《人教版高中数学必修五《等差数列前n项和》教案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学必修五《等差数列前n项和》教案.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、等差数列的前 n 项和教案 一、教学目的 1、使学生理解等差数列的前n 项和公式的推导过程的思想与方法，并掌握公式。 2、使学生运用数学建模的方法， 正确运用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的应用 问题。 3、使学生通过自主观察、分析、探索、归纳、交流，培养学生的自主探索能力、数学建 模能力和严谨的逻辑思维能力。 4、通过从具体到抽象，从特殊到一般的探索，培养学生的理性思维，逐步树立科学发展 观，优化思维品质，养成健康的心理素质。 二、教学重点、难点、关键 教学重点：等差数列的前n 项和公式的推导和应用。 教学难点：等差数列的前n 项和公式的推导。 教学关键：推导等差数列的前n 项和公式的
2、关键是通过情境的创设，发现倒序求和法。 应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等差数列模型，运用公式解决问 题。 三、教具、学具准备 多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。 四、教学方法 按现代教育观，课堂教学应充分发挥“教为主导，学为主体，练为主线”的教学思想。 本节课运用“引导探索发现法” ，采用“情境引入自主探究成果交流变式应用 反思回授”等五个环节，并使用多媒体辅助教学，引导学生动手动脑去观察、分析、探索、 归纳获得解决问题的方法，把教学过程变为渴望不断探索真理并带着美好感情色彩的意向活 动。 五、学法指导 “授人以鱼，不如授人以渔”
3、。教是为了不教，教给学生好的学习方法，让他们会学习， 并善于用数学思维去分析问题和解决问题，受益终身。 本节课根据教材特点，激“疑”生“趣” ，学生自主探究，学会从具体到抽象，从特殊到 一般，由浅入深去分析、探索，循序渐进地发现等差数列的普遍规律，从而得出等差数列的 前 n 项和公式，在应用公式解决问题时，引导学生理论联系实际，抽象出数量关系，建立数 学模型，获得解决问题的方法，带领学生踏上“再创造”之旅。 六、教学过程 1、复习回顾，以旧悟新 （1）等差数列的定义：), 2( * 1 Nnndaa nn ，d为常数。 （2）等差数列的通项公式： * 1 (1) () n aand nN。 （
4、3）等差数列 n a中，若pqmn，则 pqmn aaaa （p、q、 m、 * nN） 。 2、创设情境，引入新课 200 多年前，德国著名数学家Gauss （高斯） 10 岁读小学时，老师出了一道数学题： 123100?据说，当其他同学忙于把100 个数逐项相加时，高斯经过思考后很快 得出其结果是 5050。 师： “小高斯快速算出123100的和，成为千古美谈。同学们，我们也能成长 为高斯。这节课我们研究等差数列的前n 项和 ，就是与高斯比一比，我们也能快速算出 123100，并且把这种方法推广到更一般的等差数列前n 项和的求法中去。” 这个问题实际上就是本节课要学习的内容：（板书课题）
5、 2.3 等差数列的前 n 项和 一般地 ,等差数列的前 n 项和用 n s 表示,即 123nn saaaa 现在分小组讨论探究下面的问题： 1、1，2，3， 98，99，100 从数列角度来看，这是什么数列？高斯用什么方法快 速算出这个数列的和？ 2、高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到求一般数列的前n 项和吗？ 3、这些方法用到了等差数列哪一个性质？ 4、能否用高斯的速算法求下列等差数列的前n 项和： （1）计算 12321 ? nnn aaaaaa （2）计算 1111 ()(2 )(1) ?aadadand 学生阅读、小组讨论时，老师要眼观六路，耳听八方，对每个学生在自觉和小组讨
6、论中 遇到的难题，要进行适当点拔，使他们的学习走上正轨，然后各小组汇报研究性学习成果， 进行全班交流。 A 组小组长说： 1，2，3， 98，99，100 是首项为 1，末项为 100，公差为 1 的等 差数列，高斯的算法是： （1+100）+（2+99）+（50+51）=101505050。 B 组小组长说：也可以写成算式的形式： 12505199100s 10099515021s 2101101101101101101s 101(1 100) 5050 2 s。 师：很好，这种方法就是把数列各项的顺序倒过来再相加的方法，我们把这种方法称为 “倒序求和法”。这种倒序求和法运用了等差数学哪一个
7、性质？ B 组小组长说：运用了等差数列中与首末两项等距离的两项的和等于首末两项和的性质。 即在等差数列 n a中，若pqmn，则 pqmn aaaa （p、q、 m、 * nN） 。 3、讲授新课，推导公式 教师因势设问：“能把倒序求和法推广到一般的等差数列的前n 项和吗？” C 组小组长说：可以运用高斯算法倒序求和法可计算： 12321nnnn saaaaaa 12321nnnn saaaaaa 1213223121 2()()()()()() nnnnnnn saaaaaaaaaaaa 1213223121nnnnnn aaaaaaaaaaaa 1 2() nn sn aa， 1 () (
8、 ) 2 n n n aa s D 组小组长说：同理运用高斯算法倒序求和法也可计算： 1111 ()(2) (1) n saadandand 1111 (1) (2) () n sandandada 1111 22(1) 2(1) 2(1) 2(1) n sandandandand 1 (1) () 2 n n n snad E 组小组长抢答 :由下列算法也可以得到公式( )： 1111 ()(2 )(1) n saadadand ()(2 )(1) nnnnn saadadand 1111 2()()()() nnnnn saaaaaaaa 1 () ( ) 2 n n n aa s 以 1
9、 (1) n aand 代入也可得到公式()的形式。 师：非常好。公式( )、()称为等差数列的前n 项和公式，用这些公式可求得等差数列 的前 n 项和。 引导学生比较得出：若已知等差数列首项为 1 a ，末项为 n a ，项数为 n ，可直接运用公式 ( ) 1 () 2 n n n aa s求和；若已知等差数列首项为 1 a ，公差为d，项数为 n，则直接运用公式 () 1 (1) 2 n n n snad求和较为简便。从公式的结构特点可知，公式化共包含五个量 1 a ， n a ， n， d， n s ，只要知道其中三个量，就可以求出其余两个量。 思考：比较两个公式( )、()，说说它们
10、分别从哪些角度反映等差数列的性质？ 4、初步应用，熟悉公式 请同学们解下列一组题。 计算下列各题： （1）123n。 （2）135(21)n。 （3）2462n。 （4）123456(21)2nn。 生：直接利用等差数列的前n 项的公式( )求得： （1）原式 (1) 2 nn （这是正整数列之和）。 （2）原式 2(121) 2 nn n（这是正奇数列之和） 。 （3）原式 2 (22 ) 2 nn nn（这是正偶数列之和）。 师：第（4）题中的数列不是等差数列，但在解题时我们应仔细观察，由此及彼，由表及 里，去伪存真，寻找规律，可能某局部成等差数列（学生在老师引导下会悟到）。 生甲：把正数
11、项与负数项分开，正好组成正奇数列与正偶数列之差。 22 135(21)(2462 )()nnnnnn原式。 生乙：原数列虽然不是等差数列，但还有一个规律，相邻两个正整数之差为1，即依次 相邻两项结合都为1，可得另一解法： (1 2)(34)(56)(21)2 1 11 n nnn 个 原式 师：从以上解题过程反思，可以看到一些题目表面上好像没有什么规律，在解题时只要 我们仔细观察、寻找规律，是会找到好的解题方法的。 5、建立模型，获解方法 例 1、求集合 * |7 ,100Mm mn nNm且的元素个数，并求这些元素的和。 引导学生清楚地认识到，要找到解应用题的方法，必须运用理论联系实际的方法
12、，抽象 出数量关系，建立相应的数学模型，这是寻找解题方法的关键。求等差数列的和，要特别注 意数列的项数 n 是什么。 师：元素 m的个数应根据什么条件确定？ 生：应根据 m、 n的范围、条件确定，由100m，得7100n， 1002 14 77 n，又 * nN， 满足上面不等式的正整数n共有 14个, 所以集合 M 的元素 m 共有 14个。 师：请把这 14 个元素从小到大列出来。 生：7，14，21， 98。 师：这是一个什么数列？ 生：这个数列是等差数列，记为 n a，其中首项 1 7a，末项 14 98a，项数14n，公 差7d，根据等差数列的前n 项和公式得： 1 14 ()14(
13、798) 735 22 n n aa s。 答：集合 M 共有 14 个元素，它们的和等于735。 师：可能用公式()解答吗？ 生：可以，有： 1 (1)14(141) 1477735 22 n n n snad。 师：比较一下，这两种方法有什么不同之处？ 生：用公式( )要先求出 n a ，再运用公式。用公式()不需求 n a 就可以直接运用公式， 显然用公式()方法简单。 小结： 1、在应用等差数列的前n 项和公式解应用题时， 运用理论联系实际的方法抽象出数量关 系，建立相应的数学模型，即等差数列模型，从而获得解题方法。 2、分别用公式( )、()解答，即掌握题目的数量关系后，可以从多角度
14、去解应用题。 例 2、2000年 11 月 14 日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知。某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001 年起用 10 年时间，在全市中小学建成 不同标准的校园网，据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元，为了保证 工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50 万元，那么从 2001 年起的未来 10 年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 对此例题，老师先启发引导，然后让学生练习，如有不懂再点拔。实施“校校通”工程 的经费，每年是多少？总投入经费是多少？想一想这个问题的数量关系与我们所学过的哪些 数学规律类
15、似？ 500 万，50万，未来 10 年的“10 年” ，工程总投入等相当于数学理论中什么 量？从中建立求解的数学模型。 学生甲：根据题意，从2001 年起到 2010 年该市每年投入“校校通”工程的经费都比上 一年增加50 万，可以建立一个等差数列 n a，表示从2001 年起每年投入的资金。其中 1 500,50,10adn。由公式()可知，投入金额为： 1 (1)10(10 1) 10500507250() 22 n n n snad万元。 学生乙：也可以用公式( )求解： 10 500(10 1) 50950a， 1 10 ()10(500950) 7250() 22 n n aa s
16、万元。 答：从 2001年起到 2010 年，该市在“校校通”工程中总投入资金7250 万元。 小结：解应用题必须建立适当的数学模型。 6、加强练习，练中提高 （1） 、求集合 * |21,60Mm mnnNm且的元素个数，并求这些元素的和。 （2） 、一位技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10km/h 开始，每隔 2s 速 度提高 20km/h。如果测试时间为30s，测试距离是多长？ （3） 、请同学们参考例1、例 2 和课堂练习题自己编写一道求等差数列前n 项和的练习 题。 7、归纳总结，提高认识 师：谁来总结一下，本节课学习了什么内容和方法？ 生： （1） 、本节课学习了等差数
17、列的前n 项和公式 1 () ( ) 2 n n n aa s 1 (1) ( ) 2 n n n snad （2） 、学习了一种崭新的数学方法倒序求和法。 师：总结得很好，我们还应注意以下几点： （1） 、公式( )、()共有五个量，只要知道其中三个量，就可以求出其他两个量。这是 下一节课要学习的内容。 （2） 、求等差数列的前n 项和，要特别注意公式中的项数n 是什么。 （3） 、解应用题时，必须运用理论联系实际的方法，抽象出数量关系，建立相应的数学 模型，才能找到适当的解题方法。 8、布置作业 （1） 、课本 53 P 习题 2.3 第 2 题。 （2） 、自己编写一道求等差数列的前n 项和的练习题。 （3） 、写一篇学习“等差数列的前n 项和”的心得。 （4） 、预习：课本 50 P 51 P 。