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1、足球中的数学问题 * 众所周知， 足球是世界第一大体育运动，全世界有将近 30 亿人参与足球运动或关心 足球的发展。它的最高水平的赛事世界杯足球赛，是只有奥运会才能比拟的最大赛 事。 足球是一项综合性的体育运动，它不仅考验队员们的身体素质，包括速度、体力、 柔韧、技术等，还要求队员有良好的心理素质，更包括球员和教练对足球的理解，以至 训练水平，甚至一个地区的经济状况和文化背景。但有很多人都认为足球只是一种体力 运动，很少能和脑力劳动，甚至自然科学联系起来。这也正是我在本文中要向大家说明 的。 1退离距离的问题 足球比赛中，有一项规则是：在进攻方主罚定位球的时候，如果离球门的距离足够 大，防守一

2、方都要退到离球915 米以外。这不仅因为为保证球能顺利发出，其实也是 为了保护防守的球员。在较高水平的比赛中，最矮球员大概是165 米。设足球的半径 为 1Ocm 。人在用脚踢球时，脚面与触球部位所在的大圆是不能垂直的，经过实践体验， 其夹角大约为 78到 80。假设人就按照这样的角度将球踢出，且力量足够大，使球能 按照直线运动。为了让球不能踢到人的身上，球员必须退到一定的距离之外。 设人与球的距离为xm ，则有 80cos 1 65.1 x ， x165cos80O 1=913m 。 如果按照 78进行计算， 就能够得到 915m的结论。当然，如果个子越高就越 需要有一段较长的距离。可见，如

3、果没有这项规则，也许有的球员就会换一个脑袋了。 这个问题主要应用了平面几何的知识。 2阵型和阵容问题 将 10 名队员分配到场上的十个位置，往往是教练员最头疼的问题。这不仅是安 排哪些球员上场的问题，也因为需要选择一个合适的阵型。足球场上到底有多少可能的 阵型呢？我们不妨数一数，有如下的66种： （分别为后卫、前卫、前锋的人数）10-0-0 ， 9-0-1 ，9-1-0 ，8-0-2 ，8-1-1 ，8-2-0 ，7-0-3 ，7-1-2 ，7-2-1 ，7-3-0 ，6-0-4 ，6-1-3 ， 6-2-2 ，6-3-1 ，6-4-0 ，5-0-5 ，5-1-4 ，5-2-3 ，5-3-2

4、，5-4-1 ，5-5-0 ，4-0-6 ，4-1-5 ， 4-2-4 ，4-3-3 ，4-4-2 ，4-5-1 ，4-6-0 ，3-0-7 ，3-1-6 ，3-2-5 ，3-3-4 ，3-4-3 ，3-5-2 ， 3-6-1 ，3-7-0 ，2-0-8 ，2-1-7 ，2-2-6 ，2-3-5 ，2-4-4 ，2-5-3 ，2-6-2 ，2-7-1 ，2-8-0 ， 1-0-9 ，1-1-8 ，1-2-7 ，1-3-6 ，1-4-5 ，1-5-4 ，1-6-3 ，1-7-2 ，1-8-1 ，1-9-0 ，0-0-10 ， 0-1-9 ，0-2-8 ，0-3-7 ，0-4-6 ，0-5-5 ，

5、0-6-4 ，0-7-3 ，0-8-2 ，0-9-1 ，0-10-0 ， 能否不用一一列举出来呢？我们在12个位置中， 选出两个，那么就可以把剩下 的十个位置分成三段，代表三条线上的人数。所以共有 66 2 12 C 种。 当然其中大多数是不可行的。 其中只有九种在比赛中比较常见， 即 5-2-3 ， 5-3-2 ， 5-4-1 ，4-3-3 ，4-4-2 ，4-5-1 ，3-4-3 ，3-5-2 ，3-6-1 。怎样能得到这九种阵型呢？我们 发现在后卫线上最多布置五个人，最少须布置三个人，在前锋线上最多布置三个人，最 少为一人，在前卫线上最多为六人。我们先假设已经选出了五名后卫，六名前卫，三

6、名 前锋。这样，已选出14 个人。这就需要在他们中间挑出四人。在这四人中，可以选后卫 0、1、2 名，前锋 0、1、2 名，剩下的就从前卫线上找了。这样，显然就有33=9 种选 法了。 在今年的甲 A比赛中，每支队伍允许注册30 名球员，为了保证能够顺利的完成比赛， 每个位置都至少应配备两人， 即有 22 人已经固定，在余下的 8 人中，可以根据需要选定。 同上理，有 3 11 C =165种配备方式。 如果要求安排出场阵容，就需要根据所有的要求，进行排列。比如，有些队员不宜 同时出场，有些队员相互之间配合很好，有些队员可以在多种位置出现等。情况会很复 杂，但也是一定能够求出来的。 这个问题主

7、要是应用了排列组合的知识。 3积分问题 在现代足球比赛中，球队的成绩是非常重要的，而它就体现在球队的得分上。对积 分的研究可以给球队带来目标和希望。 在本届世界杯赛上，由于有32 支队伍的参加，使得比赛会空前的激烈、精彩。一个 重要原因就是赛程使得球队在前两轮小组赛后出线的几率大大减小。在以前的比赛中， 24 支球队分为六个小组，每组进行循环赛，每个小组的前两名和成绩较好的四个第三名 进入十六强。 而在今年法国的比赛中， 32 支球队将会分成八个组进行撕杀，只有每个小组的前两 名才能进入复赛。大家都知道，胜一场得3 分，平一场得1 分，输一场不得分。因此在 以前的比赛中，理论上即使积六分也是可

8、能被淘汰的。但是这种情况出现的机会是很小 的。这至少需要有五个小组同时出现三个队同积6 分，另一支队得0 分的情况。每个小 组出现该情况的概率为 6 3 24 ，而五个小组同时出现的概率是它的五次方，结果为 1610-16。即近似于不可能。但事实上通常只要得到4 分就可以出了。而在前两轮四 场比赛中就有队伍达到4 分以上的可能性为7881，其中有两支队伍不少于4 分的概率 为 1027，仍然不小。当然不可能出现三支队伍同时积得4 分的情况。因为 4 场比赛最 多有 12 分，如果有平局出现就连12 分也没有，又哪里出来三个4 分呢？如果按照现在 的赛程，在前两轮出现的概率就小得多。因为很可能出

9、现在两轮之后出现6-3-3-0的情 况。如果最后一轮是由积6 分的队同积 3 分的队比赛，那么，就有可能在三轮比赛后出 现 6-6-6-0的情况。当然也有可能是由积6 分的球队同积 0 分的球队进行比塞，那么原 来积 6 分的球队仍然肯定出现。 也还有其他几种可能出现6 分的时候，比如说有 6-4-1-0 ， 6-3-1-1 ，6-2-1-1 ，6-6-0-0等，它们也都确保积 6 分的球队能够顺利出现。 这六种情况 的概率分别为 8/84，4/81 ，481，881，481，281。其中有 8729 的比率使得积 6 分的队伍被淘汰。 类似的，还可以分析很多其他问题， 比如在北京市首届应用数

10、学知识 竞赛中的最后一道题，是在去年甲B 比赛还剩下三轮时，给出各队的积分情况，问当时 处于第一名的武汉雅琪是否肯定升入甲A（去年有四个名额升组） 。 在这种问题中，逻辑推理和概率问题是主要的解决方法。 4点球的进球范围 在前几天进行的亚洲俱乐部冠军杯赛中，我国的冠军大连万达队点球不敌韩国 蒲相制铁足球队，与冠军失之交臂。尽管在主伐点球时，最主要的是心理因素。但我们 可以算出，守门员所能控制的范围是非常有限的，如果角度刁钻的话，即使门将扑对了 方向，也是可以进球的。标准球门宽732 米，高 244 米。设守门员的高度为190 米，则他伸出手臂的长度为230 米，他向两侧的扑球距离为1 米，我们

11、可以把他的控 球范围看作一个椭圆。它的半短轴为244 米，半长轴为330 米，则其面积是1 2ab=126m2 ，占整个球门面积的126179=704。 只要他的力量足够大，使门将来不及移动脚步，进球就不成问题。 如何证明椭圆面积为ab 呢？我们可以用立体几何中的圆柱截面给予证明。在一个 圆柱中，做两个截面，其中一个与底面平行，为圆形，半径是圆柱的底面半径r，另一个 截面与它交在圆柱的同一个点上，并使得与过该点的直径垂直的一条直径与底面平行， 设两个截面之间的夹角为e。由于第一个截面是第二截面的射影，则S1S2=cos， S1=r2，S2 的半短轴即为 r ，而半长轴为 r cos,S1=s2

12、cos=r2 cos=rr cos=ab 在做这个问题应用了平面解析几何和立体几何的基本知识。 5守门员的站位问题 我们看到，在罚角球的过程中守门员一般不站在球门的中央，总是向后门柱靠近一 些。它的道理也是很简单的。因为人向前的运动速度要比向后的速度快得多，甚至上向 前为 4m s， 向后则只有 2m s。 我们知道球门的宽度是7 32m ， 他应该站在什么位置呢？ 我们先假设他站在球门线上，距前点xm 。则应有 x4=(7.32 x) 2，2x=14632x， 3x=1464，x=488m 。这是门将只站在球门线上的办法。如果他为了控制更大的区域， 就需要站出来， 在平面上运动， 设他在垂直

13、于底线方向的速度为3m s，当他的速度与底 线 方 向 成角 时 ， 其 运 动 速 度 可 以 认 为 是 2222 4cos3sin 或 2222 2cos3sin ，分别以 V1和 V2表示。以底线为横轴，过球门中点且与底线平 行的方向为纵轴， 建立直角坐标系。 则门将肯定站在第一象限内， 设他的坐标为 （m ，n)， 且两个门柱的坐标分别为(0，366)，(0，-366)。已知足球开到前点的时间为15sec， 开到后点的时间为2Osec。可以求出门将到前门柱的距离为 22 )66.3(nm ，到后门 柱的距离为 22 )66.3(nm 。可以列出方程组： 5.1 )66.3( 3 )6

14、6. 3( )66.3( 4 )66.3( 22 2 2 22 2 2 22 nm m nm n nm 。 这个二元二次不等式组显然是可解的，但是计算会相当的麻烦。 因此，我们可以简化一下速度的计算方法。假设只要沿y 轴正方向运动时，速 度均为 2m s；只要沿 y 轴负方向运动，速度均为4m s。这样可以列出方程组： 22 )66.3(nm 154， 22 )66.3(nm 203。 这样，我们可以解出m=3 28，n=137。 137+366=503m 。 即应该站在距前门柱503 米，离底线 328米的地方。 我们应用了解析几何的方法进行推算。 6球皮上的多边形 有很多踢球的人，并不知道

15、足球是什么样子的。当然，也有很多人发现，球皮 上都是五边形和六边形。细心的人还会数一数，是有12 块五边形和 20 块六边形。也许 有些同学记得，我们曾经做过一道化学题，是关于C60的结构，它很像一个足球。但是， 那道题是告诉了我们这个多形边一共有多少个顶点，多少条棱，然后再让我们根据条件 求出有多少五边形，多少六边形。能不能不数就得到结果呢？答案是肯定的。我们知道 多面体中有欧拉公式： V+F=E+2 ，其中，V是顶点数， F是面数， E是棱数。设有 x 个面是 六边形， y 个面是五边形。则F=x+y，F 个面共有棱 6x+5y，因为每条棱位于两个面中， 所以共有 12(6x+5y) 条棱

16、。同理，共有6x+5y，个顶点，但因为每个点同在三个面中， 所以只有 13(6x+5y) 个顶点。 13(6x+5y)+(x+y)=1 2(6x+5y)+2 ， x+y2=16(6x+5y) ， y=12。 所以一定是有 12个五边形的面，又有多少个六边形的面呢？我们仔细观察一下足球， 每一块五边形的面，与它相邻的是五个六边形的面；而有三个五边形的面与一个六边形 的面相邻。所以，总共需要六边形面数 3 512 =20。这也恰与事实相符。在这个问题中我 们应用了立体几何的知识。 7传球问题 传接球是足球运动中最重要的一个环节，而它最常见的形式就是二过一。在这种传 球方式中，传球的方向和力量是很重

17、要的问题。如果解决的好，就有可能直接威胁到对 方的禁区。 以两人之间的线段为横轴，与此线段垂直的直线为纵轴。假设队友插上的速度 为 V，与纵轴的夹角为，两人之间的距离为S1，对方队员同控球人的距离为S2，与纵 轴的夹角为 b。对方转身后的加速度设为c，求传出的球与纵轴夹角为a。 传球线路的方程为y=xctga ，队员插上路线的方程为y=xctgsletg。那么 球的位置就可以求出，为 (ctgs1ctg+ctga，ctgctga s1ctg+ctga) ， 而对方的位置是 (s2sinb ，s2cosb) ，己方插上队员的位置是(sl ，0)。己方到球 的距离为 ctgactg ctgas c

18、tgactg Sctgactg ctgctga Sctgacsc1 )()( 2121 。 再由 t=SV，得所需时间为： )( csc1 ctgactgv ctgaS 我们知道，当对方队员发现球传出后，会条件反射地直接冲球而去，但由于球 速较快，不能一下触球，因此，他的跑动路线成一条曲线，可以把它的长度忽略为过他 与横轴平行的直线与球的路线的交点到球的距离，是 csoa(ctgS 1cosbS2)，根据 s=1/2at2, 得时间为： )cos( csc2 21 SbSctg c a 由传球的目的，我们知道，己方球员到球的时间应小于对方球员，所以我们得 到不等式： )( csc1 )cos(

19、 csc2 21 ctgactgv ctgas SbSctg c a ， 解得 2 21 2 2 1 2 2 )cos(2 csc cos sin)( vSbSctg Sc a actgactg 以我们现在的三角知识还无法解决这个问题。因此，我们可以简化一下模型，为了 保证球不被其他队员截获，球的距离肯定不能太长。我们知道，从静止开始的匀加速运 动，其平均速度为最后速度的一半。而在距离足够短的情况下，肯定无法加到全速，所 以设他的平均速度为13V。则，对方到球的时间就有所变动。我们得到新的不等式： )( csc1 3 1 )cos(csc 21 ctgactgv ctgas v SbSctga

20、 ， 即 )cos(3sin sin cos cos 21 1 SbcSctg S aa 。 我们令不等式的右端为A，设 A v a VA v a sin)1( sin, cos)1( cos ， 由 sin2a+cos2a=1，得 2 22 2 sin2 2sin)1(1AA v 。 则角 a 在上式所表示的两个角之间。因为所设的未知量太多， 计算显得非常的麻烦， 如果给出一些具体的数值，会简便得多。在这个问题中，用到了解析几何、不等式、三 角函数的知识。 8点球的补射问题 在比赛中，如果双方的实力相当，场上的形势难分难解，决定胜负的将是定位球的 把握。其中，最应该得分的就是点球。如果点球没

21、有罚进，射失的一方往往信心全无， 一愧千里；而被罚的一方，凭着置之死地而后生的奋勇，就能够转危为安。当然，球没 有射进，无非有三种可能。第一，自己射飞；第二，被守门员扑出；第三，被门框挡住。 在后两种情况发生以后，进攻方能否进行补射是非常关键的。我们看到，在射点球的时 候，双方队员都挤在罚球弧和罚球区的交点上。这当然可以通过直观感觉出这两个点到 球门的距离较近，我们也可以通过计算得到。在出现第二种情况时，以过罚球点与底线 平行的方向为横轴，与它垂直的方向为纵轴。设门将把球扑出到门前3m的地方，其坐标 为(w，3) ，不妨设 w0 ，罚球弧所在的方程为 x2+y2=9152(y5，5)， 则圆弧

22、上的点到球的距离平方为： (xw)2+(y3)2=9152+92wx6y+w2=164 7225+w2+6y2wx 因为 x 越大， y 的绝对值越小，所以，当y=55 时，上式有最小值。 当出现第三种情况时，如果是打在横梁上，反弹出的范围也在罚球弧之内，但由于 球的轨迹会很高，马上进行补射的可能很小，因此也就可以不考虑了。如果是打到门柱 上，可以认为是反射，反弹到横轴上的坐标为（732，0） ，而两个交点到纵轴的距离 为 22 5 .515. 9 =731m ，显然从这两个点到球的距离最短。这个问题只应用了最基本的 解析几何知识。 以上是我对数学知识在足球运动中的应用的一些看法。在我们的角度，这些认 识只能通过倒推，作出一些结果，而且肯定有欠妥之处，希望大家能给予批评指正。 宋洋