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1、例谈通过数学解题教学提高学生的思维能力 数学教学的目的之一是培养学生的思维品质，提高学生的思维能力，使学生在学习数学 基础知识的同时，不断发现数学的思维过程，学到其思维方法，从而学会独立探索，有所发 现，有所创新，以便更好的掌握和应用知识 数学的思维训练通常是以解题教学为中心展开的没有一定量的题练，固然达不到练就 过硬解题本领的要求，但“题海之战”也未必培养出高素质、高能力的学生，反而加重他们 的负担，带来负面影响，这与素质教育是相悖的 笔者认为，数学解题中，应就题目的目标、内容、结构、特征等采用一题多解、多题一 解、一题多变、一题多用、一题多联，进行不同方面、不同角度、不同层次的分析、探索，
2、 其效果必胜于“宁多勿缺”的大运动量的机械重复 一、一题多解，培养思维的发散性 【例 1】求函数)0( 2cos sin y的最大值 解法一：结合正、余弦函数的有界性，构建关于函数值y 的不等式： 2cos sin y1 1 |2| 1 2 )sin(sin2cos 22 y y y y yy 解得： 3 3 y，即函数最大值为 3 3 注意：角的范围是否能使 )sin( 取到 1 或 1 解法二：针对sin和cos的不同名称，采用“减元”的方法： )0 2 (tan 3 2 tan 2 tan2 2cos sin 2 y ，由二次方程的实根分布解得函数最大值为 3 3 解法三：根据函数式的结
3、构特征，联想直线的斜率公式： )2(cos 0sin 2cos sin y，可以把 y 看作点 P(cos，sin)与点 Q( 2，0)连线的斜 率 k， 因为0， 故动点 P的轨迹是单位圆的上半部分，而过点 Q(2， 0)的直线 y=k(x+2) 与此轨迹要有公共点，便有1 1 |2| 2 k k ，解得： 3 3 k，即函数最大值为 3 3 值得注意的是， 一题多解的价值不是为了使学生知道这道题可以有多种解法，而在于使 学生学会从不同角度、不同方位去审视、去思考， 从而沟通知识之间的纵横联系，激发学生 的求知欲， 达到训练和培养发散性思维能力的目标要实现这一目标，需教师引导学生找准 发散点
4、， 并及时的调整 否则可能造成学生的迷惘和失意，甚至失去兴趣，不利于教学的进 程 二、多题一解，培养思维的聚敛性 【例 2】设关于 x 的方程02 2 axx 在(0，+)上有解，求实数a 的取值范围 【例 3】设关于 x 的方程0sin2sin 2 axx有解，求实数a 的取值范围 【例 4】设关于 x 的不等式0sin2sin 2 axx有解，求实数a 的取值范围 【例 5】设关于 x 的不等式0sin2sin 2 axx 恒成立，求实数a 的取值范围 经过分析、比对，虽然上述例2 到例 5 的数学情景不同，分别以二次方程、三角方程、 三角不等式的 “面孔” 出现， 但其本质特征通过两个变
5、量的相互关系，寻找其中一个变 量的取值（范围）是相同的，所以都可以用分离法解决 略解例 5 如下： 0s i n2s i n 2 axx恒成立1)1(sin 2 xa对Rx恒成立， 1)1( s i n)( 2 xxf的最大值为1，故所求a 的取值范围是 (1，+) 多题一解需要学生有一定的类比、观察能力， 对学生掌握基本数学技能和解题规律性有 着一定的积极作用，能达到做一题，会一类；用一法，解多题的效果，有利于求同思维的发 展，培养学生聚敛性思维能力但也不可使思维过于僵化，否则反而会走入死胡同 三、一题多变，培养思维的探索性 【例 6】 已知)( xf是定义在R 上的偶函数， 且在区间 (，
6、 0)上单调递增， 又)12( 2 aaf )321( 2 aaf，试求实数a 的取值范围 本题综合了函数的奇偶性、单调性及解不等式，内涵丰富从这一“模型”出发，可作 如下变更： 1、对原题中的“12 2 aa”和“ 2 321aa”都能定号，改为不全能定号 变题 1： 已知)(xf是定义在R 上的偶函数， 且在区间 (，0上单调递增， 又) 1log2( 2 af )2loglog( 2 2 2 aaf，试求实数a 的取值范围 分析：由于“1log2 2 a”不能定号，便需进行讨论，或根据)(xf是偶函数，有 )1log2( 2a f|)1log2(| 2 af，得|)1log2(| 2a
7、f)2loglog( 2 2 2 aaf， 解得：4a或 2 1 0a，进一步加深对函数的奇偶性、单调性的理解 2、隐去原题中已知的单调性、奇偶性 变题 2：已知函数)( xf的定义域为R，对任意 21 xx ，都有)()()( 2121 xfxfxxf成 立，当0x时，0)(xf且0)cos24()32(cosaaff对所有 2 0 ，均成 立，求实数a 的取值范围 分析：令0 21 xx，得0)0(f，再令xxxx 21 ，便可得)(xf)( xf， 又定义域为R，故 )( xf 是奇函数设 21 xx ，则 0 12 xx ， 0)()()()()( 121212 xfxfxfxfxxf
8、， 即)()( 21 xfxf， 得)( xf是 R 上的递增函数。 结合单调性、 奇偶性便可得 cos2 cos2 2 a 对任意 2 0 ，恒成立， 令4 cos2 2 )cos2( cos2 cos2 )( 2 g224， 当且仅当1022cos，时取等号，故224a 通过对条件的变更，训练学生学会分析，发现并利用函数性质解题的思维习惯 3、变确定型问题为探索型问题 变题 3：已知函数)( xf的定义域为R，)2( xf是偶函数，且)(xf在2，+）是减函数， 试问)21( 2 xf与)21( 2 xxf满足什么关系时才有 02x？ 分析： 由)2( xf是偶函数， 可得)(xf的图象关
9、于直线x=2 对称 又)( xf在2，+） 是减函数，则在（，2上递增，再确定“ 2 21x” “ 2 21xx”的范围各自为（， 1和（， 2要得到02x即0)2( xx，考察“ 2 21x”与“ 2 21xx” 的 大 小 ， 因 为0)2( xx 2 21x 2 21xx， 结 合 单 调 性 ， 应 有 )21( 2 xf)21( 2 xxf 在较好的选择“模型题”的基础上，通过对题设、结论、形式、甚至背景做一些适当的 引申和变化， 能增强学生的应变能力和求解能力，对训练和培养学生的积极探索、创新精神 大有裨益 四、一题多用，培养思维的深刻性 【例 7】设函数 x xxf 1 )(，求
10、证： )(xf在(0，1上是减函数，在1，+)上是增函数 (证明略 )这种函数单调性的用途非常广泛，如： 【例 8】已知1|lglg|ba，求证： 10 1 10 a b b a 分析：由 1|lglg|ba 得：10 10 1 b a ，令 10 10 1 ， t b a t ，由例7 结论知 t ttf 1 )(在 1 10 1 ，上递增，在 1，10 上递减，故 10 1 10) 10 1 ()10()( max fftf， 即 10 1 10 a b b a 引申： 设函数)0()(a x a xxf，求证： )( xf 在(0，a上是减函数，在a，+ )上是增函数(证明略 ) 【例
11、9】设函数 2 2 1 ()() xc fxxR xc （1）若01c，求()fx的最小值； （2）若1c，求证： 1 ()fxc c 略解： （1） 2 2 22 11 ()2 xc fxxc xcxc ，当且仅当1xc时取等号 （2） 2 2 22 11 () xc fxxc xcxc ，因为1c，故 2 1xcc，由单调性 可得 1 ()fxc c 五、一题多联，培养思维的创造性 【例 10】已知椭圆C：)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点为F1、F2，如果 C 上存在一点Q 使 F1QF2Q，求椭圆离心率e 的变化范围 1、鉴于椭圆上点与两焦点连线，可联椭圆 略解：
12、由 | QF1 | + | QF2 | = 2a，| QF1 | 2 +| QF2 | 2 = 4c2， 可得： 2 2 2 2 2 1 21 2 2 2 1 | |2| c a QFQF QFQFQFQF ，即2 | |2 1 2 2 2 2 2 1 21 c a QFQF QFQF ， 解得： 2 2 e，又椭圆离心率 10e，故 1 2 2 e 2、由 F1QF2Q，可联直线的斜率 略解：设)()( 000 axayxQ， ，有1 0 0 0 0 cx y cx y ，即 22 0 2 0 cyx，又 Q 点在 椭圆上， 有)1( 2 2 0 22 0 a x by，联立得： 22 22
13、2 2 0 )( ba bca x， 由 22 0 0ax， 解得： 2 2 e， 又椭圆离心率10e，故1 2 2 e 3、因为 Q 点对定线段张直角，可联Q 点的轨迹是以F1F2为直径的圆 略解：因为F1QF2Q，所以 Q 点的轨迹方程为 222 cyx，与椭圆方程联立，可得： 0)()( 222222 bcaxba，即 22 222 2 0 )( ba bca x，以下仿上述2，得1 2 2 e 4、由椭圆的扁圆程度和离心率变化的对应关系，可联运动变化 略解：由 2 2 1 a b a c e，可知离心率变大则椭圆变扁当Q 点位于椭圆短轴端点时， F1QF2为等腰直角三角形，此时 2 2 e，要使椭圆上存在点Q 满足 F1QF2Q，椭圆可 由此临界状态变扁，故1 2 2 e