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1、1 浅谈数学思想方法教学 宁夏平罗中学李占龙 一、数学思想方法教学的意义 数学思想是对数学知识和方法本质的认识，数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具。数学思想方法 是形成学生的良好的认识结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。即将实施的与义务教育衔接的高中数学教学大纲提出， 中学数学中的基础知识包括概念、法则、性质、公式、公理、定理等，以及由其内容所反映出来的数学思想和方法，作为 基础知识在大纲中明确、肯定地提出来，尚属首次，足见数学思想方法的教学问题已引起教育部门的重视。 二、数学思想方法教学的措施 1、首先教师必须更新观念，提高对数学思想方法教学的认识。从备课入手，从数学思想方法
2、的高度深入钻研教材，通 过对概念、公式、定理等的研究与探讨，挖掘有关数学思想方法，将数学思想方法的教学要求与有关知识、技能的教学要 求同时明确地提出来。在教学过程中，要重视数学思想方法的训练。在教学小结时，要注意数学思想方法的归纳。使学生 通过训练总结，从数学思想方法的高度把握知识的本质。总之，要把数学思想方法的渗透，贯穿于整个教学过程。 2、把握数学思想方法教学要求的层次。从“义务教育大纲”可以看出，在初中阶段对数学思想方法的教学是有其具 体分寸的。高中阶段相应地提高了要求的层次，如对分类讨论的思想、等价转化的思想、数形结合的思想、函数方程的思 想等，不但要求理解，还要求在理解的基础上掌握及
3、运用或灵活运用。任意提高或降低其要求层次，都会影响教学效果。 3、数学思想方法教学所采用的主要方法是渗透，所谓渗透，就是有机地结合数学知识的教学，采用教者有意，学者 无心的方式，反复向学生讲解诸如分类、转化、数形结合、函数等数学思想方法。通过逐步积累，让学生对数学思想方法 的认识由浅入深，由表及里，渐进地达到一定的认识高度，从而自觉地运用之。 之所以采用渗透的方法，是由数学思想方法本身的特点决定的。从知识和思想方法的关系来看，数学思想方法隐含 在知识里，体现在知识的应用过程中，它不象知识那样可以具体编排在某一章、某一节，靠教师专门讲解就可以理解的。 数学思想方法是渗透在全部数学教学内容之中的。
4、从学生的认识规律来看，数学思想方法的掌握不象知识的理解可以短期 内完成那样，而要经历一个过程，简单表述为“了解”“理解”“掌握”“会用”的过程。从学生的个 别差异来看，也存在着认识不同步的现象，因此数学思想方法的教学以采用渗透为合适。 三、数学思想方法教学的主要方式渗透 渗透教学应遵循以下原则： （1）渗透性原则：数学思想方法是融合在数学知识、方法之中的，所以采用渗透方式要不失时机地抓住机会，密切结 合教材，不断地、一点一滴地再现有关数学思想方法，逐步地加深学生对数学思想方法的认识。 （2）渐进性原则： 数学思想方法的渗透必须结合两个实际，即教材实际和学生实际，不同的教材内容有不同的要求， 不
5、同的学生也有不同的要求，要讲究层次，不能超越，要反复多次，小步地渐进。 （3）发展性原则：用渗透方式进行数学思想方法教学，开始时起点要低，但“低”是为了“高”。通过一个阶段的 学习，应该在原有的基础上有所提高，要求学生“学会”并“会学”，在思维素质方面有所发展。 （4）学生参与原则：所谓参与就是要求学生在教学过程中充分发挥他们的主体作用，遵循认识规律，运用他们自己 的器官（五官、手、脑），通过他们自己的学习劳动，去探索数学思想方法的真谛。 四、渗透数学思想方法教学的几点尝试 数学思想、数学方法很多，这里仅就高中教材中和高考试题中常见的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、等 价转化思想作些探讨
6、。 （1）函数思想 ：就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使 问题得以解决。通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个 y 函数，得出相应的结论。中学数学中，方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想 得以简解；几何量的变化问题也可以通过对函数值域的考察加以解决。高中数学教材 中，函数思想的内容相当广泛。 例 1、 高中代数上册（必修）P62例 5： “求方程x + lgx = 3的近似解”。教材中是这样解的： 2 解：在同一坐标系内画出函数y = lgx 及 y = 3 x 的图象，求得交点的横坐标x2.6 ，这个 x 值 近似地满
7、足lgx = 3 x ，所以它就是原方程的近似解。 如果就此结束本题的解答，将失去渗透函数思想教学的好时机。我的做法是：先让学生用类似地方法解方程x 2 = 4x， 学生很快画出图形，得出结果。至此，要不失时机地作出小结：一般地，方程f （x）=g（x）的解就是函数f（x）与 g（x） 的图象的交点的横坐标，从而为用函数的方法解决方程的问题提供了依据，这正是函数思想的体现。 例 2 高中代数下册（必修）P44，关于等差数列的前n 项和公式的推导。在得出公式Sn=na1+n（n-1 ）d/2 后， 教师要不失时机地指出，在该公式中，将n 看作变量，则Sn是关于 n 的二次函数，这个二次函数的常数
8、项为零，二次项系 数为 d/2 ，因此可以用二次函数的有关知识来解决等差数列的前n 项和的问题。 如九三年高考题：设等差数列 an 的前 n 项 和为 Sn，已知 a3=12，S120，S130。 （）求公差d 的取值范围；（）指出S1，S2，, ，S12中哪一个值最大，并说明理 由。对于第二问，可这样来解：如图，由题设， x0（ 12，13） ，当 n = x0/2 时 Sn最 大，又 nN ，故当 n=6 时 Sn最大。 o x 0 通过以上两例的分析可以看出，运用函数思想解决一些非函数问题，方法新颖，思路独特，直观明了，大大简化了解题 过程。这方面的例子在教材中还有很多，如不等式f （x
9、） g（x）解集就是函数f （x）的图象位于函数g（x）的图象的 上方的那一部分所对应的x 的取值范围。 （ 2）数形结合的思想: 数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学, 因而数学研究总是围绕着数与形进行的。 “数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形 之间的本质上的联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。高中数学教材中处处都蕴涵着数形结合的思想， 下面举例说明。 例 3 高中代数上册（必修）P35 40，有关函数的单调性和奇偶性的知识，是数形结合思想渗透教学的最好材 料，教学中要充分抓住这一有利时机。函数f （
10、x）在区间A 上是增函数或减函数可直观地用下图示意： x1 x2 x1 x2 通过图象的直观性，可使学生深刻理解函数的单调性，也使学生对增函数、减函数的定义有更加明确的认识。 函数的奇偶性实质上是一种对称性，而对称本来就是一个几何概念，因而用数形结合的思想方法解决有关奇偶性的 问题再自然不过了。 例 4 高中代数下册（必修）第八章复数，始终贯穿着数形结合的思想，教学中要不失时机地进行渗透。 复数 a + bi（ a，bR）与点（ a，b）的对应；向量AB与复数 ZB-ZA对应；复数z =a+bi 的模 |a + bi|与线段OZ的 长度对应； |z-z0|=r与圆心在z0，半径为r 的圆对应等
11、等。运用数形结合的思想方法解下列高考题易如反掌：已知复 数 z 的模为 2，则 |z-i|的最大值为。 （3）分类思想 ：就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，分类是以 比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。 数学的中分类有现象分类和本质分类两种，前一种分类是以分类对象的外部特征、外部关系为根据的，如复数分为 实数与虚数等，这种分法看上去一目了然，但不能揭示所分对象之间的本质联系；后一种分类是按对象的本质特征、内部 联系进行分类的，如函数按单调性或有界性分类，多面体按柱、锥、台分类等。 解析几何中，在
12、研究圆锥曲线时，“平面内的一个动点到定点的距离与定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹”， 当 0 e1 时为椭圆，当e =1 时为抛物线，当e 1 时为双曲线。这是进行分类思想教学的典型内容，教师要充分利用这 一材料，适时进行归纳小结。 3 （4）转化思想 ：在教学研究中，使一种对象在一定条件下转 化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或 已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。高中数学涉及最多的是转化思想，如超越方 程代数化、三维空间平面化、复数问题实数化等，为了实现转化，相应地产生了许多的数学方法，如消元法、换元法、图 象法、待定系数法、配方法等。通过这些数学方法的使用，使学生充分领略数学思想在数学领域里的地位与作用。 有计划地安排数学思想方法教学的习题课，在结合教材对数学思想方法教学注重平时渗透的基础上，每逢一个单元 教学完成以后，不妨组织一堂习题课，通过练习、小结、归纳加以提高。 前面已提到，中学数学的现代化就是数学思想方法、手段的现代化，这是具有时代意义的。搞好数学思想方法的教 学是时代赋予我们的使命，我们责无旁贷。