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1、1 专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数 第四讲导数及其应用 2导数的几何意义 函数 yf(x)在 x0处的导数 f(x0)的几何意义是：曲线 yf(x)在点 (x0，f(x0)处的切线的 斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间 t 的导 数) 2 2.导数的四则运算法则 (1)u(x) v(x) u(x) v(x)； (2)u(x)v(x) u(x)v(x)u(x)v(x)； (3) u（x） v（x） u（x） v（x）u（x） v （x） v 2（x）(v(x)0) 3复合函数求导 复合函数 yf(g(x)的导数和 yf(u)， ug(x)的导数之间的关系 3 为 yxyuux 1函数
2、的单调性与导数的关系 一般地，在某个区间 (a，b)内： (1)如果 f(x)0? 函数 f(x)在这个区间内单调递增； (2)如果 f(x)0? 函数 f(x)在这个区间内单调递减； (3)如果 f(x)0? 函数 f(x)在这个区间内是常数函数 2函数的极值与导数的关系 一般地，对于函数yf(x)： (1)若在点 xa 处有 f(a)0，且在点 xa 附近的左侧 f(x)0， 右侧 f(x)0， 则称 xa 为 f(x)的极小值点，f(a)叫函数 f(x)的极小值 (2)若在点 xb 处有 f(b)0，且在点 xb附近的左侧 f(x)0， 右侧 f(x)0， 则称 xb为 f(x)的极大值
3、点，f(b)叫函数 f(x)的极大值 3求函数 yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数 yf(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其 中最大的一个是 最大值 ，最小的一个是 最小值 4 5 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0)与(f(x0) 表示的意义相同 () (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点() (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线() (4)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.() (5)函数的极大值不一定比极小值大() (6)对
4、可导函数 f(x)， f(x0)0 是 x0点为极值点的充要条件 () 2 (2015 新课标 卷)设函数 f(x)e x(2x1)axa， 其中 a1， 6 若存在唯一的整数x0使得 f(x0)0，则 a 的取值范围是 (D) A. 3 2e ，1B. 3 2e， 3 4 C. 3 2e， 3 4 D. 3 2e，1 解析： f(0)1a0， x00. 又 x00 是唯一的使 f(x)0 时，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取 值范围是 (A) A(， 1)(0，1) B(1，0)(1，) C(， 1)(1，0) D(0，1)(1， ) 解析： 记函数 g(x)f（x） x ，则 g(x
5、)xf（x）f（x） x 2，因 为当 x0 时，xf(x)f(x)0，故当 x0 时，g(x)0，所以 g(x) 在(0，)单调递减，由因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x) 是偶函数，所以 g(x)在(，0)单调递减，且 g(1)g(1)0，当 0 x1 时，g(x)0，则 f(x)0；当 x1 时，g(x)0，则 f(x)0， 综上所述，使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是 (，1)(0，1)， 故选 A. 答案： A 7函数 yf(x)在定义域 3 2，3 内可导，其图象如图所示， 10 记 yf(x)的导函数为 yf(x)，则不等式 f(x)0 的解集为 (A) A.
6、 1 3，1 2，3) B. 1， 1 2 4 3， 8 3 C. 3 2， 1 2 1，2 D. 3 2， 1 3 1 2， 4 3 二、填空题 9 (2015 陕西卷 )函数 yxex在其极值点处的切线方程为y 1 e 解析：由题知 y e xxex，令 y 0，解得 x1，代入函数解 析式可得极值点的坐标为1， 1 e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y 1 e. 三、解答题 10已知函数 f(x)2x 3ax 与 g(x)bx2c的图象都过点 P(2， 0)，且在点 P 处有相同的切线 (1)求实数 a，b，c 的值； (2)设函数 F(x)f(x)g(x)， 求 F(
7、x)的单调区间，并指出函数 F(x) 在该区间上的单调性 解析： (1)因为函数 f(x)2x3ax 与 g(x)bx 2c 的图象都过点 P(2，0)， 11 所以 22 32a0， 4bc0. 得 a8，4bc0. 故 f(x)2x38x，f(x)6x28. 又当 x2 时，f(x)16，又 g(x)2bx， 所以 2b216，得 b4，c16. 所以 a8，b4，c16. (2)因为 F(x)2x 34x28x16， 所以 F(x)6x28x8. 由 F(x)0，得 x2 或 x2 3； 由 F(x)0，得2x 2 3. 所以，当 x(，2)时，F(x)是增函数； 当 x 2 3， 时，
8、F(x)也是增函数； 当 x 2， 2 3 时，F(x)是减函数 11(2015 新课标 卷)设函数 f(x)e mxx2mx. (1)证明： f(x)在(， 0)单调递减，在 (0， )单调递增； (2)若对于任意 x1，x21，1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求 m 的取值范围 解析： (1)证明： f(x)m(e mx1)2x. 若 m0，则当 x(，0)时，e mx10，f(x)0. 若 m0，f(x)0. 所以， f(x)在(，0)上单调递减，在 (0，)上单调递增 12 (2)由(1)知，对任意的m，f(x)在1，0上单调递减，在 0，1 上单调递增，故 f(x)在 x0 处取得最小值 所以对于任意 x1， x2 1，1，|f(x1)f(x2)|e1 的充要条件是 f（1）f（0）e1， f（1）f（0）e1， 即 e mme1， e mme1. 设函数 g(t)e tte1，则 g( t)e t1. 当 t0 时，g(t)0. 故 g(t)在(，0)上单调递减，在 (0， )上单调递增 又 g(1)0，g(1)e 12e1时，由 g(t)的单调性， g(m)0，即 e mme1； 当 m0，即 e mme1. 综上， m 的取值范围是 1，1