高中数学教学论文不等式高考总复习探讨.pdf

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1、1 不等式高考总复习探讨 高考复习要立足于基础知识和基本方法的掌握，但要避免简单的重复和罗列，要在提高上下 功夫， 因此复习时要凸现针对性，要在学情分析的基础上查漏补缺；启发性， 要提高学 生的知识迁移能力，做到举一反三； 概括性，要帮助学生归纳典型的解题方法，提高复习 效率，综合性，要把关联知识综合起来复习，形成一个较为完整的知识体系。 不等关系渗透到高中数学的方方面面，处理不等关系需要学生有较强的应变能力、综合能力。 纵观近年来的高考试题，从题型上来看，选择、填空题主要考查不等式的性质、比较大小和 解简单不等式； 解答题主要考查含参数的不等式解法、参数范围的确定和求函数的最值，综 合数列、

2、 三角、 解析几何的不等式的证明是常考常新的试题。所以高考总复习重点要放在这 些知识点上， 帮助学生熟练掌握常用方法和技巧，提高分析问题和解决问题的能力。如何在 不等式的复习中抓住重点兼顾难点，提高复习效率，笔者认为要抓好以下四个环节。 一、展示知识网络 展示知识网络可以帮助学生形成完整的知识结构，总体把握知识之间的内在联系。 2 二、难点再现 理解基础知识是正确应用知识解决问题的关键，在解决实际问题时由于对知识的内涵把握不 到位， 条件不具备时错用结论，或者凭主观臆测理所当然认为某结论成立，导致解题错误时 有发生。 学生在解题时需要考虑的问题较多，精力容易分散，在遇到难点时往往难以做到专心研

3、究。 在复习的第二环节中集中再现教科书中的难点，让学生集中精力透彻理解这些难点，教学效 果会更好。本章的知识难点主要有： 1有关不等式性质 如果， 则有， 反之若， 则当时有； 当 时有。 如果，且，那么，但不一定成立。 若，则，当、独立时， 的取值范围是，而当、有关联时，的取值范围会缩小，也有 类似的结论。 如果，则有，反之若，则有或或 或。 2有关均值不等式 当时，必成立， 但不一定有，只有当能做到时， 才能取到“”号；当时，有。 3有关不等式证明方法 分析法的本质是“索果导因”，寻找命题成立的充分条件，而不是必要条件，书写的格式 要规范，可以采用反证法，使书写与学生习惯写法一致。 4有关

4、绝对值不等式 教科书将代入来证明，此方法在研究抽象 函数时经常用到。 三、知识拓展 把本章与其他各章知识结合起来，就能得到非常有用的结论，这些知识通过集中研究，加深 理解，在解题时就能运用自如。 3 解决问题的思路从何而来，当你的大脑中储存着大量与题意有关联的知识信息时，你的联想 就会产生， 你就会从你的知识结构中调动有关的知识与之匹配，这些知识既有课本知识又有 拓展知识， 所以拓展知识起到了桥梁作用，对拓展知识的研究，既可起到复习巩固所学基础 知识的作用，也可在探索解题思路时起到启发性作用，一举两得。本章的拓展知识主要有： 1实数的性质 若，则。 对任意的实数、必有；若，或，则。 若，则当时

5、，；当，； 当时，。 若当时，必有，则。 对 于 常 数， 若存 在 最 大 值 和 最 小 值 ， 则； 。 2不等式的性质 若，当时，有；当时，有。 若，当时，有；当时，有。 若要证明，只需找到一个数，并证明且，即可证明。 3均值不等式 对任意的实数，必有，而当时，有， 此两式合起来，即当时，有。 若，且，则，且。 4其他 当时， 4 当时，在区间内单调递减，当区间内单调递增。而在区间 上单调递增。 四、方法探求 不等问题综合性强，思维能力要求高，解决问题的 方法多，如特值检验法、凑配法、换元法、判别式法、倒数变换法等，这些方法较常见且相 对简单， 学生易掌握， 除此之外， 复习时教师还要

6、借助一些典型例题，补充一些重要的方法， 拓宽解题思路，强化思维训练，帮助学生构建思维模式，造就思维依托和合理的思维定势。 1图象法 例 1（2006 年浙江高考文4）已知，则（） （A）（ B） （C）（ D） 分析与解：如图，作出及和的图象，从图上很容易得到 答案（ D） 。 2图形法 例2（ 2005 年 浙 江高 考理10）已 知向 量，满足 ： 对任 意， 恒 有 。则（） （A）（B）（C）（D） 分析与解： 如图， 设，则， 。因为对任意，恒有，即，所以必有， 即，故选（ C） 。 5 3用因式分解法求最值 例 3 已知，且，求的最小值。 分析与解：将变形成，则 ，当且仅当，即，时

7、取“”号，的最小值是。 4用线性规划法求最值 例 4 设，且，求的取值范围。 分析与解：通过作出满足条件的平面区域求代数式值的范围。由， 得，又，所以本题即是在线性约束条件下， 求目标函数的取值范围，答案是。 5用“乘1 法”求最值 例 5 解下列各题 （1）若正数、满足，求的最小值； （2）若、，且，求的最小值； （3）设，、为正常数，则的最小值是（） 分析与解： 把已知条件变形为一边是1 的等式， 然后用求最值的代数式去乘此式往往能较简 捷 地 求 出 代 数 式 的 最 值 。 （ 1 ） 等 式两 边 同 乘 以， 得 ，当且仅当且时取等号，所以的最小值 是。 （2）将变形为，以下类似

8、于（1）的解法，答案是。 6 （3）构造恒等式，以下类似于（1）的解法，答案是。 6用轨迹法求最值 例 6 已知，在内恒有，求实数的取值范围。 分析与解：研究带参数的二次不等式在有限区间上的性质，此类 问题非常常见， 由于多了一个参变量，对应的二次函数的图象就不确定了，但其顶点总在某 一确定的曲线上移动，所以我们可以通过画出顶点的轨迹，借助图象的直观，使问题得以解 决。 抛物线的顶点的轨迹方程为，是一条抛物线（如图）， 此抛物线与轴的交点是和。设的图象通过点 时其顶点为。从图上可以看出，当顶点从连续变到时，在内恒有 。而顶点为、时对应的的值分别为和，由变化的连续性得： 。 7用放缩法证明不等式

9、 （1）先计算再缩放 例 8 （2006 年湖北高考文20） 在（） 个不同数的排列中， 若 时（即前面某数大于后面某数），则称与构成一个逆序。一个排列的全部逆序 的总数称为该排列的逆序数。记排列的逆序数为，如排列21 的逆 序数，排列 321 的逆序数，排列 4321 的逆序数。 （）求、，并写出的表达式； （）令，证明，。 分析与解：（）答案是，（过程略）； 7 （），先计算得 再 将此 式 进行 缩 放，且 ，结论成立。 （2）先缩放再计算 例 9 （05 学年第一学期宁波市高三统考）已知数列前项和为，且 （） 。 （1）求证：；（ 2）求及； （3）求证：。 分析与解：（ 1）由，将代

10、入化简即得结论（过程略）； （ 2） 用累乘法可得，用错位相减法求得（过程略）； （3）由（ 2）得 ，由于数列的前项和无法求得，所以要先将进行缩放，然后 再求值。当时，有， 。 （3）逐步缩放 例10 （ 2006年 江 西 高 考 理22 ） 已 知 数 列满 足 ：， 且 。 （1）求数列的通项公式； 8 （2）证明：对于一切正整数，有。 分析与解：（ 1）将已知条件变形为，得数列是等比数列。利用 等比数列的通项公式可得（过程略）； （2）要证明，即要 证明，可先证明（第一次缩放） ， 再 证 明（ 第 二 次 缩 放 ） ， 依 次 类 推 最 后 得 到 （最后一次缩放）这一过程可用

11、数学归纳 法证明，接下来用等比数列的求和公式计算就能证得结论。 8用函数的单调性证明不等式 例 11（06 年浙江高考理20）已知函数，数列 (0) 的第一项1， 以后各项按如下方式取定：曲线在处的切线与经过 （0，0）和（， ）两点的直线平行（如图） 求证：当时， (1) ； （2）。 分析与解： (1) 利用导数的几何意义易证（过程略）； （2）由（ 1）得， 即， 用 累 乘 法 得， 又 1 ， 9 ，又由（ 1）得，构造函数， 当时，此函数在区间上单调递增，于是可得， 再用累乘法得，。 9用二项式定理证明不等式 例 12 已知数列满足，是的前项和，且。 （1）求的通项； （2）证明：

12、。 分析与解：（1），又，代入整理得，再用 累乘法求得通项公式（过程略） ， （ 2）因为，所以要证明的不等式是 ，把二项式展开得 。又显然，所以不等式 成立。 10用数学归纳法证明不等式 例13（ 2006 年陕西高考理22） （有改动）已知函数，且存在 ，使。 （）证明：是上的单调函数； （）设，其中 证明：； 10 分析与解：（ 1）因为，所以是上的递增函数。 （ 2），又是上的递增函数， ，即， ，且，有，以下用数学归 纳 法 证 明 ， 假 设成 立 ， 则） ，即有成立，由归纳法原理得命题成立。 当时，函数（为实数）是单调的，求证：或 11 12搭桥法 设 （1）求的最大值； （2

13、）证明对任意实数、恒有 证明奇数项的不等式的拆项变换 例、为互不相等的正数，且， 求证：。 13 14用三个“二次”的关系证明不等式 例已知二次函数的图象与轴有两个不同的公共点，若 ，且时，。 （1）证明：是的一个根；（二次函数与根的关系） （2）比较与的大小；（不等式传递性） （3）证明：。 例设二次函数， 方程的两个根、满 足 。 （1）当时，证明； （2）设函数的图象关于直线对称，求 证。 15等式与不等式结合证明不等式 例设，若，求证 （）方程有实根； （） （）设是方程的两个实根，则 16 17 18用凑项法证明绝对值不等式 对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合， 运

14、用绝对值不等式的性质变 形，是证明绝对值不等式的典型方法。 例 （全国高考题） 设、， 函数， 当 时，。 （1）证明； （ 2）证明：当时，。 19 20用主元思想研究不等式 （2004 年高考福建文22） 已知=在区间 1，1 上是增函数 . （）求实数a 的值组成的集合A； （）设关于x 的方程=的两个非零实根为x1、x2. 试问：是否存在实数m ， 使得不等式m2+tm+1 |x1 x2| 对任意 a A及 t 1，1 恒成立？若存在， 求 m的取值范 围；若不存在，请说明理由。 21 22 13 23 。 24带参数二次不等式成立问题的研究 已知等式；，要使同时满足 和的也满足，则应

15、满足（） 特值检验法 例若，则下列不等关系中不能成立的是（） . . . . 不等式化简判断法（化简为：整式0 或整式 0 的形式） 例，则成立的一个充分不必要的条件是（） . . 例已知三个不等式：；。以其中两个作为条件，余下 一个作为结论，则可以组成个正确的命题。 配凑法 已知，求函数的最大值。 例，那么“”是“”的条件。 换元法 例设实数、满足，若对满足条件的、，恒成立， 则的取值范围是（） . . 例设实数，满足，求的最大值。 判别式法 设是实数，且，则的取值范围是（） 14 .或.或 例实数、满足，则的取值范围是。 例已知函数（、）的图象按平移后得到的图 象关于原点对称，。 （1）求

16、、的值； （2）设，求证：； （不等式传递性、均值 不等式） （3）设是正实数，求证：。 （二项展开式、倒序相加、均 值不等式） 例（ 2006 高考辽宁理22） 已知其中设 （1）写出 （2）证明：对于任意的恒有 用累乘法证明不等式 各项为正的数列，若，则有 15 用综合法证明不等式 用换元法证明不等式 用绝对值的性质证明不等式 6若，求的取值范围。 方法一：（解不等式法）若，代入已知不等式则，与矛盾，所以， 若，则，得； 若，则，得。综上所述，。 方法二：综合法若，代入已知不等式则，与矛盾，所以， 不等式两边都除以同一正数，得，所以有。 方法三： 换元法设，由得，所以 方法四：线性规划法满

17、足的区域如图阴影部分， 是此区域内任一点到原点的连线的斜率，显然。 16 特点分析： 1、实际上是个递推式，要得到通项式，需要经过猜想与数学 归纳法证明。 2、 对于组合数（） 的变形，要充分利用基本式， 即把写成。 特点分析： 1、利用二次函数的图象，抛物线的单调性和函数值的性质来解题。 2、灵活运用等式 3、 8、设（为常数），方程的两个实数根为、，且满足 ，。 （1）求证：； （2）设，比较与的大小。 9、 （ 06 年浙江高考文） （5）设向量，满足，且，|=1 ，|=2 ，则 | 2 = （A）1 （B）2 （C） 4 （D ） 5 特点分析：作图法。 17 一、有用知识或方法的积累

18、 1的证明。含有绝对值符号的不等式的证明，若将两边平方，可消去部分绝对值的符号， 正如含根式不等式一样，在一定的条件下可采用两边平方将部分根号去掉。 2的证明。将移项得与的结构完全一样， 所以只需利用，将绝对值符号内的字母作适当变换就可以了。 数形结合法 （2005 年浙江省高考题理10） 已知向量，满足：对任意，恒有。则（）C （A）（B）（C）（D） 分析：向量有两种表示法，一是几何表示，二是字母表示，几何表示用来解决一些几何 问题，此题中涉及的长度、垂直都是几何中的典型问题，我们可以试着用作图的方法去解决。 即数形结合法，作如下图 设，则，。因为对任意，恒有 ，即，所以必有。即， 18 （2）函数思想：设，因为，所 以，得 整体思想与函数思想 （06 年浙江高考理20）已知函数，数列 ( 0)的第一项1，以后 各项按如下方式取定：曲线在处的切线与经过（0，0）和（， ）两点的直线平行（如图） 求证：当时， ( ) ； （求导） （）（缩、放、累乘、整体思想、函数思想） “左”用整体思想（从大处着眼）设新数列，研究相邻两项的关系， “右”用函数思想（从小处着手）设函数，研究它的单调性，从而将函数值 的大小关系转化为自变量大小关系。