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1、综合试题 ( 一) 理科数学【p323】 时间： 60 分钟总分： 100 分 一、选择题 ( 本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分每小题所给的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1已知集合Ax R|x 22x33. 【答案】 A 2执行如图所示的程序框图，输出S的值为 ( ) A43 B 55 C 61 D 81 【解析】模拟运行：S25，n18，18 0，S43，n12，120，S55，n6，6 0，S61，n0，输出S61. 【答案】 C 3 在ABC中，点D在线段BC上，且BD 2DC ， 点O在线段CD上( 与点C，D不重合 ) 若 AO xAB (1 x)AC ，则x
2、的取值范围是 ( ) A(0， 1) B. 2 3，1 C. 0， 1 3 D. 1 3， 2 3 【解析】由题意得x CO CB 0， 1 3 . 【答案】 C 4在平面直角坐标系xOy中，点P为双曲线x 22y21 的右支上的一个动点，若点 P 到直线2x2y20 的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为 ( ) A2 B. 3 2 C. 6 3 D. 26 3 【解析】令P(x，y) ，由题意得 |2x2y2| 6 minc，而直线 2x2y20 与渐近 线2x2y0 距离为 |2| 6 6 3 ，因此 |2x2y 2| 6 min 6 3 ，即c 6 3 ，实数c的最大值 为 6 3 .
3、 【答案】 C 5一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为 4 3 ，那 么这个正三棱柱的体积是( ) A123B23C63D483 【解析】由 4 3 R 34 3，得 R1， 正三棱柱的高等于球的直经h 2R2， 设其底面边长为a， 则 1 3 3 2 a1，a23， V 3 4 (23) 22 6 3. 【答案】 C 6若函数f( )xa()x2e xln x1 x在 ()0，2上存在两个极值点，则 a的取值范围 是( ) A. ， 1 4e 2 B. e， 1 4e 2(1，) C. ， 1 e D. ， 1 e 1 e， 1 4e 2 【解析】f( )xa(
4、)x1 e xx1 x 2()x1ae x1 x 2 ， 令f( )x0，得x1 或a 1 x 2ex，设g( ) x 1 x 2ex， 则g( )x e x( )x 2 2x ()x 2ex 2 ， 当x0时，g( )x0，g( )x在()0，2 上递增，当x0 时， g( )x，又g( )2 1 4e 2， g( )x ， 1 4e 2，a4， 则 f(7) 的值为 _ 【解析】 f(7)f(5) f(3) 1 2 3 1 8. 【答案】 1 8 8已知抛物线y 24x 上一点 P到焦点 F 的距离为 5，则 PFO(O为坐标原点 ) 的面积为 _ 【解析】由题意得xP51 4? yP4，
5、因此 PFO 的面积为 1 241 2. 【答案】 2 9二项式 3 x 1 2x 8 的展开式的常数项是_ 【解析】由Tr 1C r 8 ( 3 x) 8r 1 2x r 1 2 r C r 8x 84r 3. 令 84r 3 0，得 r 2. 二项式 3 x 1 2x 8 的展开式的常数项是 1 2 2 C 2 87. 【答案】 7 10如图，将绘有函数f(x)3sinx 5 6 ( 0) 部分图象的纸片沿x 轴折成直 二面角，若AB之间的空间距离为15，则 f( 1) _ 【解析】作AC x轴于 C，BD x 轴于 D，连接 CB ，则 CD T 2，则 AB 2AC2 BC2AC2 C
6、D 2 BD 2，即 ( 15) 2( 3) 2 T 2 2 (3) 2, 即 1533 T 2 2 ，即 T 2 2 9，即 T 23，即 T 6 2 ， 3 ， 即 f(x)3sin 3 x 5 6 ， 则 f( 1) 3sin 3 5 6 3sin 2 3. 【答案】3 三、解答题 ( 本大题共3 小题， 共 50 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11(16 分) 已知数列 an的前 n 项和 Sn2an，数列 bn 满足 b11，b3b718，且 bn1bn12bn(n2) (1) 求数列 an 和bn的通项公式； (2) 若 cn bn an，求数列 c n的前 n 项和
7、 Tn. 【解析】 (1) 由题意知Sn2 an， 当 n2 时， Sn12 an1， 得 an Sn Sn1an1an，即 an 1 2a n1， 又 a1S12a1， a11， 故数列 an 是以 1为首项， 1 2为公比的等比数列，所以 an 1 2 n1， 由 bn1bn12bn(n2)知，数列 bn是等差数列， 设其公差为d，则 b5 1 2(b 3b7) 9， 故 db 5b1 4 2， bnb1 (n 1)d 2n1， 综上，数列 an和bn 的通项公式分别为an 1 2 n1，bn2n1. (2) cnb n an (2n 1)2 n1， Tnc1c2 cn12 0321 (2
8、n 1)2n 1， 2Tn12 1322 (2n 3)2n1(2n 1)2n， 得 Tn12(2 122 2n1) (2n 1)2n， 即 Tn1 2(2 n2)(2n 1)2n (2n 3)2n3， Tn(2n3)2 n 3. 12(16 分) 如图， ABCD是边长为3 的正方形， DE 平面 ABCD ，AFDE ，且 DE 6， AF 2. (1) 试在线段BD上确定一点M的位置，使得AM 平面 BEF ； (2) 求二面角ABE C的余弦值 【解析】 (1) 取 BE的三等分点K(靠近点 B)，过 K作 KM BD 交 BD于 M ，则有 KM 1 3DE 2，由 DE 平面 ABC
9、D ，AFDE ，可知 AF 平面 ABCD ， AFBD ， FAKM ，且 FA KM. 所以四边形FAMK 为平行四边形，可知AM FK? AM 平面 BEF ， MK ED BM BD 1 3， M为 BD的一个三等分点 ( 靠近点 B) (2) 如图建立空间直角坐标系： 则 A(3，0，0) ，B(3，3，0)，E(0，0，6) ，C(0，3， 0) ，EB (3 ， 3， 6) ，AB (0 ， 3，0) ，BC ( 3，0，0) ， 设平面 AEB的法向量为n(x1，y1，1)， 由 3x13y160， 3y10， 可得n(2 ，0，1) 设平面BCE的法向量为m(x2，y2，1
10、)， 由 3x23y260， 3x20 可得m(0 ，2，1) ， 因为二面角ABEC为钝二面角， 可得 cos 2002 1 2 2 1 2 21 1 5， 所以二面角ABEC的余弦值为 1 5. 13(18 分) 给定椭圆C：x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) ，称圆C1：x 2 y 2 a 2 b 2 为椭圆C的“伴 随圆”已知点A(2，1) 是椭圆G：x 24y2 m上的点 (1) 若过点P(0，10) 的直线l与椭圆G有且只有一个公共点，求l被椭圆G的伴随圆 G1所截得的弦长； (2) 椭圆G上的B，C两点满足4k1k2 1( 其中k1，k2是直线AB，AC的斜率 ) ，求证
11、： B，C，O三点共线 【解析】 (1) 因为点A(2 ，1) 是椭圆G：x 24y2 m上的点， 2 2412 m，m8，即椭圆G：x 2 8 y 2 2 1. a 28，b2 2，伴随圆 G1：x 2 y 210. 当直线l的斜率不存在时，显然不满足l与椭圆G有且只有一个公共点 当直线l的斜率存在时， 设直线l：ykx10与椭圆G：x 2 4y28 联立得 (14k2) x 2 810kx320. 由直线l与椭圆G有且只有一个公共点得(810k) 2 4(1 4k2) 320， 解得k1，由对称性取直线l：yx10，即l：xy100. 圆心到直线l的距离为d |0 010| 11 5， 直
12、线l被椭圆G的伴随圆G1所截得的弦长210525. (2) 设直线AB，AC的方程分别为y1k1(x2) ，y 1k2(x2) 设点B(x1，y1) ，C(x2，y2) ， 联立y1k1(x2) 与x 24y28，得 (14k2 1)x 2(16 k 2 18k1)x16k 2 116k140， 则 2x1 16k 2 116k14 14k 2 1 ，得x18k 2 18k12 14k 2 1 . 同理x28k 2 28k22 14k 2 2 . 斜率kOBy 1 x1 k1（x1 2） 1 x1 4k 2 14k11 8k 2 18k12 ， 同理kOC 4k 2 24k21 8k 2 28k22 . 因为 4k1k2 1， 所以kOC 4 1 4k1 2 4 1 4k1 1 8 1 4k1 2 8 1 4k1 2 14k14k 2 1 28k18k 2 1 kOB. B，O，C三点共线 备课札记