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1、高中数学学习材料 鼎尚图文 *整理制作 数学北师必修1 第三章指数函数和对数函数单元检测 (时间： 120 分钟，满分： 150 分) 一、选择题 (本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1给定函数 1 2 yx， 1 2 log (1)yx，y |x1|，y2 x1，其中在区间 (0,1) 上单调递减的函数序号是() ABCD 2若 0xy1，则 () A 3 y 3x B logx3logy3 Clog4xlog4yD 11 44 xy 3下列各组函数，在同一直角坐标中，f(x)与 g(x)有相同图像的一组是() A f(x)
2、 1 2 2 ()x，g(x) 1 2 2 ()x Bf(x) 2 9 3 x x ，g(x)x 3 Cf(x) 1 2 2 ()x，g(x)2log2x D f(x)x，g(x)lg 10 x 4若 xlog231，则 3 x9x 的值为 () A 3B 5 2 C6D 1 2 5若 a0，则函数y (1 a) x1 的图像必过点 () A (0,1) B(0,0) C (0， 1) D(1， 1) 6f(x)lg(10 x1)ax 是偶函数， g(x)4 2 x x b 是奇函数，那么ab 的值为 () A 1 B 1 C 1 2 D 1 2 7若函数f(x)loga(xb)(其中 a，b
3、 为常数 )的图像如下图所示，则函数g(x)a xb 的大致图像是() 8 已知函数f(x) 11 ,2, 42 ,2 x axx ax 在 R 上为减函数，则 a 的取值范围为 () A (0,1) B 1 0, 4 C 1 , 4 D 1 ,1 4 9 设函数 f(x)logax(a0 且 a1)， 若 f(x1x2 x2 010)8， 则 f(x1 2) f(x 2 2 ) f(x2010 2 ) 的值等于 () A 4 B8 C16 D2loga8 10如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个 点为“好点”，在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2
4、,1)，Q(2,2)，G 1 2, 2 中，“好点” 的个数为 () A 0 B1 C2 D3 二、填空题 (本大题共5小题，每小题5 分，共 25 分把答案填在题中的横线上) 11已知函数f(x) 2 log,0, 2 ,0, x x x x 若 f(a) 1 2 ，则 a_. 12若函数 f(x)logax 在区间 2， )上恒有 f(x)1， 则 a 的取值的集合为_ 13 在同一平面直角坐标系中，函数 yg(x)的图像与ye x 的图像关于直线yx 对称， 而函数 y f(x)的图像与yg(x)的图像关于y 轴对称， 若 f(m) 1， 则 m 的值为 _ 14已知函数f(x) 1 2
5、1 x a ，若 f(x)为奇函数，则a_. 15已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)在区间 0， )上是单调增函数，则不等式 f(2)f(log2x)的解集为 _ 三、解答题 (本大题共6 小题，共75 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 16(本小题满分12 分)已知函数f(x)2 x 的定义域是 0,3，设 g(x)f(2x)f(x2) (1)求 g(x)的解析式及定义域； (2)求函数 g(x)的最大值和最小值 17(本小题满分12 分)计算下列各式的值： (1) 2 1 3 10 2 3 3(0.002)10(52)( 23) 8 ； (2) 2 1 log 3 2.5
6、 1 log6.25lglne2 100 . 18(本小题满分12 分)已知定义域为R 的函数 f(x) 1 2 22 x x b 是奇函数 (1)求 b 的值； (2)判断函数f(x)的单调性； (3)若对任意的tR，不等式f(t 2 2t)f(2t2k)0 恒立，求 k 的取值范围 19(本小题满分12 分)已知函数f(x) 2 1 2 log (23)xax， (1)若函数 f(x)的值域为 (， 1，求实数a的值； (2)若函数 f(x)在(， 1内为增函数，求实数a 的取值范围 20(本小题满分13 分)已知函数f(x)log2(2 x1) (1)求证：函数f(x)在(， )内单调递
7、增； (2)若关于 x 的方程 log2(2 x1) mf(x)在1,2上有解，求 m 的取值范围 21(本小题满分14 分)有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V 立方米， 每天流入湖的 水量等于流出湖的水量现假设降雨量和蒸发量平衡，且污染物和湖水均匀混合 用( )(0)e t V PP g tg rr (P0)， 表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数 (我们称其为湖水污染质量分数)，g(0)表示湖水污染初始质量分数 (1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数； (2)分析 g(0) P r 时，湖水的污染程度如何 参考答案 1B点拨： 1 2 log (1)yx和 y|x1
8、|在区间 (0,1)上单调递减， 1 2 yx和 y2 x1 在区间 (0,1)上单调递增 2C点拨： y3 x 在 R 上是增函数，且0xy1， 3x3y，故 A 错误 ylog3x 在(0， )上是增函数，且 0xy1， log3xlog3ylog310. 33 11 0 loglogxy ，即 logx3logy3，故 B 错误 ylog4x 在(0， )上是增函数，且 0xy1， log4xlog4y，故 C 正确 1 4 x y 在 R 上是减函数，且0xy 1， 11 44 xy ，故 D 错误 3D点拨： 选项 A 中， f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为 0， )；选项
9、B 中， f(x)的定义域为 (， 3) (3， )，g(x)的定义域为R；选项 C 中，f(x) 1 2 2 ()xx， x0， )，g(x)2log2x，x (0， )，定义域和对应关系都不同；选项D 中， g(x) lg 10 xxlg 10x，故选 D. 4C点拨： x log231， x 2 1 log 3 log32. 3x9x3x(3 x)233 2 log 2log 2 3322 26. 5B点拨：根据指数函数ya x 恒过定点 (0,1)知，函数 y(1a) x1 恒过定点 (0,0) 6 D点拨：f(x)lg(10 x1)ax 是偶函数，则 lg(10x1) axlg(10
10、x1)ax 2ax lg(10 x1)lg(10x1)1 10 lg 10 x x lg(10 x 1)，2ax 1 lg 10 x x(2a1)x 0， 1 2 a.g(x) 4 2 x x b 是奇函数，故g(0) 0 0 4 2 b 0b1.于是 ab 1 2 . 7D点拨： 由题意知 01, 0(0)log1, a fab 01, 1, a ab 则选 D. 8B点拨： 由 01, 1 1, a a， ，即 1 log 2log. aa a a ， .1a2. 13 1 e 点拨： 由题意知 yg(x)应为 ye x 的反函数，即yg(x)ln x，而 yf(x) 与 yg(x)ln
11、x 的图像关于y 轴对称，故可得yf(x)ln( x)，又 f(m) 1，所以 ln( m) 1，得 me 1，即1 e m. 141 2 点拨：函数 f(x)的定义域为R， 若 f(x)为奇函数， 则 f(0) 0， 即 0 1 0 21 a ， 1 2 a. 15 1 0, 4 (4， )点拨： 因为函数f(x)在区间 0， )上是单调增函数，且 f(2) f(log2x)，所以 2log2x，解得x4；因为函数f(x)为偶函数，所以log2x 2，解得0 x 1 4 ，所以不等式f(2)f(log2x)的解集为 1 0, 4 (4， ) 16解： (1)f(x)2 x， g(x) f(2
12、x)f(x2)22x2x2. f(x)的定义域是 0,3， 023 023, x x ， 解得 0x1. g(x)的定义域是 0,1 (2)g(x)(2 x)242x (2 x2)2 4. x0,1 ， 2x1,2 当 2x1，即 x0 时， g(x)取得最大值3； 当 2x2，即 x1 时， g(x)取得最小值4. 17解： (1)原式 21 32 3110 31 850052 2 1 3 2 27 50010( 52)1 8 2 3 3 3 50010 520 1 2 4167 10 510 5201 99 . (2)原式 log2.52.5 2lg 102 2 1 log 3 2 ln
13、e +2 2 113 2223 22 . 18解： (1)f(x)在定义域R 上是奇函数，f(0)0，即 1 =0 22 b ， b 1. (2)由(1)知 f(x) 1 1211 12221 x xx ， 设 x1x2，则 f(x1) f(x2) 21 1212 1122 2121(21)(21) xx xxxx . 函数 y2x在 R 上是增函数且x1x2， 21 220 xx . 又 12 (21)(21)0 xx ， f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， f(x)在(， )上为减函数 (3)因 f(x)是奇函数，从而不等式f(t 22t) f(2t2k)0， 等价于 f(
14、t22t) f(2t2 k) f(k2t2)， 因 f(x)为减函数，由上式推得t22tk2t2. 即对一切 tR 有 3t22tk 0， 从而判别式 412k0k 1 3 . 19解： (1)设 g(x)x 22ax3(x a)23a2. f(x)的值域为 (， 1， 1 2 log( )1g x，即 11 22 log( )log2g x， g(x)2. 由 3a22，得 a1 或 a 1. (2)要使 f(x)在(， 1内是增函数，需g(x)在 (， 1上为减函数且g(x)0 对于 x (， 1恒成立， 1 10, a g ， ，即 1 1 230. a a ， . 1a2. 故实数 a
15、 的取值范围是 1,2) 20(1)证明： 任取 x1x2，则 f(x1)f(x2) 11 22 log (21)log (21) xx 1 2 2 21 log 21 x x ， x1x2， 12 02 +12+1 xx . 1 2 21 01 21 x x ， 1 2 2 21 log0 21 x x . f(x1)f(x2)，即函数 f(x)在(， )内单调递增 (2)mlog2(2 x1)log 2(2 x1) 22 212 loglog1 2121 x xx ， 当 1x2 时， 222 5213 x ， 123 1 3215 x . m 的取值范围是 22 13 log,log 35 . 21解：(1)当湖水污染质量分数g(t)为常数时， g(t)的值与 t 无关，故有g(0) P r 0， g(0) P r ，即湖水污染初始质量分数为 P r . (2)当 g(0) P r 时， g(0) P r 0. 又e t V 随 t 的增大逐渐增大，g(t)为减函数故湖水的污染程度越来越轻