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1、1 24.3 正多边形和圆 教学目标 【知识与技能】 了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法. 能根据定义判 定一个多边形是否是正多边形，理解正多边形和圆的关系. 【过程与方法】 领会“特殊一般特殊”是认识事物的重要方法. 使学生会等分圆周，利用等分圆周 的方法构造正多边形，并会设计图案，发展学生的实践能力和创新精神. 【情感态度】 通过观察、发现、探究等活动，感受数学来源于生活，服务于生活，体现事物之间是相 互联系，相互作用的. 【教学重点】 正多边形和圆的相关概念及其之间的运算. 【教学难点】 探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.
2、教学过程 一、情境导入 请同学们观察课件中出示的图片，提问： （1）你能从图案中找出多边形吗？什么样的图形叫正多边形？ （2）正多边形与圆有怎样的关系？ 二、探索新知 问题 1 把一个圆分成5 等份，求证：依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正 五边形 . 证明： 如图，把O分成相等的5 段弧，依次连接各分点所得到五 边形ABCDE. ABBCCDDEEA， AB=BC=CD=DE=EA, 3BCECDAAB. A=B. 同理B=C=D=E， 五边形ABCDE是正五边形 . 问题 2 如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边 形吗？ 答案： 一定 . 问题 3各
3、边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边 形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例. 2 答案： 各边相等的圆内接多边形是正多边形. 理由如下：因为各边相等的圆内接多边形 的各角也相等 . 各角相等的圆内接多边形不是正多边形，如矩形. 归纳总结一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 ， 外接圆的半径叫做正多边形的半径 ，正多边形每一边所对的圆心角叫做正 多边形的 中心角 ，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 . 例有一个亭子 , 它的地基是半径为4m的正六边形 , 求地基的周长和 面积（结果保留小数点后一位）. 解： 如图，连接OB，OC. 因为
4、六边形ABCDEF是正六边形， 所以它的中心角等于 360 6 =60， OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 因此 , 亭子地基的周长l=46=24 （m ）. 作OPBC，垂足为P. 在 RtOPC中 ,OC=4m ，PC= 4 22 BC =2m ，利用勾股定理,可得边 心距r= 22 42 =23（m ）. 亭子地基的面积S= 1 2 lr= 1 2 242 341.6 （m 2）. 想一想你知道如何利用正多边形和圆的关系来画正多边形吗？ 画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的. 等分圆周有两种方式： （1）用量角器等分圆周 方法 1：由于在同圆或等圆中相等的圆周角
5、所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分 圆. 方法 2：先用量角器画一个等于 360 n 的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的 1 n ，然 后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点. （2）用尺规等分圆 正六边形的作法 方法 1：画一个圆，用量角器画一个等于 360 6 =60的圆心角，它对着一段弧，然后在 圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6 个等分点， 依次连接各等分点，即可得到正 六边形 . （如图） 方法 2：在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点 即可得到半径为R的正六边形 . （如图） 正四边形的作法 用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，
6、就可以把圆四等分，从而作出正方形.（如图） 三、巩固练习 3 1. 如图，圆内接正五边形ABCDE中，ADB= . 2. 分别求出半径为R的圆内接正方形的边长、边心距和面积. 3. 用 一批共长120m的篱笆围出一块草地来分别计算所围草地是正三角形、正方形、 正六边形、圆的面积（精确到0.1m 2），并比较它们的大小 . 答案： 1.36 2. 解：连接OB，OC，作OEBC，垂足为E.OEB=90, OBE= BOE=45,Rt OBE为等腰直角三角形.BE 2+OE2=OB2， 2OE2= OB 2， OE 2= 2 2 OB . 边 心 距OE= 2 2 OB= 2 2 R. 边 长BC
7、=2BE=2 2 2 R=2R.S正 方 形 ABCD=AB?BC=(2R) 2=2R2. 3.解：由题意， 得正三角形的边长为40m ，S正三角形= 1 2 40 203=4003 692.8（m 2）， 正方形的边长为30m ，S正方形=3030=900（ m 2）， 正六边形的边长为20m ， S正六边形=6 1 2 20103=60031039.2 （m 2）， 圆的半径为r= 120 2 = 60 （m ）， S圆=r 2= 2 2 60 = 3600 1146.5 （m 2）， 因此，在周长都是120m时， S正三角形S正方形S正六边形S圆. 五、归纳小结 通过这节课的学习，你知道
8、正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边 心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？ 布置作业 从教材习题21.3 中选取 教学反思 1. 本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联 系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律， 通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的 思想 . 其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的 作图能力 . 2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、 正六边 形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、 最基本的概念， 它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中， 极限思想渗 透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.