《高中数学2.2.2《等差数列前n项和》例题解析新人教B版必修51.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学2.2.2《等差数列前n项和》例题解析新人教B版必修51.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、用心爱心专心 等差数列的前 n 项和例题解析 【例 1】等差数列前10 项的和为 140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第 6 项 解依题意，得 10ad = 140 aaaaa = 5a20d = 125 1 135791 10 101 2 () 解得 a1=113，d=22 其通项公式为 an=113(n 1) ( 22)= 22n135 a6=2261353 说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的这种先求出基本元素， 再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法在本课中如果注意到a6=a15d，也可 以不必求出an而 直接去求，所列方程组化简后可得 相
2、减即得，a 2a9d = 28 a4d = 25 a5d = 3 6 1 1 1 即 a63可见，在做题的时候，要注意运算的合理性当然要做到这一点，必须以对知识 的熟练掌握为前提 【例 4】在 1 和 2 之间插入 2n 个数，组成首项为1、末项为 2 的等差数列，若这个数列的 前半部分的和同后半部分的和之比为913，求插入的数的个数 解依题意 21(2n21)d 前半部分的和 后半部分的和 S(n1)d S(n1)2(d) n+1 n+1 () () nn nn 1 2 1 2 由已知，有 化简，得 解之，得 S S n nd n nd nd nd n n 1 1 1 1 2 1 2 2 9
3、 13 1 2 2 2 9 13 ()() ()() nd = 5 11 由，有 (2n 1)d=1 由，解得，d = 1 11 n = 5 共插入 10 个数 【例 5】在等差数列 a n 中，设前 m项和为 Sm ，前 n 项和为 Sn，且 S m S n，m n，求 Sm+n 用心爱心专心 解S(mn)a(mn)(mn1)d (mn)a(mn1)d m+n1 1 1 2 1 2 且 SmSn，m n 整理得 mam(m1)dnan(n1)d (mn)a(mn)(mn1) = 0 11 1 1 2 1 2 2 d 即 由 ，知 (mn)a(mn1)d = 0 mna(mn1)d0 1 1
4、1 2 1 2 Sm+n0 【例 6】已知等差数列 an 中， S3=21，S6=64，求数列 |a n| 的前 n 项和 Tn 分析nS= nada n11 等差数列前项和，含有两个未知数， n n()1 2 d，已知 S3和 S6的值，解方程组可得a1与 d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则 可求出 Tn来 解dSnad 3a3d = 21 ba15d = 24 n1 1 1 设公差为，由公式 得 n n() 1 2 解方程组得： d 2，a19 an9(n 1)(n 2) 2n11 由得 ，故数列的前项为正，a2n110 n= 5.5a 5 nn 11 2 其余各项为负数列a n
5、的前 n 项和为： S9n(2) =n10n n 2 n n()1 2 当 n5 时，Tn n210n 当 n6 时， TnS5|SnS5| S5(SnS5) 2S5Sn Tn2(2550)( n2 10n)n210n50 即 T=n10n n5 n10n50 n6 n* n 2 2 N 说明根据数列 an 中项的符号，运用分类讨论思想可求|a n| 的前 n 项和 【例 7】在等差数列 a n中，已知 a6a9a12a1534，求前 20 项之和 解法一由 a6a9a12a1534 得 4a138d34 又 S20ad 201 2019 2 用心爱心专心 20a1190d5(4a 138d)
6、=5 34=170 解法二 S= (a + a)20 2 = 10(aa) 20 120 120 由等差数列的性质可得：a6 a15=a9a12a1a20a1a20=17 S20170 【例 8】已知等差数列 an 的公差是正数，且a3a7=12，a4a6=4，求它的前20 项 的和 S20的值 解法一设等差数列 a n 的公差为 d，则 d0，由已知可得 (a2d)(abd)12 a3da5d =4 11 11 由，有 a1 24d，代入，有d2=4 再由 d0，得 d2 a1= 10 最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S20180 解法二由等差数列的性质可得：a4a6a3a7即 a3a
7、7 4 又 a3a7=12，由韦达定理可知：a3，a7是方程 x24x12 0 的二根 解方程可得x1=6，x22 d 0 a n 是递增数列 a3 6，a7=2 d = a = 2a10S180 7 120 a3 73 ， 【例 9】等差数列 a n 、bn 的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若 S T n n a b n n 2 31 100 100 ，则等于 A1B CD 2 3 199 299 200 301 分析n S = n(a + a ) n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项 和公式把前 项和的值与项的值进行联系 a b S T n n n n 100 100
8、2 31 2 解法一， S n aa T n bb S T aa bb aa bb n n n n n n n n n n n n ()() 11 1 1 1 1 22 2 31 2a100a1a199，2b100 b1b199 用心爱心专心 选 a b a b 100 100 199 199 = a b = 2199 3199 +1 = 199 299 C 1 1 解法二利用数列 a n 为等差数列的充要条件： Snan2bn S T n n n n 2 31 可设 S n2n2k，Tnn(3n 1)k a b SS TT n knk nnknnk n n n n a b n n nn nn
9、 1 1 22 100 100 221 311 311 42 62 21 31 21001 31001 199 299 () ()() () 说明该解法涉及数列 a n 为等差数列的充要条件 Sn=an2bn，由 已知，将和写成什么？若写成， S T n n n n 2 31 STS = 2nkT = (3n1)k nnnn k 是常数，就不对了 【例 10】解答下列各题： (1) 已知：等差数列 a n 中 a23，a6 17，求 a9； (2) 在 19 与 89 中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为 1350，求这几个数； (3) 已知：等差数列 a n 中
10、， a4a6a15a1750，求 S20； (4) 已知：等差数列 a n 中， an=333n，求 Sn 的最大值 分析与解答 (1)a= a(62)d d=5 62 173 4 a9=a6(96)d= 173( 5)=32 (2)a 1=19，an+2=89，Sn+21350 S= (a + a)(n +2) 2 n2 = 21350 19+89 = 25 n= 23 a= a= a24d d= 35 12 n+2 1n+2 n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数21 11 12 86 1 12 35 12 23 (3) a4a6a15a17=50 用心爱心专心 又因它们的
11、下标有417615=21 a4a17=a6a15=25 S= (a + a)20 20 120 2 10250 417 ()aa (4) an=333n a130 S= (a + a )n 2 n 1n () () 633 2 3 2 63 2 3 2 21 2 321 8 2 2 2 n n nn n nN，当 n=10 或 n=11 时， Sn取最大值 165 【例 13】等差数列 an 的前 n 项和 Snm ，前 m项和 Smn(mn)，求前 m n 项和 Sm+n 解法一设a n 的公差 d 按题意，则有 Snadm Smadn (mn)ad = nm n1 m1 1 ，得 n n
12、m m mnmn () () ()() 1 2 1 2 1 2 即 ad =1 1 mn Smn a mn mn d mn a mn d m n 1 2 1 2 1 2 1 1 () ()() ()() =(mn) 解法二设 SxAx2Bx(x N) AmBmn AnBnm 2 2 ，得A(m 2n2) B(mn) nm m n A(mn) B=1 故 A(m n) 2B(m n) (mn) 即 Sm+n (mn) 说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再 解决其它问题，但本题关键在于求出了 ，这种设而不ad1 1 mn1 2 用心爱心专心 解的“整体化” 思想， 在解
13、有关数列题目中值得借鉴解法二中， 由于是等差数列， 由例 22， 故可设 Sx=Ax2Bx(x N) 【例 14】在项数为 2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首 项之差为 27，则 n 之值是多少？ 解S偶项S 奇项 =nd nd=9075=15 又由 a2na127，即 (2n 1)d=27 nd15 (2n1)d27 n = 5 【例 15】在等差数列 a n 中，已知 a125，S9S17，问数列前多少项和最大，并求出最 大值 解法一建立 Sn关于 n 的函数，运用函数思想，求最大值 根据题意： ， S=17adS9ad 17191 1716 2 98 2
14、 a1=25，S17S9解得 d 2 S25n(2) =n26n =(n13)169 n 22 n n() 1 2 当 n=13 时， Sn最大，最大值S13169 解法二因为 a1=250，d 20，所以数列 a n 是递减等 差数列，若使前项和最大，只需解 ，可解出n a0 a0 n n n+1 a125，S9S17 ，解得925 2 d =1725dd =2 981716 2 an=25(n 1)( 2)=2n27 2n270 2(n1)270 n13.5 n12.5 n = 13 即前 13 项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S13=169 解法三利用 S9=S17寻找相邻项的关系 由题意 S9=S17得 a10a11a12,a17=0 而 a10a17=a11a16=a12a15=a13a14 a13a140，a13=a14a130，a140 S13=169 最大 解法四根据等差数列前n 项和的函数图像，确定取最大值时的n a n 是等差数列 可设 SnAn2Bn 二次函数 y=Ax2Bx 的图像过原点，如图321 所示 用心爱心专心 S9S17， 对称轴 x = 9 +17 2 = 13 取 n=13 时， S13169最大