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1、1 浅谈建构观下的课堂例题设计 潘青 目前的数学课堂教学，从内容上可分为概念( 定理 ) 教学和解题教学，前者是新知识的引入，后者是它们的应用. 教学中 占有不小比例的解题教学，传统的教学方法为：教师在课堂上对例题进行分析讲解并归类，学生课后做适量的同类习题. 总有教师抱怨：教过的习题学生仍不会做. 总有学生说：上课时听老师分析得头头是道，一碰上具体问题照样糊里糊涂. 我们不妨从认识论的角度寻找一下原因. 现代认知学派的理论认为，学习不是环境引起个体的行为反应，而是个体作用 于环境，环境只是提供潜在的刺激，而这些刺激能否受到注意或被加工，则取决于个体内部的心理结构. 也就是说，教学过 程中学生
2、的心理认同才是决定因素. 因此上述情况的发生可以归结为：课堂上传授的有关知识与方法未在学生的心理上得到 应有的认同， 学习过程中缺乏学生的主动参与，无法在学生的头脑中形成新的认知结构. 因此， 例题不仅要渗透着教育者的 数学思想与方法，而且应是新概念与学生原有认知结构间的一座桥梁，更是引导学生发现、理解和创造的支撑点. 1. 例题设计的必要性 1.1 教学目标的需要 能否充分体现学生的主体性是素质教育的重要保证. 在教学中要真正体现学生的主体性，就必须使认知过程成为学生进 行再创造的过程. 在学生自觉、主动深层次的参与过程中，实现发现、理解、创造与应用. 因此，例题教学的目的不仅是为 了解题，
3、 而且要在解题的过程中培养和提高学生独立思考、探索新知识、 解决问题的能力. 其中精心创设的每一个问题情景， 应能较好地激发学生的兴趣，使之产生情感共鸣，为学生的主动学习提供必要的条件. 1.2 学生学习活动的需要 课本中的例题多是经过精心挑选的. 但课本中通常以演绎形式把思维过程处理得十分简练，并隐去曲折、 复杂的探索过 程和数学背景. 如果教师只是照本宣科地讲解，掩盖了内涵丰富、富有生机的教学内容，例题的作用就会大打折扣. 如果我 们在深入挖掘探索过程或背景的基础上，将例题设置成多层次的问题，增添能揭示实质的思考题，使学生对其思维过程自 觉地进行探索，从而达到对问题实质的理解，就会取得良好
4、的教学效果. 1.3 数学本体特征的需要 在数学本体论中， 数学的两重性即数学内容的形式化与数学发现的经验化已成为许多数学家和数学教育家的共识. 数学 的两重性反映在数学教育上，就是要求进行全面的数学教育，即在数学教育活动中既要重视数学内容上的形式化、抽象化 的一面，更要注意数学发现、数学创造过程中的具体化、经验化的一面.因此课堂中的例题，作为数学方法和思想的重要载 体，不能只是让学生间接地从老师那里学习解题的经验，应让学生通过直观生动的体验，探索解决问题的方法，了解数学 思想方法的产生、发展和完善的过程. 1.4 非智力因素培养的需要 要引导学生自主地学习，动机、兴趣、情感、意志、性格等非智
5、力因素起着关键的作用. 而第一堂课都会影响这些非智 力因素的培养. 如果能为例题设计出多层次的问题，将学生的思维一步步引向深入，不仅能激发学生的兴趣，也让学生从旁 观者转变成参与者. 当他们克服了一个又一个困难之后，不断地有新的发现，新的体会，解题过程便不再枯燥乏味. 这样的 体验不但是任何讲解无法替代的，而且在潜移默化之中培养了学生坚韧不拔、积极进取、勇于探索的良好品质. 2. 例题设计的原则 2.1 明确的教学目的 任何一道例题的出现都应有明确的目的，它可能是某一概念( 定理 ) 的具体应用， 也可能是某一思想或方法的具体渗透， 或两者兼而有之. 一道例题， 教师如果不知道在分析讲解中应该
6、让学生了解到什么，不知道需要对哪些数学概念和定理进行 必要的澄清，结果便是整个分析过程平淡而没有重点，不仅无法吸引学生的注意力，而且还会有不少学生不知道老师在讲 什么 .因此例题的设计，应首先确定目的( 即需要让学生了解什么) ，再考虑实现目的的过程中可能出现些什么困难，应该如 何克服这些困难？这与概念教学中难点与重点的突破有异曲同工之效. 2.2 循序渐进 一道例题能否激发学生的兴趣，让学生积极地参与，首先取决于提出的问题能否引起学生思想上的共鸣，起点太低或 太高均不合适. 每一个问题都应建立在学生已有的认识基础上，并为他们留出思考的余地. 如果有些问题需要通过层层挖掘 才能解决，不妨将各阶
7、层的突破口有序地作为这个例题的几个小问题，渐渐地将学生引入最终的数学环境. 2.3 体现知识点的内在结构 2 例题的设计应尽可能为学生提供具体丰富的素材，帮助学生再经历、再发现、再创造的同时，对数学概念、原理的认识从 孤立走向系统 . 所以，在设计时也应考虑各知识点的内在联系与结构，使某些例题中的问题顺序符合知识点在认知结构中的顺序. 3. 例题设计的实例和分析 立体几何教材中有这样一个例题： 求证：斜棱柱的侧面积等于它的直截面的周长与侧棱长的乘积. 许多学生在学了以后，往往不知道它与已经学过的直棱柱侧面积求法有什么联系，为了让学生能了解这个问题的解决 过程，理解蕴涵在其中的数学实质，在该例题
8、前设计了一个例题如下： 如图 11，在斜棱柱ABCA1B1C1中，已知底面是边长为a的正三角形， 侧棱长为b, 侧棱 AA1与底面相邻两边所夹的角都为45 . 求二面角BAA1C的平面角； 求证：BB1C1C为矩形； 求它的侧面积. 这里第题中所添的二面角的平面角BDC中的两条边BD和DC就是两个侧面的高， 从而 与第题一起为斜棱柱侧面积的求法创造了条件，现将教学过程摘录如下： (完成两个小题后) 师大家知道直棱柱的侧面展开图为矩形，其侧面积是这个矩形的长( 底面周长 ) 乘 以宽 ( 母线长 ). 那么斜棱柱的侧面展开图是什么呢？ 生 ( 不假思索 ) 平行四边形 . 师我们来动手实验一下.
9、( 结果见图12) 生 ( 很惊奇 ) 师：我们应如何来做第题呢？ 生一个一个地求.( 解题过程略 ) 师有没有其他求法？能否也像直棱柱一样展开来求？ 生 ( 无语 ) 师来观看一下BCD( 见图 13) 的三条边BC，CD，DB在展开图中是什么样的？ 生成一条直线. 师为什么？ 生因为他们与侧棱AA1都垂直 . 师现在我们沿这条直线将侧面剪开, 生 ( 顿悟 ) 可以拼成一个矩形. 师平行四边形转化为矩形的同时斜棱柱转化成了什么？ 生直棱柱 . 师 ( 见图 14) 如何求这个矩形的面积呢？ 生用BCD的周长乘以斜棱柱的侧棱长. 师这就是教材中要告诉我们的：斜棱柱的侧面积等于它的直截面的周长
10、与侧棱长的乘积. 上面的例子中由侧面积求法的复杂过程激发学生了解其他方法的兴趣，引导他们与直棱柱的侧 面积求法进行比较，并为斜棱柱侧面展开图的猜测提供了实验的方法，让学生在深刻的体会中纠正 错误 .以后的平行四边形转化成矩形，斜棱柱转化成直棱柱便一气呵成. 整个问题的解决过程充满了 生机与活力，教学过程高潮迭起，不仅使学生对斜棱柱侧面积求法有了实质性的理解，同时也了解 了直截面的另一个特征：直截面多边形的各个内角是相邻两个侧面所成的二面角的平面角. 4. 结束语 例题的设计很难定出一个“放之四海皆准”的方法 . 即使同一道例题，其设计也会因教学要求、教学对象的改变而不同， 这便是所谓的教无定法. 经验丰富的教师常常将某一数学结论用特殊的问题情景夸张地表现出来，让学生在经历发现与创造 的过程后留下深刻的印象. 这往往比反复强调“要注意, ”有效得多. 电影用画面和音乐使人有身临其境的感受，从而引起 观众的强烈共鸣，数学例题的设计可以通过各种问题情景的设置，让学生的思维层层深入，使教学过程充满生机与活力， 创造出良好的教学环境. 图 11 图 12 图 13 图 14