2018年四川省内江市高考数学一模试卷(理科).pdf

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1、第 1 页（共 23 页） 2018 年四川省内江市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A=x| x21 ，B=x| 2x1，则 AB=（） A （0，1） B （1，+）C （1，+）D （， 1）（0，+） 2 （5 分）设 i 为虚数单位， aR，若是纯虚数，则 a=（） A2 B2 C 1 D1 3 （5 分）下列各组向量中，可以作为基底的是（） A，B， C，D， 4 （5 分）下列说法中正确的是（） A先把高三年级的2000 名学生编号： 1 到 2000

2、，再从编号为1 到 50 的 50 名 学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m， 然后抽取编号为 m+50， m+100， m+150 的学生，这样的抽样方法是分层抽样法 B线性回归直线不一定过样本中心点 C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于 1 D设随机变量 X服从正态分布 N（10，0.01） ，则 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的a 为 2，则输出的 a 值是（） 第 2 页（共 23 页） A2 B1 C D1 6 （5 分）若函数 f（x）=sin（2x+ ）在上单调递减，则 的值可能是 （） A2 BC D 7 （5 分）已知 是锐角，若，则

3、 cos2= （） ABC D 8 （5 分）设 an是等比数列，则下列结论中正确的是（） A若 a1=1，a5=4，则 a3=2 B若 a1+a30，则 a2+a40 C若 a2a1，则 a3a2 D若 a2a10，则 a1+a32a2 9 （5 分）函数 f（x）=x 22|x| 的图象大致是（） ABC 第 3 页（共 23 页） D 10 （ 5 分 ） 已 知 实 数 a， b 满 足， 则 当时 ， 的最大值是（） A5 B2 C D 11 （5 分）当 x0 时，不等式恒成立，则 a 的取 值范围是（） A 0，1）（ 1，+）B （0，+）C （， 0 （1，+） D （ ，1

4、）（ 1，+） 12 （5 分）设 nN*，函数 f1（x）=xe x，f 2（x）=f1 （x） ，f3（x）=f2 （x） ， ， fn+1（x）=fn（x） ， 曲线 y=fn（x） 的最低点为 Pn，PnPn+1Pn+2的面积为 Sn， 则（） A Sn 是常数列BSn 不是单调数列 C Sn 是递增数列 D Sn是递减数列 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 （5 分） （1+x） （1x） 6 的展开式中， x3的系数是 （用数字作答） 14 （5 分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当 他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试

5、时，甲说：丙没有申请；乙说：甲 申请了；丙说：甲说对了如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了 北京大学的自主招生考试的同学是 15 （5分）设函数，则满足 f（x）+f（x1）2 的 x 的取 值范围是 16 （5 分）已知菱形 ABCD的边长为 2，DAB=60 ，P 是线段 BD 上一点，则 的最小值是 第 4 页（共 23 页） 三、解答题：本大题共5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 17 （12 分）设数列 an满足 a1+2a2+4a3+ +2n 1a n=n （）求数列 an 的通项公式； （）求数列 an+log2an的前 n 项和 18 （

6、12 分）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC +csinB=0 （）求 C； （）若，点 D在边 AB上，CD=BD ，求 CD的长 19 （12 分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生 产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50 件产品作为样本， 检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在 100，120）内，则为合格品，否 则为不合格品 表 1 是甲套设备的样本的频数分布表，图 1 是乙套设备的样本的 频率分布直方图 表 1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标 值 95， 100） 100， 105） 105， 110）

7、110， 115） 115， 120） 120， 125 频数14192051 图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图 （）填写下面列联表， 并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的 这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关； 甲套设备乙套设备合计 合格品 不合格品 合计 （）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较； （）将频率视为概率若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3 件产品， 记抽到的不合格品的个数为X，求 X的期望 E（X） 附： 第 5 页（共 23 页） P （K2k0）0.150.100.0500.0250.010 k02.0722.7063.8415

8、.0246.635 20（12 分） 已知函数 f （x） =asinx +bcosx （a， bR ） ， 曲线 y=f （x） 在点 处的切线方程为： （）求 a，b 的值； （）设 kR，求函数在上的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x）=e x2，其中 e2.71828 是自然对数的底数 （）证明：当 x0 时，f（x）x1lnx； （）设 m 为整数，函数 g（x）=f（x）lnxm 有两个零点，求 m 的最小值 选修 4-4：极坐标与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参 数） ，曲线 C的参数方程为（为参数） 以坐标原点 O 为

9、极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （）求直线 l 和曲线 C的极坐标方程； （）已知直线l 上一点 M 的极坐标为（ 2， ） ，其中射线 OM 与曲线 C交于不同于极点的点N，求| MN| 的值 选修 4-5：不等式选讲 第 6 页（共 23 页） 23已知函数 f（x）=| 3x1|+| x2| 的最小值为 m （）求 m 的值； （）设实数 a，b 满足 2a2+b2=m，证明： 2a+b 第 7 页（共 23 页） 2018 年四川省内江市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个 选项中，只有一

10、个是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A=x| x21 ，B=x| 2x1，则 AB=（） A （0，1） B （1，+）C （1，+）D （， 1）（0，+） 【解答】 解：集合 A=x| x21 =x| 1x1 ， B=x| 2 x1= x| x0 ， 则 AB= x| x1 =（1，+） ， 故选 B 2 （5 分）设 i 为虚数单位， aR，若是纯虚数，则 a=（） A2 B2 C 1 D1 【解答】 解：=是纯虚数， ，解得 a=1 故选： C 3 （5 分）下列各组向量中，可以作为基底的是（） A，B， C，D， 【解答】 解：对于 A，是两个共线向量，故不可作为基底 对于

11、B，是两个不共线向量，故可作为基底 对于 C，是两个共线向量，故不可作为基底 第 8 页（共 23 页） 对于 D，是两个共线向量，故不可作为基底 故选： B 4 （5 分）下列说法中正确的是（） A先把高三年级的2000 名学生编号： 1 到 2000，再从编号为1 到 50 的 50 名 学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m， 然后抽取编号为 m+50， m+100， m+150 的学生，这样的抽样方法是分层抽样法 B线性回归直线不一定过样本中心点 C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于 1 D设随机变量 X服从正态分布 N（10，0.01） ，则 【解答】 解：

12、在 A 中，先把高三年级的2000 名学生编号： 1 到 2000，再从编号 为 1 到 50 的 50 名学生中随机抽取1 名学生，其编号为m， 然后抽取编号为 m+50， m+100， m+150的学生，这样的抽样方法是系统抽样法， 故 A 错误； 在 B中，线性回归直线一定过样本中心点，故 B错误； 在 C中，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的绝对值越接近于1， 故 C错误； 在 D 中，设随机变量X 服从正态分布N（10，0.01） ，则由正态分布性质得 ，故 D 正确 故选： D 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的a 为 2，则输出的 a 值是（） 第 9

13、 页（共 23 页） A2 B1 C D1 【解答】 解：当 a=2，k=0时，执行循环 a=1，满足继续循环的条件， k=1； 执行循环 a= ，满足继续循环的条件，k=2； 执行循环 a=2，满足继续循环的条件， k=3； 执行循环 a=1，满足继续循环的条件，k=4； 执行循环 a= ，满足继续循环的条件，k=5； 执行循环 a=2，不满足继续循环的条件， 故输出的结果为 2， 故选： A 6 （5 分）若函数 f（x）=sin（2x+ ）在上单调递减，则 的值可能是 （） A2 BC D 【解答】 解：函数 f（x）=sin（2x+ ）在上单调递减， 第 10 页（共 23 页） 则，

14、可得，kZ = 故选： C 7 （5 分）已知 是锐角，若，则 cos2= （） ABC D 【 解 答 】 解 ： 已 知 是 锐 角 ， 若， cos（ ） =， 则 cos2=sin （2 ）=sin（2 ）=2sin（ ）cos（ ）=2 =， 故选： D 8 （5 分）设 an是等比数列，则下列结论中正确的是（） A若 a1=1，a5=4，则 a3=2 B若 a1+a30，则 a2+a40 C若 a2a1，则 a3a2 D若 a2a10，则 a1+a32a2 【解答】解：A由等比数列的性质可得：=a1?a5=4，由于奇数项的符号相同， 可得 a3=2，因此不正确 Ba1+a30，则

15、a2+a4=q（a1+a3） ，其正负由 q 确定，因此不正确； C若 a2a1，则 a1（q1）0，于是 a3a2=a1q（q1） ，其正负由 q 确定， 因此不正确； D若 a2a10，则 a1qa10，可得 a10，q1，1+q22q，则 a1（1+q2） 2a1q，即 a1+a32a2，因此正确 故选： D 9 （5 分）函数 f（x）=x 22|x| 的图象大致是（） 第 11 页（共 23 页） ABC D 【解答】 解：函数 f（x）=x 22|x| ， f（3）=98=10，故排除 C，D， f（0）=1，f（）=2=0.251，故排除 A， 故选： B 当 x0 时，f（x）

16、=x 22x， f （x）=2x2xln2， 故选： B 10 （ 5 分 ） 已 知 实 数 a， b 满 足， 则 当时 ， 的最大值是（） A5 B2 C D 【解答】解：当时， =asin2 +bcos2 =sin（ 2 +） ， 取 值 tan = ， 作出实数 a，b 满足的可行域如图： 由 可 行 域 可 知 | AO| 的 距 离 是 最大 值 ， 由， 解 得 A（3， 1） ， =， 第 12 页（共 23 页） 当时，2 0， ， =，时， tan = = ， 所以的最大值是： 故选： B 11 （5 分）当 x0 时，不等式恒成立，则 a 的取 值范围是（） A 0，1

17、）（ 1，+）B （0，+）C （， 0 （1，+） D （ ，1）（ 1，+） 【解答】 解：由题意令 f（x）=x2+（1a）xalnx2a+a2， 则 f （x）=x+（1a）x=， a0 时，f （x）0，f（x）在（ 0，+）递增， x0时，f（x），故不合题意， a=0时，f（x）=x 2+x0，符合题意， a0 时，令 f （x）0，解得： xa，令 f （x）0，解得： 0xa， 故 f（x）在（ 0，a）递减，在（ a，+）递增， 故 f（x）min=f（a）=a（a1lna） ， 令 h（a）=a1lna， （a0） ， 故 h （a）=1=， 第 13 页（共 23 页）

18、 令 h （a）0，解得： a1，令 h （a）0，解得： 0a1， 故 h（a）在（0，1）递减，在（ 1，+）递增， 故 h（a）h（1）=0， 故 a1lna0， 故 a0 时，只要 a1，则 h（a）0， 综上， a 0，1）（1，+） ， 故选： A 12 （5 分）设 nN*，函数 f1（x）=xe x，f 2（x）=f1 （x） ，f3（x）=f2 （x） ， ， fn+1（x）=fn（x） ， 曲线 y=fn（x） 的最低点为 Pn，PnPn+1Pn+2的面积为 Sn， 则（） A Sn 是常数列BSn 不是单调数列 C Sn 是递增数列 D Sn是递减数列 【解答】 解：根据

19、题意，函数f1（x）=xe x， 其导数 f1 （x）=（x）e x+x（ex）= （x+1）ex， 分析可得在（， 1）上， f1 （x）0，f1（x）为减函数， 在（ 1，+）上， f1 （x）0，f1（x）为增函数， 曲线 y=f1（x）的最低点 P1， （1，） ， 对于函数 f2（x）=f1 （x）=（x+1）ex， 其导数 f2 （x）=（x+1）e x+（x+1） （ex）= （x+2）ex， 分析可得在（， 2）上， f1 （x）0，f1（x）为减函数， 在（ 2，+）上， f1 （x）0，f1（x）为增函数， 曲线 y=f1（x）的最低点 P1， （2，） ， 分析可得曲线

20、y=fn（x）的最低点 Pn，其坐标为（ n，） ； 则 Pn+1（n1，） ，Pn+2（n2，） ； | PnPn+1| =， 第 14 页（共 23 页） 直线 PnPn+1的方程为，即为（ e1）x+en +1y+en=0， 故点 Pn+2到直线 PnPn+1的距离 d=， Sn=| PnPn+1| ?d=， 设 g（n）=，易知函数 g（n）为单调递减函数， 故Sn 是递减数列， 故选： D 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 （5 分） （1+x） （1x） 6 的展开式中， x3的系数是5 （用数字作答） 【解答】 解： （1x） 6 展开式的通项公式

21、为Tr+1=?（x） r， （1+x） （1x） 6 的展开式中， x3的系数是 ?（1） 3+ ?（ 1）2=20+15=5 故答案为： 5 14 （5 分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当 他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲 申请了；丙说：甲说对了如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了 北京大学的自主招生考试的同学是乙 【解答】 解：假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲， 则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意； 假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙， 则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；

22、假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙， 第 15 页（共 23 页） 则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意 故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙 故答案为：乙 15 （5分）设函数，则满足 f（x）+f（x1）2 的 x 的取 值范围是（， 2） 【解答】 解：当 x0 时，f（x）=f（x）= x（x1） =x（x+1） ， 若 x0，则 x11， 由 f（x）+f（x1）2 得x（x+1）（ x1）x2， 即2x 22，即 x21，此时恒成立，此时 x0 若 x1，则 x10， 由 f（x）+f（x1）2 得 x（x1）+（x1） （x2）2， 即 x22x0，即 0x2，此时

23、1x2， 若 0x1，则 x10， 则由 f（x）+f（x1）2 得 x（x1）（ x1）x2， 即 02，此时不等式恒成立，此时0x1， 综上 x2， 即不等式的解集为（，2） ， 故答案为：（， 2） 16 （5 分）已知菱形 ABCD的边长为 2，DAB=60 ，P 是线段 BD 上一点，则 的最小值是 【解答】 解：建立平面直角坐标系，如图所示， 菱形 ABCD的边长为 2，DAB=60 ， 可设 P（0，b） ，且1b1； A（，0） ，C （，0） ，D（0，1） ， =（，b） ，=（，b） ，=（0，1b） ， +=（，12b） ， 第 16 页（共 23 页） =3b（12b

24、）=3b+2b2=2， 当且仅当 b=时，取得最小值 故答案为： 三、解答题：本大题共5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 17 （12 分）设数列 an满足 a1+2a2+4a3+ +2n 1a n=n （）求数列 an 的通项公式； （）求数列 an+log2an的前 n 项和 【解答】 解： （）数列 an 满足 当 n2 时， （2 分） 当 n2 时，2n 1a n=1， 即 （4 分） 当 n=1时，an=1 满足上式 数列 an 的通项公式 （6 分） （）由（）知， （7 分） （ a1+log2a1） + （ a2+log2a2） + （ a3+l

25、og2a3） + + （ an+log2an） ， = （9分） = （12 分） 第 17 页（共 23 页） 18 （12 分）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC +csinB=0 （）求 C； （）若，点 D在边 AB上，CD=BD ，求 CD的长 【解答】 解： （） bcosC +csinB=0 由正弦定理知， sinBcosC +sinCsinB=0 ， 0B sinB0，于是 cosC +sinC=0，即 tanC=1， 0C ， （）由（）和余弦定理知， c=5， ， 在 BCD中，CD=BD ， 19 （12 分）某企业有甲、乙两套设备生产同一

26、种产品，为了检测两套设备的生 产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50 件产品作为样本， 检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在 100，120）内，则为合格品，否 则为不合格品 表 1 是甲套设备的样本的频数分布表，图 1 是乙套设备的样本的 频率分布直方图 表 1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标 95， 100） 100， 105， 110， 115， 120， 第 18 页（共 23 页） 值105）110）115）120）125 频数14192051 图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图 （）填写下面列联表， 并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的

27、这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关； 甲套设备乙套设备合计 合格品 不合格品 合计 （）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较； （）将频率视为概率若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3 件产品， 记抽到的不合格品的个数为X，求 X的期望 E（X） 附： P （K2k0） 0.150.100.0500.0250.010 k02.0722.7063.8415.0246.635 【解答】 解： （）根据表 1 和图 1 得到列联表： 甲套设备乙套设备合计 合格品484391 不合格品279 合计5050100 （3 分） 将列联表中的数据代入公式计算得 第 19 页（共 23

28、 页） ； （5 分） 3.0532.706， 有 90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关； （6 分） （）根据表 1 和图 1 可知，甲套设备生产的合格品的概率约为， 乙套设备生产的合格品的概率约为， 甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在 105，115）之间， 乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散； 因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定， 从而甲套设备优于乙套设备； （9 分） （）由题知，不合格品的概率为P=， 且 XB（3，） ， （11 分） X的数学期望为 （12 分） 20（12 分） 已知函数 f （x） =

29、asinx +bcosx （a， bR ） ， 曲线 y=f （x） 在点 处的切线方程为： （）求 a，b 的值； （）设 kR，求函数在上的最大值 【解答】 解： （）由切线方程知，当时，y=0， ， f（x）=acosx bsinx， 由切线方程知， ； （）由（）知， g（x）=kxsinx，g（x）=kcosx， 第 20 页（共 23 页） ?当 k0 时，当时，g（x）0，故 g（x）单调递减， g（x）在上的最大值为 g（0）=0； 当 0k1 时， g（0）=k10， 存在，使 g（x0）=0， 当 x 0，x0）时， g（x）0，故 g（x）单调递减， 当时，g（x）0，故

30、 g（x）单调递增 g（x）在上的最大值为 g（0）或， 又 g（0）=0， 当时，g（x）在上的最大值为 g（0）=0， 当时，g（x）在上的最大值为， ?当 k1 时，当时，g（x）0，故 g（x）单调递增， g（x）在上的最大值为 综上所述，当时，g（x）在上的最大值为 g（0）=0 当时，g（x）在上的最大值为 21 （12 分）已知函数 f（x）=e x2，其中 e2.71828 是自然对数的底数 （）证明：当 x0 时，f（x）x1lnx； （）设 m 为整数，函数 g（x）=f（x）lnxm 有两个零点，求 m 的最小值 【解答】 解： （）证明：设 h（x）=e xx1，则 h

31、（x）=ex1， 令 h（x）=0，得 x=0， 当 x（， 0）时， h（x）0，h（x）单调递减， 当 x（0，+）时， h（x）0，h（x）单调递增， h（x）h（0）=0，当且仅当 x=0时取等号， 对任意 xR ，exx+1 （2 分） 第 21 页（共 23 页） 当 x0 时，f（x）x1 当 x1 时，xln（x+1） 当 x0 时，f（x）x1lnx （4 分） （）函数 g（x）的定义域为（ 0，+） 当 m0 时，由（）知， g（x）=e xlnx2mm0，故 g（x）无零点 （6 分） 当 m=1 时，g（x）=e xlnx3， g（1）=e10，且 g（x）为（0，+

32、）上的增函数 g（x）有唯一的零点 当 x（0，x0）时， g（x）0，g（x）单调递减 当 x（x0，+）时， g（x）0，g（x）单调递增 g（x）的最小值为 （8 分） 由 x0为 g（x）的零点知，于是 g（x）的最小值 由知，即 g（x0）0 （10 分） 又 g（2）=e 2+ln230， g（x）在上有一个零点，在（ x0，2）上有一个零点 g（x）有两个零点 （11 分） 综上所述， m 的最小值为 1（12 分） 选修 4-4：极坐标与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参 数） ，曲线 C的参数方程为（为参数） 以坐标原点 O

33、为极点， 第 22 页（共 23 页） x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （）求直线 l 和曲线 C的极坐标方程； （）已知直线l 上一点 M 的极坐标为（ 2， ） ，其中射线 OM 与曲线 C交于不同于极点的点N，求| MN| 的值 【解答】 解： （）直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 直线的普通方程为， 极坐标方程为 曲线 C的普通方程为，极坐标方程为 （5分） （）点 M 在直线 l 上，且点 M 的极坐标为（ 2， ） ， ， 射线 OM 的极坐标方程为 联立， 解得 =3 | MN| =| NM| =1 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| 3x1|+| x2| 的最小值为 m （）求 m 的值； （）设实数 a，b 满足 2a2+b2=m，证明： 2a+b 【解答】 解： （） f（x）=| 3x1|+| x2| =， 第 23 页（共 23 页） f（x）在）上单调递增，在（）上单调递减 f（x）的最小值为 f（）= （5 分） （）由（）知， 2a 2+b2= ， 2aba2+b2， （2a+b） 2=4a2+b2+4ab4（a2+b2）+2（a2+b2）=3（2a2+b2）=5，当 a=b 时取 等 2a+b （10 分）