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1、用心爱心 专心118 号编辑- 1 - 不等式的应用最值问题 教学目标 1深刻理解不等式中，两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一定理，即平均值定理 2熟练应用平均值定理，求某些问题的最值 3培养学生严谨的思维品质，以及对数学思想方法的理解和运用，提高学生灵活运用所学知识解决问题的能力 教学重点与难点 平均值定理适用的条件，及其变形使用 教学过程设计 （一）不等式平均值定理的功能 师：不等式平均值定理的内容是：若干个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数即： 如果 a1，a2， a3，, ， anR+且 nN+，n1，那么 在高中阶段，我们只要求同学掌握两个或三个正数的算术平均数
2、不小于它们的几何平均数请同学用数学表达式 表示上述定理 （教师板书） 师：由两个不等式的结构来看，它们的功能是：从左往右可以把和的形式缩小为积的形式；从右往左可以把积的 形式扩大为和的形式为了使用方便，通常把不等式变形为 由于平均值定理在特殊形式下，可以进行放缩变换，因而它在数学中，可以作为用综合法证明不等式的依据，还 可以作为求最值问题的工具 用心爱心 专心118 号编辑- 2 - 今天，我们主要研究应用平均值定理求最值的问题 （二）应用平均值定理求函数的最值 例 1 当 0x2 时，求函数y=x（2-x ）的最大值 师：函数y=x（2-x ）是积的形式，求最大值实质是要做什么样的转化？ 生
3、：可以使用平均值定理把积的形式转化成和的形式 师：平均值定理是对正数而言的，由于x， 2-x 都是正数，所以 在什么条件下“”取“=”号？ 生：当且仅当x=2-x ，即 x=1 时，取等号此时，y 的最大值为1 师：把积的形式化为和的形式，这个和应该为定值才行 从而求出最小值 （教师板书） 解：由 x1，知 x-1 0则 用心爱心 专心118 号编辑- 3 - 中等号成立 所以当 x=2 时， y 的最小值为6 师：运用平均值定理求函数的最值时，必须要有和的定值或积的定值出现即 ，当且仅当a=b 时取“ =”号 （定值），当且仅当a=b=c 时，取“ =”号 不等式可以在求函数的最大值时使用
4、，当且仅当a=b 时，取“ =”号 值），当且仅当a=b=c 时，取“ =”号 不等式，可以在求函数的最小值时使用 例 2 中对函数式的运算结构稍做变化，就可以使用定理了 例 3 填空题： 师：请同学来分析（1） 生甲：由于x0，则 用心爱心 专心118 号编辑- 4 - 生乙：我的做法与甲同学不一样 由于 x0，则 师：甲、乙两位同学对函数式的变形采取了不同的方法，但都得到了定积，谁是谁非呢？ 师：分析的很好！在拆、凑函数式的时候，除了要考虑能否得到“定积”或“定和”以外，还要顾及使用平均值 定理后，能否取“=”号这一条件如果思维不严密，就会出现错误 由学生自己解（2） （板书如下） y=x
5、 2（ 5-2x ）=xx（ 5-2x ） 如果学生的板书有漏洞或错误，教师可以边纠正，边总结应用平均值定理求函数最值的步骤 如果学生板书没有问题，教师可以请学生总结步骤并进行适当的引导或补充 应用平均值定理求函数的最值，要注意的问题有： 用心爱心 专心118 号编辑- 5 - （1）函数式中诸元素是否为正数； （2）诸元素的和或积是否为定值； （3）判断“ =”是否成立 （三）灵活运用平均值定理求最值 师：此题为三角函数求最值的问题，应从何处入手？ 用平均值定理求最大值，但sin x+cos2x不是定值，因此，应从配、凑和为定值入手 师：函数式中涉及到正、余弦两种三角函数，可以利用同角的平方
6、关系进行转化 （2sin 2 x+cos 2x+cos2x）为定值；即可求出 y 2 的最大值 师：对函数式的变形是灵活多样的，但宗旨都是使和或积为定值 例 5 若正数 x， y 满足 6x+5y=36，求 xy 的最大值 教师可以先让学生进行讨论，然后再请一位同学发言 生：已知是两正数和的等式要求两数积的最大值，可以由 用心爱心 专心118 号编辑- 6 - （板书如下） 解：由于x， y 为正数，则6x，5y 也是正数，所以 当且仅当6x=5y 时，取“ =”号 师：函数式中含有根式，不容易看出定积是否存在，用什么方法解决这个问题？ 生：可以先用换元法把根式去掉，再把函数式进行转化 师：换
7、元法是常用的数学思想方法，能帮助我们把复杂问题简单化 （四）不等式在应用问题中的应用 例 7 已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值 师：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值因此最大值一定要用S来表示首要问题是列出函数关系式 生：设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a， b，c，则 y=abc由于 a+b+c 不是定值，所以肯定要对函数式进 行变形 生：我受例4 的启发，发现可以利用平均值定理先求出y 2 的最大值，这样y 的最大值也就可以求出来了 解法如下： 解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则 用心爱心 专心
8、118 号编辑- 7 - y=abc， 2ab+2bc+2ac=S 而 y 2=（abc）2=（ab）（ bc）（ ac） 当且仅当ab=bc=ac，即 a=b=c 时，上式取“ =”号， y 2 有最小值 师：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证。 （五）布置作业： 1选择题： （1）设 a，b 为实数，且a+b=3，那么 2 a+2b 的最小值是 。 （2）设 a0， b0，且 2a+5b=200，那么 lg a+lg b满足 。 A当 a=50 ，b=20 时，取最大值 5 B当 a=50，b=20 时，取最大值3 C当 a=50，b=20
9、时，取最小值 5 D当 a=50 ，b=20 时，取最小值 3 （3）x，y 是满足 2x+y-1=0 的正实数，那么x 2y 。 2填空题： 用心爱心 专心118 号编辑- 8 - 3当 0x 1时，求 y=x 2（1-x ）的最大值。 5用一块正方形的白铁片，在它的四个角各剪去一个相等的小正方形，制成一个无盖的盒子，问当小正方形的边 长为多大时，制成的盒子才有最大的体积？并求出这个体积。 材料每平方米 3 元，用作侧面的材料每平方米2 元，问怎样设计容器的尺寸，才能使制作的成本最低（不计拼接 时用料和其它损耗）。 作业答案或提示： 1选择题：（1）B；（ 2）B；（ 3）B。 5设大正方形
10、的边长为a，小正方形的边长为x，盒子的体积是 用心爱心 专心118 号编辑- 9 - 课堂教学设计说明 本课以平均值定理的应用为主线，例1，例 2 从抓典型思路入手，引导学生积极参与，使学生掌握求最值的一般 方法，例3，例 4 则是通过对典型错误的辨析和纠正，加深了学生对定理条件的理解，进一步激发了学生的学习兴趣， 提高了思维的严谨性，在此基础上，例5，例 6 则突出了化归转化和换元法在解题中的作用，使学生认识到数学思想方 法就是运用数学知识分析问题和解决问题的观点，方法、解题中的很多错误，都是因为对思想方法的认识肤浅造成的， 只有领悟思想方法的实质，才能不断提高解题能力和纠错、防错能力 例 7 是为了提高学生解决实际问题的意识而设计的但如果时间不够，可以专门设计一节课，利用平均值定理解 应用问题