B D A 第 4 页 共 10 页 18 （本题满分14 分） 如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，

8、且 1 3 ADDB，点C为圆O上一点，且3BCAC 点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PDDB （ 1）求证：PACD； （ 2）求二面角CPBA的余弦值 19 （本题满分14 分） 某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位： 万元） 与日产量x（单位： 吨）满足函数关系式3Cx， 每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式 35, (06) 8 14, (6) k xx Sx x 已知每日的利润LSC，且当2x时，3L （1）求k的值； （2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值 P A B D C O 第 18 题图 第 5 页 共 10 页 20 （本题满分

9、14 分） 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右顶点分别为( 2,0),(2,0)AB，离心率 3 2 e 过该椭圆上任一点P作PQx轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且| |QPPC （ 1）求椭圆的方程； （ 2）求动点C的轨迹E的方程； （ 3）设直线AC（C点不同于,A B）与直线2x交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与 曲线E的位置关系，并证明你的结论 21 （本题满分14 分） 设( ) x g xe，( )(1) ( )f xgxag x，其中,a是常数，且01 （ 1）求函数( )f x的极值； （ 2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式 1

10、 1 x e a x 成立； （ 3）设 12 , + R，且 12 1， 证明：对任意正数 21,a a都有： 12 121122 a aaa 第 6 页 共 10 页 2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数学试题（理科）参考答案和评分标准 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题5 分，满分 40 分 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A C B C D C B A 二、填空题：本大共 7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分 91104112（2 分） ，3（3 分）125 9 13 11111 5 26122030 142sin()1 6 （或2cos()

11、1 3 、cos3sin1）151: 4 三、解答题：本大题共 6 小题，满分80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本题满分12 分） 解析：（1） 27 cos22cos1 25 ， 29 cos 25 ， (0,) 2 ， 3 cos 5 -5分 （2）方法一、由（1）得 24 sin1cos 5 ， 45CADADBC， 2 sinsin()sincoscossin 44410 CAD，-9分 在ACD中，由正弦定理得： sinsin CDAD CADC ， 2 1 sin 2 5 sin2 10 CDC AD CAD ，-11分 则高 4 sin54 5 hADAD

12、B-12分 方法二、 如图，作BC边上的高为AH 在直角ADH中，由（ 1）可得 3 cos 5 DB AD ， 则不妨设5 ,ADm则3,4DHm AHm-8分 注意到=45C，则AHC为等腰直角三角形，所以CDDHAH， 则134mm-10分 所以1m，即4AH-12分 17 （本题满分12 分） 解析：（1）当2n，时 1 1 222 nnn nnn aSS，-2分 又 1 11 11 2222aS，也满足上式， 所以数列 n a的通项公式为2 n n a-3分 11 2ba，设公差为d，则由 1311 ,b b b成等比数列， 第 16 题图 C B D A H 第 7 页 共 10

13、页 得 2 (22 )2(210 )dd，-4分 解得0d（舍去）或3d，-5分 所以数列 n b的通项公式为31 n bn-6分 （2）由（ 1）可得 312 123 n n n bbbb T aaaa 123 25831 2222 n n ，-7分 121 5831 22 222 nn n T，-8分 两式式相减得 121 33331 2 2222 n nn n T，-11分 1 31 (1) 3135 22 25 1 22 1 2 n n nn nn T ，-12分 18 （本题满分14 分） 解析：（） 法 1：连接CO，由3ADDB知，点D为AO的中点， 又AB为圆O的直径，ACCB

14、， 由3ACBC知，60CAB， ACO为等边三角形，从而CDAO-3分 点P在圆O所在平面上的正投影为点D， PD平面ABC，又CD平面ABC， PDCD，-5分 由PDAOD得，CD平面PAB， 又PA平面PAB，PACD-6分 （注：证明CD平面PAB时，也可以由平面PAB平面ACB得到，酌情给分 ） 法 2：AB为圆O的直径，ACCB， 在RtABC中设1AD，由3ADDB，3ACBC得，3DB，4AB，2 3BC， 3 2 BDBC BCAB ，则BDCBCA， BCABDC，即CDAO-3分 点P在圆O所在平面上的正投影为点D， PD平面ABC，又CD平面ABC， PDCD，-5分

15、 由PDAOD得，CD平面PAB， 又PA平面PAB，PACD-6分 法 3：AB为圆O的直径，ACCB， 在RtABC中由3ACBC得，30ABC， 设1AD，由3ADDB得，3DB，2 3BC， 由余弦定理得， 222 2cos303CDDBBCDB BC ， 222 CDDBBC，即CDAO-3分 点P在圆O所在平面上的正投影为点D， PD平面ABC，又CD平面ABC， PDCD，-5分 由PDAOD得，CD平面PAB， 又PA平面PAB，PACD-6分 P A B D C O 第 8 页 共 10 页 （） 法 1： （综合法）过点D作DEPB，垂足为E，连接CE-7分 由（ 1）知C

16、D平面PAB，又PB平面PAB， CDPB，又DECDD， PB平面CDE，又CE平面CDE， CEPB，-9分 DEC为二面角CPBA的平面角-10分 由（）可知3CD，3PDDB， （注：在第（）问中使用方法1 时，此处需要设出线段的长度，酌情给分） 3 2PB ，则 93 2 23 2 PD DB DE PB ， 在Rt CDE中， 36 tan 33 2 2 CD DEC DE ， 15 cos 5 DEC，即二面角CPBA的余弦值为 15 5 -14分 法 2： （坐标法）以D为原点，DC、DB和DP的方向分别为x轴、y轴和z轴的正向，建立如图所示的空 间直角坐标系-8分 （注：如果

17、第（）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CDAB，酌情给分 ） 设1AD，由3ADDB，3ACBC得，3PDDB，3CD， (0,0,0)D，( 3,0,0)C，(0,3,0)B，(0,0,3)P， ( 3,0, 3)PC，(0,3, 3)PB，(3,0,0)CD， 由CD平面PAB，知平面PAB的一个法向量为(3,0,0)CD-10分 设平面PBC的一个法向量为( , , )x y zn，则 0 0 PC PB n n ，即 330 330 xy yz ，令1y，则3x，1z， ( 3,1,1)n，-12分 设二面角CPBA的平面角的大小为， 则 315 cos 5 |53 CD CD

18、n |n| ，-13分 二面角CPBA的余弦值为 15 5 -14分 19 （本题满分14 分） 解析：（）由题意可得： 22,06 8 11,6 k xx Lx x x ，-2分 因为2x时，3L，所以3222 28 k . -4分 解得18k. -5分 （）当06x时， 18 22 8 Lx x ，所以 181818 2818=2(8)182 2 8186 888 Lxxx xxx （）（） -8分 P A B D C O y z x P A B D C O E 第 9 页 共 10 页 当且仅当 18 2(8) 8 x x ，即5x时取得等号-10分 当6x时，115Lx-12分 所以当

19、5x时，L取得最大值6 所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元-14分 20 （本题满分14 分） 解析：（1）由题意可得2a， 3 2 c e a ，3c，-2分 222 1bac， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y-4分 （2）设( , )C x y， 00 (,)P xy，由题意得 0 0 2 xx yy ，即 0 0 1 2 xx yx ，-6分 又 2 20 0 1 4 x y，代入得 2 21 ()1 42 x y，即 22 4xy 即动点C的轨迹E的方程为 22 4xy-8分 （3）设(, )C m n，点R的坐标为(2, ) t， ,A C R三点共线，/

20、ACAR， 而(2, )ACmn，(4, )ARt，则4(2)nt m， 4 2 n t m ， 点R的坐标为 4 (2,) 2 n m ，点D的坐标为 2 (2,) 2 n m ，-10分 直线CD的斜率为 22 2 (2)2 2 244 n n mnnmn m k mmm ， 而 22 4mn， 22 4mn， 2 mnm k nn ，-12分 直线CD的方程为() m ynxm n ，化简得40mxny， 圆心O到直线CD的距离 22 44 2 4 dr mn ， 所以直线CD与圆O相切-14分 21 （本题满分14 分） 解析：（1）( )(1) ( )fxgxag x，-1分 由(

21、)0fx得，(1) ( )gxagx， (1)xax，即(1)()0xa，解得xa， -3分 故当xa时，( )0fx；当xa时，( )0fx； 当xa时，( )f x取极大值，但( )f x没有极小值-4分 第 10 页 共 10 页 （2） 11 1 xx eex xx ， 又当0x时，令 ( )1 x h xex，则( )10 x h xe， 故( )(0)0h xh， 因此原不等式化为 1 x ex a x ，即(1)10 x ea x，-6分 令( )(1)1 x g xea x，则( )(1) x g xea， 由( )0gx得：1 x ea，解得ln(1)xa， 当0ln(1)x

22、a时，( )0g x；当ln(1)xa时，( )0gx 故当ln(1)xa时，( )g x取最小值ln(1)(1)ln(1)gaaaa，-8分 令( )ln(1),0 1 a s aaa a ，则 22 11 ( )0 (1)1(1) a s a aaa 故( )(0)0s as，即ln(1)(1)ln(1)0gaaaa 因此，存在正数ln(1)xa，使原不等式成立-10分 （3）对任意正数 12 ,a a，存在实数 12 ,x x使 1 1 x ae， 2 2 x ae， 则 121 1221 122 12 xxxx a aeee， 12 1 12212 xx aaee， 原不等式 12 121122 a aaa 1 12212 12 xxxx eee， 1 1221122 ()()()gxxg xg x-14分 由（ 1）( )(1) ( )f xg a恒成立， 故(1) ( )(1) ( )gxag xg a， 取 1212 ,1xx ax， 即得 11221122 ()()()gxxg xg x， 即 1 12 212 12 xxxx eee，故所证不等式成立-14分