2018年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷(理科).pdf

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1、第 1 页（共 16 页） 2018 年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符号题目要求的 1 （5 分）已知 i 是虚数单位，若复数z 满足，则=（） A4 B5 C 6 D8 2 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“ 三百七十八里 关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请 公仔仔细算相还 ” 其大意为： “ 有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二 天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地 ” 则该人第五 天走的

2、路程为（） A6 里 B 12 里C24里D48 里 3 （5 分）关于 x 的不等式 x 2（a+1）x+a0 的解集中，恰有 3 个整数，则 a 的取值范围是（） A （4，5） B （3，2）（ 4，5） C （4，5D 3，2）（ 4，5 4 （5 分）已知等差数列 an 中，a5+a7=sinxdx，则 a4+a6+a8=（） A3 B4 C 5 D6 5 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是 腰长为 l 的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为 （） ABC 1 D2 6 （5 分）m，n，l 为不重合的直线， ， ，为不重合

3、的平面，则下列说法正 确的是（） 第 2 页（共 16 页） Aml，nl，则 mn B ， ，则 Cm ，n ，则 mn D ， ，则 7 （5 分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分， 回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话事实 证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（） A甲B乙C 丙D不确定 8 （5 分）已知正实数 x，y 满足 2x+y=1，则 xy 的最大值为（） ABC D 9 （5 分）函数 g（x）的图象是函数 f（x）=sin2xcos2x的图象向右平移个 单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可

4、以为（） A直线 x=B直线 x=C 直线 x=D直线 x= 10 （5 分）已知函数 f（x）是偶函数，当 x0 时，f（x）=（2x1）lnx，则曲 线 y=f（x）在点（ 1，f（1） ）处的切线斜率为（） A2 B1 C 1 D2 11 （5 分）已知 ， 是单位向量，若向量满足，则的 取值范围为（） A B CD 12 （5 分）设函数则满足 f（f（a） ）=2 f（a）的 a 的取值 范围是（） ABC0a1 Da1 二填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（5 分） 若实数 x， y 满足约束条件， 则 z=x2y 的最小值为 14 （5 分）已知向量满足

5、，且，则的夹角 第 3 页（共 16 页） 是 15 （5 分）已知 tan =2，则的值等于 16 （5分）已知数列 an 的前 n 项和 Sn，若 an+1+（1）nan=n，则 S40= 三、解答题：本大题共5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 .解答写在答题卡上的指定区域内. 17 （12 分）已知向量（xR） ，设函 数 f（x）=1 （1）求函数 f（x）的单调增区间； （2）已知锐角 ABC的三个内角分别为A，B，C，若 f（A）=2，B=，边 AB=3， 求边 BC 18 （12 分）已知等差数列 an的公差 d0，它的前 n 项和为 Sn，若 S5=

6、70，且 a2，a7，a22成等比数列 （1）求数列 an 的通项公式； （2）设数列的前 n 项和为 Tn，求证： Tn 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PC 平面 ABCD ，ABDC ，DC AC （1）求证： DC 平面 PAC ； （2）求证：平面 PAB 平面 PAC ； （3）设点 E为 AB的中点，在棱 PB上是否存在点 F，使得 PA 平面 CEF ？说明 理由 20 （12 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn已知 a1=2，Sn+1=4an+2 （1）设 bn=an+12an，证明数列 bn 是等比数列； （2）求数列 an 的通项公式 第 4 页（共

7、16 页） 21 （12 分）已知 f（x）=ln（a+x）x （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）当 x0 时，恒成立，求 a的取值范围； （3）求证：当时， 请考生在第 22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作 答时请写清题号 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（10 分） 在直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程为（为参数） ， 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆 C的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程为= 0，其中 0满足 tan0=，l 与 C交于 A，B 两 点，求 | AB| 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已

8、知函数 f（x）=| x2| | x+3| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若不等式 f（x）a26a 解集非空，求实数a 的取值范围 第 5 页（共 16 页） 2018 年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符号题目要求的 1 （5 分）已知 i 是虚数单位，若复数z 满足，则=（） A4 B5 C 6 D8 【解答】 解：由，得， 则， 故选： B 2 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“ 三百七十八里 关，初步健步不为难，次日脚痛减

9、一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请 公仔仔细算相还 ” 其大意为： “ 有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二 天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地 ” 则该人第五 天走的路程为（） A6 里 B 12 里C24里D48 里 【解答】 解：记每天走的路程里数为 an ， 由题意知 an 是公比的等比数列， 由 S6=378，得=378， 解得： a1=192， =12（里） 故选： B 3 （5 分）关于 x 的不等式 x2（a+1）x+a0 的解集中，恰有3 个整数，则 a 第 6 页（共 16 页） 的取值范围是（） A （4，5） B （3，2）（

10、4，5） C （4，5D 3，2）（ 4，5 【解答】 解：关于 x 的不等式 x2（a+1）x+a0， 不等式可能为（ x1） （xa）0， 当 a1 时得 1xa，此时解集中的整数为2，3，4， 则 4a5， 当 a1 时，得 ax1， 则3a2， 故 a 的取值范围是 3，2）（ 4，5 故选： D 4 （5 分）已知等差数列 an 中，a5+a7=sinxdx，则 a4+a6+a8=（） A3 B4 C 5 D6 【解答】 解：等差数列 an 中，a5+a7=sinxdx=（cosx）|=（ 11） =2， 可得 a4+a8=2a6=a5+a7=2， 则 a4+a6+a8=3， 故选：

11、 A 5 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是 腰长为 l 的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为 （） ABC 1 D2 第 7 页（共 16 页） 【解答】 解：由三视图可知几何体为四棱锥PABCD ， 其中底面 ABCD为正方形， PA 平面 ABCD ， 且 PA=AB=1 ， 几何体的最长棱为PC= 故选： B 6 （5 分）m，n，l 为不重合的直线， ， ，为不重合的平面，则下列说法正 确的是（） Aml，nl，则 mn B ， ，则 Cm ，n ，则 mn D ， ，则 【解答】解：由 ml，nl，在同一个平面可得mn，

12、在空间不成立，故错误； 若 ， ，则 与 可能平行与可能相交，故错误； m ，n ，则 m、n 可能平行、相交或异面，故错误； ， ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得 ，正确 故选： D 7 （5 分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分， 回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话事实 证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（） A甲B乙C 丙D不确定 【解答】解：如果甲说的是真话，则乙丙都是真话，与在这三名同学中，只有一 人说的是假话，相矛盾， 第 8 页（共 16 页） 如果甲说的是假话，乙丙说的是真话，那乙就是满分，

13、 故选： B 8 （5 分）已知正实数 x，y 满足 2x+y=1，则 xy 的最大值为（） ABC D 【解答】 解：正实数 x，y满足 2x+y=1， 则 1，化为： xy，当且仅当 2x=y= 时取等号 xy的最大值为 故选： A 9 （5 分）函数 g（x）的图象是函数 f（x）=sin2xcos2x的图象向右平移个 单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（） A直线 x=B直线 x=C 直线 x=D直线 x= 【解答】 解： f（x）=sin2xcos2x=2sin （2x） ， 向右平移个单位而得到 g（x）=2sin 2（x） =2cos2x ， 令 2x=k ，kZ，

14、可解得 x=，kZ，k=1时，可得 x=， 故选： C 10 （5 分）已知函数 f（x）是偶函数，当 x0 时，f（x）=（2x1）lnx，则曲 线 y=f（x）在点（ 1，f（1） ）处的切线斜率为（） A2 B1 C 1 D2 【解答】 解：当 x0 时，f（x）=（2x1）lnx，f （x）=2lnx+2， f （1）=1 函数 f（x）是偶函数， f （1）=1， 曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1） ）处的切线斜率为 1， 第 9 页（共 16 页） 故选： B 11 （5 分）已知 ， 是单位向量，若向量满足，则的 取值范围为（） A B CD 【解答】 解：令， 如图所示：则

15、， 又，所以点 C在以点 D 为圆心、半径为 1 的圆上， 易知点 C与 O、D 共线时达到最值，最大值为+1，最小值为1， 所以的取值范围为 1，+1 故选 A 12 （5 分）设函数则满足 f（f（a） ）=2 f（a）的 a 的取值 范围是（） ABC0a1 Da1 【解答】 解：函数， 若 f（f（a） ）=2 f（a） ， 则 f（a）1， 当 a1 时，由 3a11 得：a1， 当 a1 时，2a1 恒成立， 第 10 页（共 16 页） 综上可得：， 故选： A 二填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 z=x2y

16、 的最小值为 4 【解答】 解：作表示的平面区域如下， z=x2y 可化为 y=， 故当过点（ 0，2）时，有最大值， z=x2y 有最小值 4； 故答案为： 4 14 （5分）已知向量满足，且，则的夹角是 【解答】 解：向量满足，且， 可得=6， 4=6， 第 11 页（共 16 页） 可得 cos= 则的夹角是： 故答案为： 15 （5 分）已知 tan =2，则的值等于 【解答】 解：=cos（2 + ）=sin（2）=cos2 而 cos2=且 tan=2 则原式 =2cos2= 故答案为： 16 （5分）已知数列 an 的前 n 项和 Sn，若 an+1+（1） na n=n，则 S

17、40=420 【解答】 解：由 an+1+（1）nan=n， 当 n=2k时，有 a2k+1+a2k=2k， 当 n=2k1 时，有 a2ka2k1=2k1， 当 n=2k+1 时，有 a2k+2a2k+1=2k+1， 得： a2k+1+a2k1=1， +得： a2k+2+a2k=4k+1， a2k1+a2k+a2k+1+a2k+2=4k+2 S40=4（1+3+ +19）+20=+20=420 故答案为： 420 三、解答题：本大题共5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 .解答写在答题卡上的指定区域内. 17 （12 分）已知向量（xR） ，设函 数 f（x）=1

18、（1）求函数 f（x）的单调增区间； 第 12 页（共 16 页） （2）已知锐角 ABC的三个内角分别为A，B，C，若 f（A）=2，B=，边 AB=3， 求边 BC 【解答】 解：由已知得到函数f（x）=1=2cos 2x+2 sinxcosx 1 =cos2x +sin2x =2cos（2x） ； 所以（ 1）函数 f（x）的单调增区间是（ 2x） 2k ，2k ，即 x k ，k + ，kZ； （2）已知锐角 ABC的三个内角分别为 A，B，C，f（A）=2，则 2cos （2A） =2，所以 A=，又 B=，边 AB=3， 所以由正弦定理得，即，解得 BC= 18 （12 分）已知等

19、差数列 an的公差 d0，它的前 n 项和为 Sn，若 S5=70，且 a2，a7，a22成等比数列 （1）求数列 an 的通项公式； （2）设数列的前 n 项和为 Tn，求证： Tn 【解答】 解： （1）由题意得 解得， an=4n+2； （2）， ， 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PC 平面 ABCD ，ABDC ，DC AC 第 13 页（共 16 页） （1）求证： DC 平面 PAC ； （2）求证：平面 PAB 平面 PAC ； （3）设点 E为 AB的中点，在棱 PB上是否存在点 F，使得 PA 平面 CEF ？说明 理由 【解答】 （1）证明： PC 平面 A

20、BCD ，DC? 平面 ABCD ， PC DC， DC AC，PC AC=C ， DC 平面 PAC ； （2）证明： ABDC ，DC AC， ABAC ， PC 平面 ABCD ，AB? 平面 ABCD ， PC AB， PC AC=C ， AB平面 PAC ， AB? 平面 PAB ， 平面 PAB 平面 PAC ； （3）解：在棱 PB上存在中点 F，使得 PA 平面 CEF 点 E为 AB的中点， EF PA ， PA ?平面 CEF ，EF ? 平面 CEF ， PA 平面 CEF 20 （12 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn已知 a1=2，Sn+1=4an+2 （1）

21、设 bn=an+12an，证明数列 bn 是等比数列； （2）求数列 an 的通项公式 第 14 页（共 16 页） 【解答】 （1）证明：由已知得a1+a2=4a1+2，解得 a2=8，b1=a22a1=4 又有 an+2=S n+2Sn+1=4an+1+2（4an+2）=4an+14an， 所以 an+22an+1=2（an+12an） ，即 bn+1=2bn， 因此数列 bn 是首项为 4，公比为 2 的等比数列 （2）解：由（ 1）得等比数列 bn 中 b1=4，q=2， 所以， 因此数列是首项为1，公差为 1 的等差数列， 21 （12 分）已知 f（x）=ln（a+x）x （1）求

22、函数 f（x）的单调区间； （2）当 x0 时，恒成立，求 a的取值范围； （3）求证：当时， 【解答】 解： （1）f （x）=1=， 令 f （x）=0，解得： x=1a， x（ a，1a）时， f （x）0，x（1a，+）时， f （x）0， f（x）在（ a，1a）递增，在（ 1a，+）递减； （2）令 g（x）=f（x）+=ln（x+a）+x=ln（x+a）0， 故 x+a，即 ax 恒成立， 令 t=（0，1） ，则 aet+恒成立， 令 （t）=e t+ ，则 （t）=， 下面证明 （t）0， e tt+1，且 t（0，1）时， （t1）2（ t+1）=t2t0， e tt+1（

23、t1）20， （t）=e t 0， （t）递减， a （0）=1，即 a 的范围是 1，+） ； 第 15 页（共 16 页） （3）由（ 2）可知： a=1，x0 时，ln（x+1）， 当 x（0，）时，令 m（x）=xsinx，则 m （x）=1cosx0， m（x）递增， m（x）0，即 xsinx0， 又 n（x）=在（0，+）递增， 故， 故 请考生在第 22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作 答时请写清题号 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（10 分） 在直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程为（为参数） ， 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极

24、坐标系 （1）求圆 C的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程为=0，其中 0满足 tan0=，l 与 C交于 A，B 两 点，求 | AB| 的值 【解答】解： （1）圆 C的参数方程为（为参数） ，普通方程为 x2+ （y+6）2=25， 极坐标方程为 2+12sin +11=0； （2）设 A，B所对应的极径分别为 1，2，则 1+2=12sin 0，12=11 tan 0= ，sin 2 0= ，| AB| =| 12| = =6 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| x2| | x+3| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若不等式 f（x）a26a 解集非空，求实数a 的取值范围 【解答】 解： （1）由已知得 | x2| | x+3| 3， 当 x3 时 2x+x+33 解集为空集； 第 16 页（共 16 页） 当3x2 时 2x（x+3）3 解得 2x2； 当 x2 时 x2（x+3）3 解得 x2； 故所求不等式的解集为 2，+） （2）因为 | f（x）| =| x2| | x+3| | x2x3| =5， 所以 5f（x）5，即 f（x）的最小值为 5， 要不等式 f（x）a 26a 解集非空，需 f（x） mina 26a， 从而 a26a+50，解得 a1 或 a5， 所以 a 的取值范围为（， 1）（ 5，+）