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1、知识改变命运百度提升自我 - 1 - 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 “圆 锥 摆”及 其 变 形 江苏省木渎高级中学（ 215101）郁建石 细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平 面内做匀速圆周运动， 细线在空中划出一个圆锥面， 这样的装置叫做 “圆锥摆”， 如 图 1 所示。“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆 锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。 下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。 一、受力分析 如图 1 所示的圆锥摆，小球在水平面内做 匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力 T 两
2、个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O，它作为小球做匀速圆 周运动的向心力。若悬线长为l，小球的质量 为 m，悬线与竖直方向的夹角为，则向心力 Fmg tan。 二、角速度 根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tanm 2r， 其中 rl sin，代入整理，得到其角速度： cosl g 。根据这一表达式，进行 如下讨论： 当悬线长度l 一定时， cos 1 ，即悬线与竖直方向的夹角随着小球角 速度的增大而增大。 F O G T m l 图 1 O 知识改变命运百度提升自我 - 2 - 若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角 均不相同，但是l 和 c
3、os的乘积 l cos相同，则角速度 就相同，乘积 l cos实际上就等于小球到悬点在竖直方向 上的距离。即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度 l 各不相同，只要 小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度 就一定相同。 小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。当悬线与竖直方向的夹角0 时，得到角速度 0 l g ，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的 角速度的最小值。即只有当 l g 时，悬线才会被拉直，小球在 水平面内做圆锥摆运动；如果 l g ，小球不会在水平面内做圆 锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 杆上的话，悬
4、线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 如图2 所示） 。 三、变形 根据圆锥摆的受力特点和运动特点，可以将其进行如下几种变形： 1、小球沿一个倒置的光滑圆锥面的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图 3 所示。 受力分析 ：这时小球在重力G 和圆锥面对它的支持 力 N（相当于圆锥摆中悬线的拉力T）的合力 F 提供小 球做匀速圆周运动的向心力。 与圆锥摆比较 ：由于圆锥面的顶角 为一定值，根 据 Fmg ctg 2 ma，得小球的向心力速度ag ctg 2 ， 可知所有在此圆锥面内做匀速圆周运动的小球，都具有 图 2 O G N F O 图 3 知识改变命运百度提升自我 - 3 - 相同大小
5、的加速度；再由向心加速度公式：a r v 2 2r，可知小球圆周运动的轨道 半径 r 越大（即离开圆锥顶点O 越远） ，线速度 v 越大，角速度 越小。 3、细线一端系一小球，另一端固定于光滑圆锥面 的顶点，小球在水平面内做圆周运动，如图4所示。 受力分析 ：小球共受到三个力的作用：小球的重力 G、细线对它的拉力T 和圆锥面对它的支持力N。这三 个力的合力提供小球做圆周运动的向心力。 与圆锥摆比较 ：当角速度 较小时，小球将沿圆锥 面运动，此时分别将N 和 T 分解到水平方向和竖直方向， 列出方程： 水平方向Tsin 2 Ncos 2 m2r ，竖直方向Tcos 2 +Nsin 2 mg0 。
6、 不难看出，随着角速度 的增大，圆锥面对小球的支持力N 将减小；当角速度 增 大到 2 cosl g 时，圆锥面对小球的支持力N 将减小到 0，这是一个临界状态；如 果继续增大角速度 ，小球将脱离圆锥面运动，这时其规律与圆锥摆就没有区别了。 如果将这种情况中的圆锥面去掉，而紧贴 着小球的运动平面加一个光滑水平面，如图 5 所示。小球在水平面内做匀速圆周运动时的受 力情况、运动情况以及临界状态的分析，都同 这种情况相似；所不同的是将原来的圆锥面对 小球斜向上的支持力，改成现在水平面对小球 竖直向上的支持力而已。 3、用两根细线，其一端系着一个小球，另一端系在一根匀速转动的竖直杆上的两点 上，小球
7、在水平面内做匀速圆周运动，如图 6 所示。 图4 G N T O O 图5 N G T O O 知识改变命运百度提升自我 - 4 - 受力分析 ：小球共受到三个力的作用：小球的重力G、细线 AB 对它的拉力 T1 和细线 BC 对它的拉力 T2。这三个力的合力提供小球做圆周运动的向心力。 与圆锥摆比较 ：当角速度 较小，即当 l g 时，小球不会在水平面内做圆 周运动，此时两根细线小球将均缠绕在竖直杆上，小球随杆一起转动， 如图 7 所示。 当角速度 在下列范围： l g cosl g ，细线 AB 将被拉紧，而细线BC 则 处于松弛状态，这时情形与原始的圆锥摆相同，如图 8 所示。当角速度 cosl g 时，两根细线都将被拉紧，也就是象图 6 中的情形了。有兴趣的同学还可 以进一步讨论：这时细线 AB 和 BC 哪根线上拉力较大？如果两根细线的规格是相同 的，则随着角速度 的不断增大，哪根细线先断？断了以后再增大角速度，又会 出现什么情况？等等。 另外，还可把圆锥摆问题放到电场、磁场中去，这时只要再原来的基础上再加 上电场力或者磁场力就行了，限于篇幅，这里就不再细述了。 C G 图 6 A B O O T1 T2 C G 图 8 A B O O T1 图 7 C A B