《2018版高中数学第一章解三角形习题课正弦定理和余弦定理学案新人教A版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第一章解三角形习题课正弦定理和余弦定理学案新人教A版.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、习题课正弦定理和余弦定理 学习目标 1. 进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.2. 提高对正弦、 余 弦定理应用范围的认识.3. 初步应用正弦、 余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问 题 知识点一正弦定理及其变形 1. a sin A b sin B c sin C 2R 2a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C( 化角为边 ) 3sin A a 2R ，sin B b 2R ，sin C c 2R ( 化边为角 ) 知识点二余弦定理及其推论 1a 2b2 c 22bccos_A ，cos A b 2 c 2a2 2bc ( 边角互化 ) 2在ABC中，c
2、 2 a 2 b 2? C为直角，c 2a2 b 2? C为钝角；c 20 且 cos B0且 cos C0，则ABC为锐角三角形； 若 sin 2A sin 2B sin 2C ，则C90，ABC为直角三角形； 若 sin A sin B或 sin(AB) 0，则AB，ABC为等腰三角形； 若 sin 2Asin 2B，则AB或AB90，ABC为等腰三角形或直角三角形 跟踪训练2 在ABC中，cos A4 5，且( a2)b(c2) 123，试判断三角形的形状 解由已知设a2x，则b 2x，c 23x， 所以a2x，c 3x2， 由余弦定理得cos A 4x 2（ 3x2）2（ x2） 2
3、4x（3x2） 4 5. 解得x4，所以a6，b8，c10， 所以a 2 b 2 c 2，所以三角形为直角三角形 题型三有关创新型问题 例 3 已知x0，y0，且x 2 xyy 21，求 x 2 y 2 的最大值与最小值 解构造ABC，使AB1，BCx，ACy，C60， 由余弦定理知AB 2 AC 2 BC 22AC BCcos C， 1x 2 y 2 xy，即x，y满足已知条件， 由正弦定理得 x sin A y sin B 1 sin 60 23 3 . x2 3 3 sin A，y2 3 3 sin B， x 2 y 24 3(sin 2A sin 2B ) 2 3(1 cos 2 A1
4、cos 2B) 2 3(cos 2 Bcos 2A) 2 3cos(240 2A ) cos 2A 2 3( 3 2cos 2 A 3 2 sin 2A) 23 3 sin(2A60) 0A120， 602A60300， 当 2A60 90时，x 2 y 2 有最小值 23 3 . 当 2A60 270时，x 2 y 2 有最大值 23 3 . 反思与感悟解答此类题目，我们可以根据条件，构造三角形，利用正弦、余弦定理将问题 予以转化如本题中将x 2 y 2 转化为三角恒等变换及yAsin( x) 的值域的问题 跟踪训练3 已知x，y均为正实数，且x 2y23 xy，求xy的最大值 解构造ABC
5、，角A，B，C的对边分别为x，y，3，C 60，由余弦定理知x 2 y 23 xy，即x，y满足已知条件 x sin A y sin B 3 sin 60 2， x2sin A，y2sin B， xy 2(sin Asin B) 2sin Asin(120 A) 2(sin A 3 2 cos A1 2sin A) 23( 3 2 sin A 1 2cos A) 23sin(A30 ) 0A120， 当A60时，xy有最大值 23. 例 4 在ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ab a cos B cos A cos B ，试判断 三角形的形状 错解由已知得1 b a1 c
6、os A cos B ， 即acos Abcos B. 由 cos A b 2 c 2 a 2 2bc ， cos B a 2 c 2 b 2 2ac ， 得ab 2 c 2 a 2 2bc b a 2 c 2 b 2 2ac ， 整理得c 2( a 2 b 2) a 4 b 4( a 2 b 2)( a 2 b 2) ， c 2a2b2， ABC为直角三角形 错因分析利用余弦定理把角转化成边之间的关系，其思路是正确的，但在结果的判断上出 现了严重的失误，由(a 2b2)( a 2 b 2 c 2) 0 得 ab或a 2 b 2 c 2，而不是 ab且a 2 b 2 c 2. 正解由已知得1
7、b a1 cos A cos B ， 即acos Abcos B. 由 cos A b 2 c 2 a 2 2bc ， cos B a 2 c 2 b 2 2ac ， 得ab 2 c 2 a 2 2bc b a 2 c 2 b 2 2ac ， 整理得 (a 2 b 2)( a 2 b 2 c 2) 0， 所以a 2 b 2 0 或 a 2 b 2 c 20， 即ab或a 2 b 2 c 2. 故ABC为等腰三角形或直角三角形 误区警示在转化的过程中，一定要注意转化的合理性与等价性 跟踪训练4 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B (2cb)si
8、n C. (1) 求A的大小； (2) 若 sin Bsin C1，试判断ABC的形状 解(1) 由 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C得 2a 2 (2 bc)b(2cb)c， 即a 2b2 c 2 bc， 由余弦定理得cos A b 2c2 a 2 2bc bc 2bc 1 2， A(0， 180) ，A120. (2) 由(1) 得a 2b2c2 bc，由正弦定理得 sin 2A sin 2B sin 2 Csin Bsin C. sin 2 Bsin 2C sin Bsin C 3 4， 又 sin Bsin C 1， sin Bsin C 1 2， B，C (0
9、， 90) ，BC30， ABC为等腰三角形 1在钝角ABC中，a1，b2，则最大边c的取值范围是( ) A1c3 B 2c3 C.5c 3 D 22c3 答案C 解析在钝角ABC中，由于最大边为c，所以角C为钝角所以c 2a2 b 2145，即 c 5，又因cab123，所以5c3. 2在ABC中，若c 2acos B，则ABC的形状一定是( ) A等腰直角三角形 B 直角三角形 C等腰三角形 D 等边三角形 答案C 解析c2acos B，由正弦定理得 2cos Bsin A sin C sin(AB) ， sin Acos Bcos Asin B0，即 sin(AB) 0， 又 AB，AB
10、0，AB. ABC是等腰三角形 3已知ABC的三边长分别为AB7，BC5，AC6. 则AB BC 的值为 ( ) A19 B 14 C 18 D 19 答案D 解析由余弦定理的推论知： cos B AB 2 BC 2AC2 2ABBC 19 35. 所以AB BC |AB | | BC | cos( B) 75( 19 35) 19，故选 D. 4在ABC中，B60，a1，SABC 3 2 ，则 c sin C _ 答案2 解析S 1 2acsin B 1 21c 3 2 3 2 ， c2， b 2a2c22accos B14212( 1 2) 3， b3， c sin C b sin B 3
11、 3 2 2. 5在ABC中，若 a cos A b cos B c cos C ，则ABC是_三角形 答案等边 解析 a cos A b cos B ， sin Acos Bsin Bcos A0， sin(AB) 0， A，B (0 ，) ，AB( ， ) ， AB 0，AB. 同理BC，ABC， ABC为等边三角形 1. 判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形( 如锐角、直角、钝角、等腰、 等边三角形等) 对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把 它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方 法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论 2解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思 想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形 问题，再利用正弦、余弦定理求解