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1、重庆市育才中学高2014 级一轮复习案61 相似三角形第 121 页 61 相似三角形 一、学习内容：选修41 P411 二、课标要求： 复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理 三、基础知识 1平行线等分线段定理 如果一组在直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必第三边 推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_另一腰 2平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的_线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成_ 3相似三角形的判定 判定定理1
2、：两对应角 _，两三角形相似 判定定理2：两边对应 _且夹角 _，两三角形相似 判定定理3：三边对应，两三角形相似 4直角三角形相似的判定 定理 1：如果两个直角三角形有一个_角对应相等，那么它们相似 定理 2：如果两个直角三角形的两条_边对应 _，那么它们相似 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的_和一条 _对 应成比例，那么这两个直角三角形相似 5相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于比； (2)相似三角形周长的比等于比； (3)相似三角形面积的比等于相似比的_； (4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于比，外接圆的
3、面积比等于相似比的 6直角三角形的射影定理和逆定理 (1)定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例_；两直角边分别是它们在 斜边上 _与 _的比例中项 (2)逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的_，那么这个三 角形是直角三角形 7、等高原理： 四、典型例题分析 1.(2011广东文 )如图，在梯形ABCD 中， ABCD，AB4，CD2，E，F 分别为 AD，BC 上的 点，且 EF3，EFAB，则梯形ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 _ 解析由 CD2，AB4，EF3，得 EF 1 2(CDAB)， EF 是梯 形 ABCD 的中位线，则梯形ABFE
4、 与梯形 EFCD 有相同的高，设为h，于 是两梯形的面积比为 1 2(34)h: 1 2(23)h7:5. 2在 RtABC 中， C90 ，CDAB 于 D，已知 AC 4，AD2， 则 BD 的长是 _ 解析由直角三角形射影定理得AC 2AD AB， AB AC 2 AD 4 2 2 8， BDABAD 826. 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案61 相似三角形第 122 页 O A B C D 3(2012 苏北四市调研 )如图，在 ABC 中，D 是 AC 中点， E 是 BD 三等分点， AE 的延长线交 BC 于 F，求 SBEF S四边形DEFC 的值 【解析】 EF D
5、M， S BEF SBDM 1 9，即 S BDM9SBEF. D 是 AC 的中点， DMAF， FM MC， BM MC 3 2. SDMC SBDM 2 3，即 S DMC 2 3S BDM6SBEF， S四边形 DEFC14SBEF， SBEF S四边形DEFC 1 14. 过 D 点作 DMAF 交 BC 于点 M，则 BF BM BE BD 1 3. 4(2011 陕西理 15) 如图,BD AEBC 0 90 ,6,4,ACDABAC且12,ADBE则 【答案】42 【解析】： 0 90 ,12,4ACDADAC 22 CDADAC 22 1248 2 又Rt ABERt ADC
6、所以 ABBE ADDC ，即 68 2 42 12 ABDC BE AD 5. （2013 江苏）如图 , AB和BC分别与圆O相切于点D,C AC经过圆心O, 且2BCOC 求证 :2ACAD弦切角 +三角形相似 【答案】证明 : 连接 OD,AB与 BC分别与圆O相切于点D与 C 0 90ACBADO, 又AA ADORTACBRT AD AC OD BC 又 BC=2OC=2OD AC=2AD 五、基础练习 1.如图， D、E 分别是 ABC 的边 AB、AC 上的点， DEBC，且 AD DB 2，那么 ADE 与四边形 DBCE 的面积比是 () A. 2 3 B.2 5 C.4
7、5 D. 4 9 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案61 相似三角形第 123 页 答案C 解析 AD DB2， AD AB 2 3， 故 SADE SABC 4 9， SADE S四边形DBCE 4 5. 2.如图，在 ABC 中， AEEDDC，FEMDBC，FD 的延 长线交 BC 的延长线于点N，且 EF1，则 BN() A2 B3 C 4 D6 解析 FEMD BC， AEEDDC， EF BC AE AC 1 3， EF CN ED DC 1 1， EF CN， EF BN EF BCCN 1 4， BN4EF4. (或由 FDE NDC? EFCN) 3如图 AD 是 ABC
8、 的中线， E 是 CA 边的三等分点，BE 交 AD 于点 F，则 AFFD 为() A2 1 B31 C41 D51 【解析】要求 AFFD 的比，需要添加平行线寻找与之相等的比注 意到 D 是 BC 的中点，可过D 作 DGAC 交 BE 于 G，则 DG 1 2EC，又 AE2EC，故 AFFD AE DG2EC 1 2EC4 1. 【答案】C 4如图， BD、CE 是 ABC 的高求证：ADE ABC. 【证明】BD、CE 是 ABC 的高， AEC ADB90 . 又 A A， AEC ADB， AD AB AE AC，从而 AD AE AB AC. 又 A A， ADE ABC.
9、 5如图，已知在正方形ABCD 中， O 为 AB 的中点， E 为 AD 上一点，且AE 1 4AD，OKEC. 求证： OK 2KE KC. 【思路】根据欲证式子的结构特征及题设，若能证得COE90 ， 则结论可证 【证明】连接 OE、OC. 法一： AE 1 4AD，OAOB 1 2AD，BC ABAD， AE OB OA BC 1 2， 又 A B90 ， EAO OBC， AEO BOC. 又 AEO AOE90 ， AOE BOC90 ， EOC90 . 在 RtEOC 中， OKEC， OK 2KE KC(射影定理 ) 法二：设ABBC4a，由题意， AEa， OA OB2a， ED3a.OE 2a2(2a)25a2， OC 2OB2BC2(2a)2 (4a)220a2， EC 2ED2CD2(3a)2 (4a)225a2， OE 2OC2EC2， EOC 是直角三角形 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案61 相似三角形第 124 页 又 OKEC， OK 2KE KC.