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1、1 变换图像巧解电学题 浙江省湖州中学施永华 313000 把数学中的函数图像应用于物理题目的解答过程中，首先必须要解决的问题是深刻地领 会图像的物理意义，这是用图像来解答物理题目的基础，把物理问题转化为函数图像来处理 是在理解了图像的物理含义的基础上进行的。有时灵活变换图像中两个变量中的一个，可以 加深对知识的理解及应用。因图像中的变量发生了转换，所以图像的曲线与坐标轴所围的面 积、斜率等的物理意义都发生了变化。利用图像解题既方便又快捷，因为图像比较直观，一 目了然。下面来介绍利用图像变换来解题的具体的方法： 例一、 如图（ a）所示，平行板电容器两金属板和相距为d，紧靠它们的右端安放 着垂
2、直于金属板的靶。现在、板上加上如图（b）所示的方波形的电压 AB，电压的 正向值为 0，反向值为 2 0 U ，且每隔 2 T 换向一次，现有质量为m的带正电且电量为q 的连 续粒子束从左边缘的中点以平行金属板的方向 / 射入。设粒子能全部打在靶上而 且所有粒子在间的飞行时间均为，不计带电粒子的重力，则： （）在距靶的中心点 / 多远的范围内有粒子击中？ （）要使粒子能全部打在靶上，电压 的数值应满足什么条件？写出0、m 、d、q、 的关系式即可。 （）由已知条件知，必有带电粒子击中 / 点，电场力 对每个击中 / 点的带电粒子做的总功是多少？ 解析： 这是一个带电粒子在方波形交变电场中运动的
3、综合 问题。粒子束进入、两极板后，在周期性电场力作用下作两个方向上的分运动，即平行 极板方向的匀速直线运动和垂直于极板方向的匀变速运动；现对垂直于极板方向的各种运动 情况作一分析：因为带电粒子所受到的电场力 U d q q d U F E ，而 d q 是一个常数，所以将 AB U t 图像 转化为 E F t 图像，形状应该是相同的（如右图所示）。对 于 E F t这个图像曲线与坐标轴所围的面积的物理意义是带电粒子所受电场力的冲量。假 如带电粒子在 4 T 时进入方波形交变电场，由于图示阴影部分的面积相等，从 4 T 到这段时 间内电场力的总冲量为零，所以时刻速度为零。带电粒子在电场中运动的
4、总时间为，在 剩下的 4 T 时间内电场力的冲量与 4 T 到 2 T 电场力的冲量相等，方向相同。 所以带电粒子在 4 T 到 2 T 的时间内作匀加速运动，在 2 T 到的时间内作匀减速运动（时刻速度为零），在到 4 5T 的时间内又作匀加速运动，故在整个时间内带电粒子的运动方向一直向下运动。若进 入交变电场的时刻在 4 T 以前，那么从进入到 2 T 的时间内电场力的冲量大于从 2 T 到的时间 内电场力的冲量，这样时刻速度不为零，方向向下，所以粒子在垂直于极板方向上也一直 2 向下运动。由以上分析可知在 TnTnTt 4 1 / 1 ，)(Nn时刻进入、间的粒子在垂 直于极板方向上一直
5、向下运动。 由以上分析可知，粒子在上击中点在 下方最大位移处可能在t 时刻进入的粒子 取得，粒子先以 md qU a 0 1 作匀加速运动， 后以 md qU a 2 0 2 作匀减速运动，再以 md qU a 0 1 作匀加速运动。根据分析 画出粒子在) 2 ( 1 t T nTt) 24 ( 1 T t T 的 t 图像（如上图所示） 。从此时刻进入电 场 时 ， 击 中 点 在 下 方 的 距 离 为 ： DEHFBCFDABCSSSd下 11 0 )( 2 1 tt md qU ) 22 ( 22 1 0 1 0 1 0 T md qU t md qU t md qUT ) 2 ( 2
6、 1 1 t T ) 22 ( 0 1 0 T md qU t md qU ) 2 () 22 ( 1 00 1 0 t T md qUT md qU t md qU md TqU Tt md qU 164 3 2 0 1 0 。 可见，当 2 1 T t，即带电粒子在nTt / 时刻入射时，有距 点下方最大距离击中点，最 大距离为 md TqU d 16 5 2 0 max 下 。同理分析可得， 在 2 T nTt时刻进入的粒子有距 点向上 的最大位移，即 md TqU d 16 2 0 max 上 。 综上所述， 在距靶的中心点 上方 md TqU 16 2 0 以内、下方 md TqU
7、16 5 2 0 以内有粒子击中。 要使粒子能全部打到靶上，必须使最大偏移 2 max d d下，即 216 5 2 0 d md TqU ，解得： 2 2 0 5 8 qT md U。 在解决本题第三小题时有的同学可能会将大小和方向都不变的电场中带电粒子运动的 情况应用于此。如果电场的大小和方向都不变，带电粒子在电场方向上又没有位移，电场力 做功为零。而本题中，电场的大小和方向都随时间而变，上述结论不适用。 由 max下 d md TqU Tt md qU 164 3 2 0 1 0 式可求得 12 1 T t时进入电场 max下 d，即粒子打在 3 点。带电粒子从 12 5T nT时刻进入
8、电场，先以 md qU a 0 1 作匀加速运动 12 T ，再以 md qU a 2 0 2 作匀减速运动 12 2T ，速度为零，反向以 md qU a 2 0 2 作匀加速运动 12 4T ，接着 以 md qU a 0 1 作匀减速运动 12 2T ，速度为零，由于总时间为，所以再反向以 md qU a 0 1 作匀 加速运动 4 T ，最终打在 / O点。由以上分析可知粒子打在 点时的竖直分速度为： 4 1 T a md TqU 4 0 。综上所述，电场力对每个击中 / O点的带电粒子做的总功为 2 2 02 32 )( 2 1 md TqU mW。 本题在求解过程中利用了t 图像以
9、及将 AB U t 图像转换为 E F t 图像。变换图像 解题时特别注意：图像中图像的曲线与坐标轴所围的面积等的物理含义相应的转化。 例二、 如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L 的区域 内，现有一个边长为a （aL）的正方形闭合线圈efgh 以初速 0 垂直磁场边界滑过磁场后速 度变为（ 0 ）那么： A、完全进入磁场中时线圈的速度大于)( 2 1 0 ； B、完全进入磁场中时线圈的速度等于)( 2 1 0 ； C、完全进入磁场中时线圈的速度小于)( 2 1 0 ； D、以上情况A、B均有可能，而C 不可能。 解析： 分析本题， 因为线圈进入磁场的过程中，fh
10、边作切割磁感线运动，所以闭合线圈efgh 中有感应电流， fh 边受到磁场对它的安培力的作用。令线圈的总电阻为R， 磁感应强度为B， 在进入磁场或离开磁场时任一时刻的速度为 1 ，则磁场对线圈的安培力 R aB F 2 1 2 。根 据楞次定律可知线圈所受的安培力总与线圈的运动方向相反。由此可知线圈在进入磁场和离 开磁场时作加速度越来越小的减速运动，线圈所受安 培力是越来越小的变力。变力问题直接用高中物理知 识很难解决问题，必须寻找巧妙的方法才能解决，图 像法是高中物理中解决这类问题的常用方法。 根据题目所给的条件我们可以粗略地合乎规律地画 出线圈通过磁场的整个过程的t图像，如右图所 4 示，
11、在画t图像时必须将加速度越来越小的特点体现在这个图像上，那就是图像曲线的 斜率将越来越小。 21 tt表示线圈进入磁场的过程； 32 tt表示整个线圈在磁场中运动的 过程，在这个过程中线圈中没有磁通量的变化，所以线圈中也没有感应电流，此时也就没有 安培力，线圈作匀速运动； 43 tt表示线圈离开磁场的过程。令线圈全部进入磁场时的速 度为 2 。根据t图像的物理意义 21 tt时间内曲线与坐标轴所围的面积（左斜线部分） 表示线圈进入磁场时的位移； 43 tt时间内曲线与坐标轴所围的面积（右斜线部分）表示 线圈离开磁场时的位移；这两段时间内的位移相等都应等于线圈的边长a，所以在t图 像上斜线部分的
12、这两块面积相等。 进一步分析我们可以知道，若我们将t图像中的变量转换为 F， 由 R aB F 2 1 2 可 知，线圈所受的安培力与它运动的速度成正比，所以转换后的tF 图像也必定与t图 像的形状相同，相差一个比例常数 R aB 22 。由于图像由t图像转换为tF 图像，所 以坐标轴与图像的曲线所围的面积表示的物理意义相应也发生了变化。斜线部分的面积就表 示线圈进入磁场和离开磁场过程中线圈所受安培力的冲量，由于这两块面积相等，所以线圈 在进入和离开磁场时所受的冲量相等。设线圈质量为m ，进入和离开磁场时安培力的冲量分 别为 进 I、 出 I则有： 02 mmI 进2 mmI 出 由于： 出进 I I 所以有： 202 mmmm得：)( 2 1 02 故选项 B正确。 灵活变换图像中两个变量中的一个，以加深对知识的理解，能提高分析问题和解决问题 的能力。 但图像中变量的转换不能是随意的，相互转换的两个变量之间存在着确定的正比例 关系即确定的比例常数，这样才能相互转换。