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1、专题 10 基本不等式的应用 【母题来源一】 【2019 年江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线 4 (0)yxx x 上的一个动点，则点 P到直线x+y=0 的距离的最小值是 . 【答案】 4 【解析】设P点的坐标是 4 (,)(0)m mm m ， 则点P到直线x+y=0 的距离是 44 |2 4 2 4 222 mmm mm ， 当且仅当 4 2m m ，即 2m 时等号成立， 则点P到直线x+y=0 的距离的最小值是4. 故答案为 4 【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养. 利用基本 不等式即可求解. 【母题来源二】【 2018 年江
2、苏】在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，120ABC，ABC 的 平分线交 AC 于点D，且1BD，则 4ac 的最小值为 _ 【答案】 9 【解析】由题意可知，, 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得， 因此 当且仅当时取等号，则的最小值为. 【名师点睛】 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、 拼、凑”等技巧， 使其满足基本不等式中“正” （即条件要求字母为正数）、“定”不等式的另一边必须为定值）、“等（等号取得的条件）的条件才能 应用，否则会出现错误. 【母题来源三】【2017 年江苏】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6 万元 /
3、次，一年 的总存储费用为 4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是 _ 【答案】 30 【解析】总费用为 600900 464()42 900240xx xx ， 当且仅当 900 x x ，即30x时等号成立 【名师点睛】 利用基本不等式求最值时要灵活运用以下两个公式： 22 ,2a bababR， 当且仅当ab 时取等号；,a b R， 2abab ，当且仅当ab时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号 成立的条件，同时求最值时注意“1 的妙用” 【命题意图】 （1）了解基本不等式的证明过程. （2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 【命题规律】 基本不等式是高
4、考考查的热点，常以填空题的形式出现通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角 函数、立体几何、解析几何等问题主要有以下几种命题方式： （1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小解决此类问题通常将所给不等式(或式子 ) 变形，然 后利用基本不等式求解 （2）条件不等式问题通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 （3）求参数的值或范围观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围. 【方法总结】 利用基本不等式求最值的常用技巧： （1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式 （2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换
5、等常见 的变形手段有拆、并、配. 拆裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母 的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件 并分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本 不等式得出最值 配配式配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与 待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. （3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一
6、致. 注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解. （4）基本不等式的常用变形 ab2ab(a0，b0)，当且仅当ab时，等号成立 a 2 b 22ab ，ab ab 2 2( a，bR) ，当且仅当ab时，等号成立 b a a b2( a，b同号且均不为零) ，当且仅当ab时，等号成立 a 1 a2( a0)，当且仅当a1 时，等号成立；a 1 a 2( a0) ，当且仅当a 1 时，等号成立 1 【江苏省苏锡常镇2019 届高三教学情况调研数学试题】已知，且，则的最小值是_ 【答案】 【解析】， 当且仅当时取等号. 因此的最小值是 2【江苏省徐州市 （苏北三市（徐州、淮
7、安、连云港） 2019 届高三年级第一次质量检测数学试题】已知0a， 0b，且 11 3ab ba ，则b的最大值为 _ 【答案】 1 3 【解析】 11 3ab ba 化为 11 32ba ba ，即 2 3210bb， 解得： 1 0 3 b， 所以b的最大值为 1 3 . 故答案为 1 3 . 3 【江苏省南通市2019 届高三年级阶段性学情联合调研数学试题】设，向量a， ，若，则的最小值为 _ 【答案】 9 【解析】因为，所以4x+（1x）y=0， 又x0，y0，所以 +=1， 故x+y=（+） （x+y）=5+9 当且仅当 =，+=1 同时成立，即x=3，y=6时，等号成立 则（x+
8、y）min=9 故答案为9 4 【江苏省镇江市2019 届高三考前模拟（三模）数学试题】在等腰ABC中， ， ，则ABC面积的最大值 为_ 【答案】 4 【解析】以为轴，以的垂直平分线为轴，设， ， ， ， ， ， ， ， 当且仅当，即时等号成立， ， ， 则ABC面积的最大值为4. 故答案为4 5 【江苏省苏锡常镇四市2019 届高三教学情况调查（二）数学试题】已知正实数a，b满足ab1，则 22 2124ab ab 的最小值为 _ 【答案】 11 【解析】因为1ab，且,a b都是正实数， 所以 22 21241414 222 ab ab ababab 141444 21277211 ba
9、ba ab abababab ， 当且仅当 12 , 33 ab时，等号成立 . 所以 22 2124ab ab 的最小值为11. 6 【江苏省扬州市2019 届高三第一学期期末检测数学试题】已知正实数x，y满足40xyxy，若 xym恒成立，则实数m的取值范围为 _ 【答案】(,9 【解析】由题意知x+4yxy0，即x+4yxy，等式两边同时除以xy得 41 1 xy ， 由基本不等式可得 4144 5259 yxy x xyxy xyxyxy ， 当且仅当 4yx xy ，即当x2y=6 时，等号成立， 所以，x+y的最小值为9 因此，m9 故答案为(,9 7【天津市部分区2019 年高三
10、质量调查数学试题】已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 3 B， 2 3b ，则ABC周长的最大值是_ 【答案】6 3 【解析】因为 222 2cos 3 bacac， 所以 2 22222() 12()3()3() 24 acac acacacacac， 当且仅当 ac时取等号， 因此 2 ()48,4 3,6 3acacabc， 故ABC周长的最大值是 6 3. 8 【天津市南开区南开中学2019 届高三第五次月考数学试题】已知直线600,0axbyab被圆 22 240xyxy截得的弦长为2 5，则ab的最大值为 _ 【答案】 9 2 【解析】圆 22 240xyxy可化为
11、 22 (1)(2)5xy， 则圆心为1,2, 半径为 5r ， 又因为直线+6=00,0ax byab被圆 22 240xyxy截得的弦长为 2 52r ， 所以直线 +6=00,0ax byab 过圆心 , 即260ab， 即26,0,0abab， 622 2abab，当且仅当2ab时取等号， 9 , 2 abab的最大值为 9 2 . 故答案为 9 2 . 9 【河南省名校联考2019 届高三联考 （四）数学试题】 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b， c，且满足sinsin4sinCBA. 若2a，则当cosA取得最小值时，ABC的外接圆的半径为 _ 【答案】 8 15 1
12、5 【解析】由正弦定理得48bca， 由余弦定理得 2 22 2 24430307 cos11 228 2 bcbcbc A bcbcbc bc ， 即当4bc时，cosA取得最小值为 7 8 ， 此时 2 715 sin1 88 A ， 设外接圆半径为r， 由正弦定理得2 sin a r A ，解得 8 15 15 r . 故当cosA取得最小值时，ABC的外接圆的半径为 8 15 15 . 10 【天津市河北区2019 届高三二模数学试题】已知首项与公比相等的等比数列 n a 中，m，n N ，满 足 22 4mn a aa ，则 21 mn 的最小值为 _ 【答案】 1 【解析】设等比数
13、列 n a的公比为 q，则首项 1 aq， 由 22 4mn a aa得 22 113 111 mn a qa qa q， 则 28mn qq，28mn， 211211414 2224 888 nmnm mn mnmnmnmn ， * ,m nN， 4 0,0 nm mn ， 则 44 24 nmn m mnmn （当且仅当 4nm mn ，即2nm时取等号）， min 211 441 8mn . 故答案为1. 11 【江西省临川一中2019 届高三年级考前模拟考试数学试题】如图，点D在ABC的边AC上，且 3CDAD， 2BD ， 10 cos 24 ABC ，则3ABBC的最大值为 _ 【
14、答案】 165 5 【解析】因为 10 cos 24 ABC ， 所以 2 2101 cos2cos121 244 ABC ABC ， 因为 3CDAD，所以 3CDDA ，即3BDBCBABD ， 整理得到 31 44 BDBABC， 两边平方后有 222 913 16168 BDBABCBA BC， 所以 22 913 2 16168 BABCBA BC， 即 22 9131 2| | 161684 BABCBABC， 整理得到 22 3 329 2 BABCBABC， 设 ,cBA aBC ， 所以 2 22 39 3293 22 caaccaac， 因为 2 93 333 2222 accaca ， 所以 2222935 323333 288 caaccacaca， 则 83216 5 3 55 ca， 当且仅当 8 5 5 a ， 8 5 15 c 时等号成立， 故答案为 165 5 .