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1、课时作业48双曲线一、选择题1(2019年福建省宁德市高三阶段性测试)双曲线y21的一个焦点坐标是()A(，0) B(2，0)C(，0) D(1，0)答案：A2(2019年云南省曲靖市第一中学质量监测)有一类双曲线E和椭圆C：x22y21有相同的焦点，在其中有一双曲线E1且过点P，则在E中任取一条双曲线其离心率不大于E1的概率为()A. B.C. D.解析：由椭圆方程，易知双曲线E1中，c1，b21a2，又1，解得a，双曲线E1的离心率为e12，由题意，双曲线E的离心率为e，则12，即a1，又0a0，b0)与直线yx有交点，则其离心率的取值范围是()A(1，2) B(1，2C(2，) D2，)
2、解析：双曲线的焦点在x轴，一条渐近线方程为yx，只需这条渐近线比直线yx的斜率大，即，e 2，选C.答案：C5(2019年辽宁省朝阳市高三模拟)设中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线的焦距为12 ，圆(x6)2y220 与该双曲线的渐近线相切，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离是9，则点P到F2的距离是()A17或1 B13或5C13 D17解析：圆(x6)2y220恰为双曲线右焦点，因为双曲线右焦点到渐近线距离为b，所以br2，因此a4，|PF2|PF1|2a，|PF2|17或1，又因为|PF2|ca2，|PF2|17.选D.答案：D6(2019年陕西省黄陵中学高新部高二下学期开学考试)设
3、点P为双曲线1(a0，b0)上一点， F1，F2分别是左右焦点， I是PF1F2的内心，若IPF1，IPF2，IF1F2的面积S1，S2，S3满足2(S1S2)S3，则双曲线的离心率为()A2 B.C4 D.解析：如图1，设圆I与PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E，F，G，连接IE、IF、IG，图1则IEF1F2，IFPF1，IGPF2，它们分别是IF1F2，IPF1，IPF2的高，S1|PF1|IF|PF1|r，S2|PF2|IG|PF2|r，S3|F1F2|IE|F1F2|r，其中r是IF1F2的内切圆的半径2(S1S2)S3，|PF1|r|PF2|r|F1F2|r，两
4、边约去r得：|PF1|PF2|F1F2|，根据双曲线定义，得|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，2ac离心率为e2.故选A.答案：A7(2019年四川省外国语学校高二下学期入学考试)已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，3 B(1，C，3 D3，)解析：|PF2|4a8a.当且仅当|PF2|2a时取得最小值，此时|PF1|4a.易知|PF2|ca，即2aca，解得e3.又因为双曲线离心率e1.故选A.答案：A8(2019年四川省外国语学校高二下学期入学考试)已知双曲线x2y21的左、右顶点分别为A1
5、、A2，动直线l：ykxm与圆x2y21相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2x1的最小值为()A2 B2C4 D3解析：l与圆相切， 1， m21k2.由得(1k2)x22mkx(m21)0，1k20，4m2k24(1k2)(m21)4(m21k2)80，x1x20，k21，1k1，故k的取值范围为(1，1)由于x1x2，x2x1，0k2|PF2|，则|PF1|PF2|2，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|，|PF2|，而|F1F2|4，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1PF2，所以SPF1F2|PF1|PF2|1.答案：C
6、10(2019年陕西省咸阳市高三模拟考试)已知双曲线C的方程为1，则下列说法正确的是()A焦点在x轴上B虚轴长为4C渐近线方程为2x3y0D离心率为解析：利用双曲线的几何性质逐一判断得解对于选项A，由于双曲线的焦点在y轴上，所以选项A是错误的；对于选项B，虚轴长为236，所以选项B是错误的；对于选项C，由于双曲线的渐近线方程为yx，所以选项C是正确的；对于选项D，由于双曲线的离心率为，所以选项D是错误的故答案为C.答案：C11(2019年浙江省温州市十五校联合体高二下学期期中)设A、B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则
7、当取最小值时，双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：先根据点的关系确定mn，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率设P(x1，y1)，则 mn，因此 2 4， 当且仅当a2b时取等号，此时ca，e 选D.答案：D12已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为()A6 B3C. D.解析：设椭圆与双曲线的公共焦点在x轴上，可得点P在双曲线的右支上令椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a，半焦距为c，则2a2a4c，4246，当且仅当c
8、2a时等号成立选A.答案：A二、填空题13(2019年河北省阜城中学高二上学期期末)椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a_.解析：椭圆1与双曲线1有相同的焦点，所以：解得a3.故答案为：3.答案：314(2019年四川省外国语学校高二下学期入学考试)过双曲线x2y24的右焦点F作倾斜角为105的直线，交双曲线于P，Q两点，则|FP|FQ|的值为_解析：F(2，0)，ktan105tan(6045)(2)l：y(2)(x2)代入x2y24得： (64)x24(74)x60320.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2，x1x2.又|FP|x12|，|FQ|x22|，|FP|FQ|(1k2)
9、|x1x22(x1x2)8|(84).答案：15(2019年湖南师范大学附属中学高三月考)已知P是双曲线1右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M，N满足(0)，0，若|3.则以O为圆心，ON为半径的圆的面积为_解析：由，知PN是MPF2的角平分线，又0，故延长F2N交PM于K，则PN是PF2K的角平分线，所以PF2K是等腰三角形，|PK|PF2|3，因为|3，故|11，所以|14，注意到N还是F2K的中点，所以ON是F1F2K的中位线，|7，所以以O为圆心，ON为半径的圆的面积为49.答案：4916(2019年河南省豫南九校下学期高二第二次联考)已知F1，F2是双曲
10、线C：1(a0，b0)的两个焦点，P为双曲线C上一点，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b_解析：设F1，F2分别为左右焦点，点P在双曲线的右支上，则有|PF1|PF2|2a，(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，又PF1F2为直角三角形，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，4c22|PF1|PF2|4a2，又PF1F2的面积为9，|PF1|PF2|2918，4c22184a2，b2c2a29，b3.答案：3三、解答题17(2019年福建省莆田市第二十四中学高二上学期第二次月考)已知A(5，0)，B(5，0)，动点P满足|，|，8成等差数
11、列(1)求点P的轨迹方程；(2)对于x轴上的点M，若满足|2，则称点M为点P对应的“比例点”，问：对任意一个确定的点P，它总能对应几个“比例点”？解：(1)由已知得|8，P点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a4，b3，c5，P点的轨迹方程为1(x4)(2)设P(x0，y0)(x04)，M(m，0)1，y9.又(5x0，y0)，(5x0，y0)，则| x16又2|2(x0m)2(y0)2x2mx0m29，由|2得m22mx070，(*)4x28360，方程(*)恒有两个不等实根对任意一个确定的点P，它总能对应2个“比例点”18(2019学年四川省雅安中学高二上学期期中)F1、F2分别为等
12、轴双曲线C的左、右焦点，且F2到双曲线C的一条渐近线的距离为1，(1)求双曲线C的标准方程；(2)P是双曲线C上一点，若0，求PF1F2的面积解：(1)设等轴双曲线C：1，F2到双曲线C的一条渐近线的距离为b1a，双曲线C的标准方程为：x2y21.(2)P是双曲线C上一点，若0，即PF1PF2|PF1|PF2|2，且|PF1|2|PF2|2(2c)28.解得(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|42|PF1|PF2|8，解得|PF1|PF2|2SPF1F2|PF1|PF2|1.19(2019年江苏省扬州树人学校高三模拟)某市为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路MNP如图2所示，
13、已知A，B是东西方向主干道边两个景点，且它们距离城市中心O的距离均为8 km，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4 km，线段MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16 km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6 km，线段NP段上的任意一点到O的距离都相等以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.图2(1)求道路MNP的曲线方程；(2)现要在道路MNP上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置(即确定点Q的坐标)?解：(1)因为线路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16 km，所以线路MN段所在
14、曲线是以点A，B为左、右焦点的双曲线的右上支，则其方程为x2y264(8x10，0y6)因为线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，所以线路NP段所在曲线是以O为圆心、以ON长为半径的圆，由线路MN段所在曲线方程可求得N(8，0)，则其方程为x2y264(y0)，综上得线路示意图所在曲线的方程为：MN段：x2y264(8x10，0y6)，NP段：x2y264(8x8，y0)(2)当点Q在MN段上时，设Q(x0，y0)，又C(0，4)，则|CQ|，由(1)得xy64，即|CQ|，故当y02时，|CQ|min6 km.当点Q在NP段上时，设Q(x1，y1)，又C(0，4)，则|CQ|，由(1)得xy64，即|CQ|，故当y10时，|CQ|min4 km.因为64，所以当Q的坐标为(2，2)时，可使Q到景点C的距离最近