人教版数学八年级上册第十二章《全等三角形》测试题含答案.pdf

《人教版数学八年级上册第十二章《全等三角形》测试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版数学八年级上册第十二章《全等三角形》测试题含答案.pdf（43页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第 1 页 共 43 页 人教版数学八年级上册第十二章全等三角形测试题 一、选择题 1如图，在 ABC中， ABC=45 ， AC=8cm ，F 是高 AD和 BE的交点，则BF的长是（） A4cm B6cm C8cm D9cm 2如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O是原点， A的坐标为（ 1，），则点 C的坐标 为（） A（，1） B （ 1，） C （，1）D（， 1） 3在连接 A地与 B地的线段上有四个不同的点D 、G 、K、Q ，下列四幅图中的实线分别表示某人从A 地到 B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（） AB CD 第 2 页 共 4

2、3 页 4如图，坐标平面上， ABC与 DEF全等，其中 A、B、C的对应顶点分别为D、 E、F，且 AB=BC=5 若 A点的坐标为（3，1）， B、C两点在方程式y=3 的图形上， D、E两点在 y 轴上，则F点到 y 轴 的距离为何？（） A2 B3 C4 D5 5 平面上有 ACD与 BCE ，其中 AD与 BE相交于 P点，如图若 AC=BC ，AD=BE ，CD=CE ， ACE=55 ， BCD=155 ，则BPD的度数为（） A110B125C130D155 6如图，在 ABC和 BDE中，点 C在边 BD上，边 AC交边 BE于点 F若 AC=BD ，AB=ED ，BC=BE

3、 ， 则 ACB等于（） A EDB B BED CAFB D 2ABF 7如图， AB=4 ，射线 BM和 AB互相垂直，点D是 AB上的一个动点，点E在射线 BM上， BE=DB ， 作 EF DE并截取 EF=DE ，连结 AF并延长交射线BM于点 C设 BE=x，BC=y ，则 y 关于 x 的函数解析 式是（） 第 3 页 共 43 页 Ay=By=Cy=Dy= 8如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=6 ，AB BC ，AD CD ，BAD=60 ，点 M 、N分别在 AB 、AD边上， 若 AM ：MB=AN ：ND=1 ：2，则 tan MCN= （） ABCD2 9如图，点

4、E在正方形ABCD 的对角线AC上，且 EC=2AE ，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别 交 BC 、DC于点 M 、N若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN 的面积为（） A a 2 B a 2 C a 2 D a 2 二、解答题（共21 小题） 10如图，已知AB DE ，AB=DE ，AF=CD ，CEF=90 （1）若 ECF=30 ， CF=8 ，求 CE的长； （2）求证： ABF DEC ； （3）求证：四边形BCEF是矩形 第 4 页 共 43 页 11已知 ABC为等边三角形，D为 AB边所在的直线上的动点，连接DC ，以 DC为边在 DC两侧作等 边

5、DCE和等边 DCF （点 E在 DC的右侧或上侧，点F在 DC左侧或下侧），连接AE 、BF （1）如图 1，若点 D在 AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE 、BF和 AB有怎样的数量关系？ 并证明你的结论； （2）如图 2，若点 D在 AB的延长线上，其他条件不变，线段AE 、BF和 AB有怎样的数量关系？请 直接写出结论（不需要证明）； （3）若点 D在 AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3 中画出图形，探究线段AE 、BF和 AB 有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明） 12如图， ABC与 DCB中， AC与 BD交于点 E，且 A=D，AB=DC （1）求证：

6、 ABE DCE ； （2）当 AEB=50 ，求EBC的度数？ 13如图，在 ABC中， C=90 ， AD平分 CAB ，交 CB于点 D，过点 D作 DE AB于点 E （1）求证： ACD AED ； （2）若 B=30 ， CD=1 ，求 BD的长 第 5 页 共 43 页 14如图，点D，E在 ABC的边 BC上， AB=AC ， BD=CE 求证： AD=AE 15已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD ，AB CD 求证： AB=CD 16如图，把一个直角三角形ACB （ACB=90 ）绕着顶点B顺时针旋转60，使得点C旋转到 AB 边上的一点D，点 A旋转到点E的位置

7、F，G分别是 BD ，BE上的点， BF=BG ，延长 CF与 DG交于点 H （1）求证： CF=DG ； （2）求出 FHG的度数 17如图，点B、F、C 、 E在一条直线上，FB=CE ，ABED ，AC FD，求证： AC=DF 第 6 页 共 43 页 18 如图，ABC和 ADE都是等腰三角形， 且BAC=90 ， DAE=90 ， B， C，D在同一条直线上 求 证： BD=CE 19如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF ，AB DE ， A=D求证： AB=DE 20已知 ABC为等腰直角三角形，ACB=90 ， 点 P在 BC边上（P不与 B 、C重合） 或点

8、 P在 ABC 内部，连接CP 、 BP ，将 CP绕点 C逆时针旋转90，得到线段CE；将 BP绕点 B顺时针旋转90， 得到线段BD ，连接 ED交 AB于点 O （1）如图 a，当点 P在 BC边上时，求证：OA=OB ； （2）如图 b，当点 P在 ABC内部时， OA=OB 是否成立？请说明理由； 直接写出 BPC为多少度时， AB=DE 第 7 页 共 43 页 21（ 1）如图 1，在 ABC和 DCE中， AB DC ，AB=DC ，BC=CE ，且点 B，C，E在一条直线上求 证： A=D （2）如图 2，在矩形 ABCD中，对角线AC ，BD相交于点O，AB=4 ，AOD=

9、120 ，求AC的长 22（ 1）如图， AB平分 CAD ，AC=AD ，求证： BC=BD ； （2）列方程解应用题 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3 本，则剩余20 本；如果每人分4 本，则还缺25 本， 这个班有多少学生？ 23已知：如图，D是 AC上一点， AB=DA ，DE AB ， B=DAE 求证： BC=AE 24【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ ASA ”、“ AAS ”、“ SSS ”）和直角三角形全等的判 定方法（即“ HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进 行研究 第 8 页 共 43 页 【

10、初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和 DEF中， AC=DF ，BC=EF ， B=E，然后，对B 进行分类，可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究 【深入探究】 第一种情况：当B是直角时， ABC DEF （1）如图，在ABC和 DEF ，AC=DF ，BC=EF ， B=E=90 ，根据 _，可以知道RtABC Rt DEF 第二种情况：当B是钝角时， ABC DEF （2）如图，在ABC和 DEF ，AC=DF ，BC=EF ， B= E ，且 B、 E都是钝角，求证：ABC DEF 第三种情况：当B是锐角时， ABC和 DEF不一定全等 （3）在 ABC和 D

11、EF ，AC=DF ，BC=EF ， B=E，且 B 、 E都是锐角，请你用尺规在图中作出 DEF ，使 DEF和 ABC不全等（不写作法，保留作图痕迹） （4） B还要满足什么条件， 就可以使 ABC DEF ？请直接写出结论： 在 ABC和 DEF中， AC=DF ， BC=EF ， B= E，且 B、 E都是锐角，若 _，则 ABC DEF 25问题背景： 如图 1：在四边形ABCD中，AB=AD ，BAD=120 ， B=ADC=90 E，F 分别是 BC ，CD上的点且 EAF=60 探究图中线段BE ，EF，FD之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点 G 使 DG

12、=BE 连结 AG ，先证明 ABE ADG ，再证明 AEF AGF ，可得出结论，他的结论应是_； 第 9 页 共 43 页 探索延伸： 如图 2，若在四边形ABCD 中， AB=AD ， B+D=180 E，F分别是 BC ， CD上的点，且 EAF= BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的 A处，舰艇乙在指挥中心南 偏东 70的 B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里 / 小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80 海里 / 小时的速度前进.1.5小时后，

13、指挥 中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F 处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的 距离 26如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，AC与 BD相交于 O点，OC=OA ，若 E是 CD上任意一点， 连接 BE交 AC于点 F，连接 DF （1）证明： CBF CDF ； （2）若 AC=2， BD=2 ，求四边形ABCD 的周长； （3）请你添加一个条件，使得EFD= BAD ，并予以证明 27如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E、B、D、F 在同一直线上，且BE=DF 求证： AE=CF 第 10 页 共 43 页 28（ 1）如图 1，正方形 ABC

14、D 中，点 E，F 分别在边BC ，CD上， EAF=45 ，延长CD到点 G ，使 DG=BE ，连结 EF，AG 求证： EF=FG （2）如图，等腰直角三角形ABC中， BAC=90 ， AB=AC ，点 M ，N在边 BC上，且 MAN=45 ，若 BM=1 ， CN=3 ，求 MN的长 29如图，在 ABC中， ACB=90 ， AC=BC ，E为 AC边的中点，过点A作 ADAB交 BE的延长线于 点 D ，CG平分 ACB交 BD于点 G ，F 为 AB边上一点，连接CF，且 ACF= CBG 求证： （1）AF=CG ； （2）CF=2DE 30如图，在 ABC和 ADE中，

15、AB=AC ，AD=AE ， BAC+ EAD=180 ， ABC不动， ADE绕点 A旋 转，连接BE 、CD ，F 为 BE的中点，连接AF （1）如图，当 BAE=90 时，求证：CD=2AF ； （2）当 BAE 90时，（ 1）的结论是否成立？请结合图说明理由 第 11 页 共 43 页 参考答案及试题解析 一、选择题（共9小题） 1如图，在 ABC中， ABC=45 ， AC=8cm ，F 是高 AD和 BE的交点，则BF的长是（） A4cm B6cm C8cm D9cm 【解答】解：F 是高 AD和 BE的交点， ADC= ADB= AEF=90 ， CAD+ AFE=90 ，

16、DBF+ BFD=90 ， AFE=BFD ， CAD= FBD ， ADB=90 ， ABC=45 ， BAD=45 = ABD ， AD=BD ， 在 DBF和 DAC中 DBF DAC （ASA ）， BF=AC=8cm ， 故选 C 2如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O是原点， A的坐标为（ 1，），则点 C的坐标 为（） 第 12 页 共 43 页 A（，1） B （ 1，） C （，1）D（， 1） 【解答】解：如图，过点A作 AD x 轴于 D，过点 C作 CE x 轴于 E， 四边形OABC 是正方形， OA=OC ，AOC=90 ， COE+ AOD=90 ，

17、又 OAD+ AOD=90 ， OAD= COE ， 在 AOD和 OCE中， ， AOD OCE （AAS ）， OE=AD=， CE=OD=1 ， 点 C在第二象限， 点 C的坐标为（，1） 故选： A 3（ 2014?湖州）在连接A地与 B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q ，下列四幅图中的实线分 别表示某人从A地到 B地的不同行进路线 （箭头表示行进的方向）， 则路程最长的行进路线图是（） 第 13 页 共 43 页 AB CD 【解答】 解： A、延长 AC 、BE交于 S， CAB= EDB=45 ， AS ED ，则 SCDE 同理 SE CD ， 四边形SCDE 是平行四边

18、形， SE=CD ，DE=CS ， 即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS； B、延长 AF、BH交于 S 1，作 FK GH与 BH的延长线交于点 K， SAB= S 1AB=45 ， SBA= S1BA=70 ， AB=AB ， SAB S1AB， AS=AS 1，BS=BS1， FGH=180 7043=67=GHB ， FG KH ， FK GH ， 四边形FGHK 是平行四边形， FK=GH ，FG=KH ， 第 14 页 共 43 页 AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB， FS 1+S1KFK ， AS+BS AF+FK+KH+HB，

19、 即 AC+CD+DE+EBAF+FG+GH+HB， C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB AS 2+BS2AN+NQ+QP+PB 综上所述， D选项的所走的线路最长 故选： D 4如图，坐标平面上， ABC与 DEF全等，其中 A、B、C的对应顶点分别为D、 E、F，且 AB=BC=5 若 A点的坐标为（3，1）， B、C两点在方程式y=3 的图形上， D、E两点在 y 轴上，则F点到 y 轴 的距离为何？（） A2 B3 C4 D5 【解答】解：如图，作AH 、CK 、FP分别垂直BC 、AB 、DE于 H、K、P DPF= AKC= CHA=90 AB=BC ， BAC= BCA 在

20、 AKC和 CHA中 第 15 页 共 43 页 ， AKC CHA （ASA ）， KC=HA B、C两点在方程式y=3 的图形上，且A点的坐标为（3，1）， AH=4 KC=4 ABC DEF ， BAC= EDF ，AC=DF 在 AKC和 DPF中， ， AKC DPF （AAS ）， KC=PF=4 故选： C 5 平面上有 ACD与 BCE ，其中 AD与 BE相交于 P点，如图若 AC=BC ，AD=BE ，CD=CE ， ACE=55 ， BCD=155 ，则BPD的度数为（） A110B125C130D155 【解答】解：在ACD和 BCE中， 第 16 页 共 43 页 ，

21、 ACD BCE （SSS ）， A=B， BCE= ACD ， BCA= ECD ， ACE=55 ， BCD=155 ， BCA+ ECD=100 ， BCA= ECD=50 ， ACE=55 ， ACD=105 A+D=75 ， B+D=75 ， BCD=155 ， BPD=360 75155=130， 故选： C 6如图，在 ABC和 BDE中，点 C在边 BD上，边 AC交边 BE于点 F若 AC=BD ，AB=ED ，BC=BE ， 则 ACB等于（） A EDB B BED CAFB D 2ABF 【解答】解：在ABC和 DEB中， ， ABC DEB （SSS ）， ACB=

22、DBE AFB是 BFC的外角， 第 17 页 共 43 页 ACB+ DBE= AFB ， ACB= AFB ， 故选： C 7如图， AB=4 ，射线 BM和 AB互相垂直，点D是 AB上的一个动点，点E在射线 BM上， BE=DB ， 作 EF DE并截取 EF=DE ，连结 AF并延长交射线BM于点 C设 BE=x，BC=y ，则 y 关于 x 的函数解析 式是（） Ay=By=Cy=Dy= 【解答】解：作FG BC于 G ， DEB+ FEC=90 ， DEB+ BDE=90 ； BDE= FEG ， 在 DBE与 EGF中 DBE EGF ， EG=DB ，FG=BE=x ， EG

23、=DB=2BE=2x ， GC=y 3x， FG BC ，AB BC ， FG AB ， CG ：BC=FG ：AB， 即=， y= 故选： A 第 18 页 共 43 页 8如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=6 ，AB BC ，AD CD ，BAD=60 ，点 M 、N分别在 AB 、AD边上， 若 AM ：MB=AN ：ND=1 ：2，则 tan MCN= （） ABCD2 【解答】解：AB=AD=6 ，AM ：MB=AN ：ND=1 ：2， AM=AN=2 ，BM=DN=4 ， 连接 MN ，连接 AC ， AB BC ，AD CD ，BAD=60 在 RtABC与 Rt ADC中

24、， ， Rt ABC Rt ADC （HL） BAC= DAC= BAD=30 ， MC=NC ， BC= AC ， AC 2=BC2+AB2，即（ 2BC ）2=BC2+AB2， 第 19 页 共 43 页 3BC 2=AB2， BC=2， 在 RtBMC 中， CM=2 AN=AM ，MAN=60 ， MAN是等边三角形， MN=AM=AN=2， 过 M点作 ME CN于 E，设 NE=x，则 CE=2x， MN 2NE2=MC2 EC2，即 4x2=（2 ） 2（ 2 x） 2， 解得： x=， EC=2=， ME=， tan MCN= 故选： A 9如图，点E在正方形ABCD 的对角线

25、AC上，且 EC=2AE ，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别 交 BC 、DC于点 M 、N若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN 的面积为（） A a 2 B a 2 C a 2 D a 2 【解答】解：过E作 EP BC于点 P，EQ CD于点 Q， 第 20 页 共 43 页 四边形ABCD 是正方形， BCD=90 ， 又 EPM= EQN=90 ， PEQ=90 ， PEM+ MEQ=90 ， 三角形FEG是直角三角形， NEF= NEQ+ MEQ=90 ， PEM= NEQ ， AC是 BCD的角平分线，EPC= EQC=90 ， EP=EQ ，四边形PCQE

26、 是正方形， 在 EPM和 EQN中， ， EPM EQN （ASA ） SEQN=SEPM， 四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积， 正方形ABCD 的边长为a， AC=a， EC=2AE ， EC=a， EP=PC= a， 正方形PCQE 的面积 =aa=a 2， 四边形EMCN 的面积 =a 2， 第 21 页 共 43 页 故选： D 二、解答题（共21 小题） 10如图，已知AB DE ，AB=DE ，AF=CD ，CEF=90 （1）若 ECF=30 ， CF=8 ，求 CE的长； （2）求证： ABF DEC ； （3）求证：四边形BCEF是矩形 【解答】（ 1）解：

27、 CEF=90 cosECF= ECF=30 ， CF=8 CF=CF ?cos30=8=4； （2）证明： AB DE ， A=D， 在 ABF和 DEC中 ABF DEC （ SAS ）； （3）证明：由（2）可知： ABF DEC ， BF=CE ， AFB=DCE ， AFB+BFC=180 ， DCE+ ECF=180 ， BFC= ECF ， BF EC ， 四边形BCEF是平行四边形， 第 22 页 共 43 页 CEF=90 ， 四边形BCEF是矩形 11已知 ABC为等边三角形，D为 AB边所在的直线上的动点，连接DC ，以 DC为边在 DC两侧作等 边 DCE和等边 DCF

28、 （点 E在 DC的右侧或上侧，点F在 DC左侧或下侧），连接AE 、BF （1）如图 1，若点 D在 AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE 、BF和 AB有怎样的数量关系？ 并证明你的结论； （2）如图 2，若点 D在 AB的延长线上，其他条件不变，线段AE 、BF和 AB有怎样的数量关系？请 直接写出结论（不需要证明）； （3）若点 D在 AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3 中画出图形，探究线段AE 、BF和 AB 有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明） 【解答】解：（1）AE+BF=AB ，如图 1， ABC和 DCF是等边三角形， CA=CB ，CD=CF ， A

29、CB= DCF=60 ACD= BCF ， 在 ACD和 BCF中 ACD BCF （SAS ） AD=BF 同理： CBD CAE （SAS ） BD=AE AE+BF=BD+AD=AB； （2）BFAE=AB ， 第 23 页 共 43 页 如图 2，易证 CBF CAD和 CBD CAE ， AD=BF ，BD=AE ， BF AE=AD BD=AB ； （3）AE BF=AB ， 如图 3，易证 CBF CAD和 CBD CAE ， AD=BF ，BD=AE ， BF AE=AD BD=AB 12（ 2013? 舟山）如图，ABC与 DCB中， AC与 BD交于点 E，且 A=D，AB

30、=DC （1）求证： ABE DCE ； （2）当 AEB=50 ，求EBC的度数？ 第 24 页 共 43 页 【解答】（ 1）证明：在ABE和 DCE中 ABE DCE （AAS ）； （2）解： ABE DCE ， BE=EC ， EBC= ECB ， EBC+ ECB= AEB=50 ， EBC=25 13如图，在 ABC中， C=90 ， AD平分 CAB ，交 CB于点 D，过点 D作 DE AB于点 E （1）求证： ACD AED ； （2）若 B=30 ， CD=1 ，求 BD的长 【解答】（ 1）证明： AD平分 CAB ，DE AB ，C=90 ， CD=ED ， DEA

31、= C=90 ， 在 RtACD和 RtAED中 Rt ACD Rt AED （HL）； （2）解： DC=DE=1 ，DE AB ， 第 25 页 共 43 页 DEB=90 ， B=30 ， BD=2DE=2 14如图，点D，E在 ABC的边 BC上， AB=AC ， BD=CE 求证： AD=AE 【解答】证明：AB=AC ， B=C， 在 ABD与 ACE中， ， ABD ACE （SAS ）， AD=AE 15已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD ，AB CD 求证： AB=CD 【解答】证明：ABCD ， B=C， A=D， 在 AOB和 DOC 中， ， AOB DOC

32、（AAS ）， AB=CD 第 26 页 共 43 页 16如图，把一个直角三角形ACB （ACB=90 ）绕着顶点B顺时针旋转60，使得点C旋转到 AB 边上的一点D，点 A旋转到点E的位置 F，G分别是 BD ，BE上的点， BF=BG ，延长 CF与 DG交于点 H （1）求证： CF=DG ； （2）求出 FHG的度数 【解答】（ 1）证明：在CBF和 DBG 中， ， CBF DBG （SAS ）， CF=DG ； （2）解： CBF DBG ， BCF= BDG ， 又 CFB= DFH ， 又 BCF中， CBF=180 BCF CFB ， DHF中， DHF=180 BDG D

33、FH ， DHF= CBF=60 ， FHG=180 DHF=180 60=120 第 27 页 共 43 页 17如图，点B、F、C 、 E在一条直线上，FB=CE ，ABED ，AC FD，求证： AC=DF 【解答】证明：FB=CE ， FB+FC=CE+FC， BC=EF ， AB ED ，AC FD， B=E， ACB= DFE ， 在 ABC和 DEF中， ， ABC DEF （ASA ）， AC=DF 18 如图，ABC和 ADE都是等腰三角形， 且BAC=90 ， DAE=90 ， B， C，D在同一条直线上 求 证： BD=CE 【解答】证明：ABC和 ADE都是等腰直角三角

34、形 AD=AE ，AB=AC ， 又 EAC=90 +CAD ，DAB=90 +CAD ， 第 28 页 共 43 页 DAB= EAC ， 在 ADB和 AEC中 ADB AEC （SAS ）， BD=CE 19如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF ，AB DE ， A=D求证： AB=DE 【解答】证明：BE=CF ， BC=EF AB DE ， B= DEF 在 ABC与 DEF中， ， ABC DEF （AAS ）， AB=DE 20已知 ABC为等腰直角三角形，ACB=90 ， 点 P在 BC边上（P不与 B 、C重合） 或点 P在 ABC 内部，连接CP 、 BP

35、，将 CP绕点 C逆时针旋转90，得到线段CE；将 BP绕点 B顺时针旋转90， 得到线段BD ，连接 ED交 AB于点 O （1）如图 a，当点 P在 BC边上时，求证：OA=OB ； （2）如图 b，当点 P在 ABC内部时， OA=OB 是否成立？请说明理由； 直接写出 BPC为多少度时， AB=DE 第 29 页 共 43 页 【解答】（ 1）证明：ABC为等腰直角三角形， CA=CB ， A=ABC=45 ， 由旋转可知： CP=CE ，BP=BD ， CA CE=CB CP ， 即 AE=BP ， AE=BD 又 CBD=90 ， OBD=45 ， 在 AEO和 BDO中， ， A

36、EO BDO （AAS ）， OA=OB ； （2）成立，理由如下： 连接 AE ，则 AEC BCP ， AE=BP ， CAE= BPC ， BP=BD ， BD=AE ， OAE=45 +CAE ，OBD=90 OBP=90 （ 45BPC ）=45 + PBC ， OAE= OBD ， 在 AEO和 BDO中， ， AEO BDO （AAS ）， 第 30 页 共 43 页 OA=OB ， 当 BPC=135 时， AB=DE 理由如下： 解法一： 当 AB=DE 时，由知OA=OB ， OA=OB=OE=OD 设PCB= ，由旋转可知， ACE= 连接 OC ，则 OC=OA=OB，

37、 OC=OE ， DEC= OCE=45 + 设PBC= ，则 ABP=45 ， OBD=90 ABP=45 + OB=OD ， D=OBD=45 + 在四边形BCED 中， DEC+ D+DBC+ BCE=360 ， 即：（ 45 +） +（45 +） +（90 +） +（90 +）=360， 解得： +=45， BPC=180 （+）=135 解法二（本溪赵老师提供，更为简洁）： 当 AB=DE 时，四边形AEBD 为矩形 则DBE=90 = DBP ， 点 P落在线段BE上 ECP为等腰直角三角形， EPC=45 ， BPC=180 EPC=135 21（ 1）如图 1，在 ABC和 D

38、CE中， AB DC ，AB=DC ，BC=CE ，且点 B，C，E在一条直线上求 证： A=D （2）如图 2，在矩形 ABCD中，对角线AC ，BD相交于点O，AB=4 ，AOD=120 ，求AC的长 第 31 页 共 43 页 【解答】（ 1）证明： AB DC ， B=DCE ， 在 ABC和 DCE中， ABC DCE （SAS ）， A=D； （2）解：四边形ABCD 是矩形， AO=BO=CO=DO， AOD=120 ， AOB=60 ， AOB是等边三角形， AO=AB=4 ， AC=2AO=8 22（ 1）如图， AB平分 CAD ，AC=AD ，求证： BC=BD ； （2

39、）列方程解应用题 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3 本，则剩余20 本；如果每人分4 本，则还缺25 本， 这个班有多少学生？ 【解答】（ 1）证明： AB平分 CAD ， CAB= DAB ， 在 ABC和 ABD中 第 32 页 共 43 页 ABC ABD （SAS ）， BC=BD （2）解：设这个班有x 名学生，根据题意得：3x+20=4x25， 解得： x=45， 答：这个班有45 名学生 23已知：如图，D是 AC上一点， AB=DA ，DE AB ， B=DAE 求证： BC=AE 【解答】证明：DEAB ， CAB= ADE ， 在 ABC和 DAE中， ， ABC

40、DAE （ASA ）， BC=AE 24【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ ASA ”、“ AAS ”、“ SSS ”）和直角三角形全等的判 定方法（即“ HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进 行研究 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和 DEF中， AC=DF ，BC=EF ， B=E，然后，对B 进行分类，可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究 第 33 页 共 43 页 【深入探究】 第一种情况：当B是直角时， ABC DEF （1）如图，在ABC和 DEF ，AC=DF ，BC=EF ， B

41、=E=90 ，根据HL ，可以知道RtABC Rt DEF 第二种情况：当B是钝角时， ABC DEF （2）如图，在ABC和 DEF ，AC=DF ，BC=EF ， B= E ，且 B、 E都是钝角，求证：ABC DEF 第三种情况：当B是锐角时， ABC和 DEF不一定全等 （3）在 ABC和 DEF ，AC=DF ，BC=EF ， B=E，且 B 、 E都是锐角，请你用尺规在图中作出 DEF ，使 DEF和 ABC不全等（不写作法，保留作图痕迹） （4） B还要满足什么条件， 就可以使 ABC DEF ？请直接写出结论： 在 ABC和 DEF中， AC=DF ， BC=EF ， B= E

42、，且 B、 E都是锐角，若 B A ，则 ABC DEF 【解答】（ 1）解： HL ； （2）证明：如图，过点C作 CG AB交 AB的延长线于G，过点 F 作 FH DE交 DE的延长线于H， ABC= DEF ，且 ABC 、 DEF都是钝角， 180 ABC=180 DEF ， 即 CBG= FEH ， 在 CBG和 FEH中， ， 第 34 页 共 43 页 CBG FEH （AAS ）， CG=FH ， 在 RtACG和 Rt DFH中， ， Rt ACG Rt DFH （HL）， A=D， 在 ABC和 DEF中， ， ABC DEF （AAS ）； （3）解：如图，DEF和 A

43、BC不全等； （4）解：若 B A ，则 ABC DEF 故答案为：（ 1）HL；（ 4） B A 25（ 2014? 德州）问题背景： 如图 1：在四边形ABCD中，AB=AD ，BAD=120 ， B=ADC=90 E，F 分别是 BC ，CD上的点且 EAF=60 探究图中线段BE ，EF，FD之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点 G 使 DG=BE 连结 AG ，先证明 ABE ADG ，再证明 AEF AGF ，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF ； 第 35 页 共 43 页 探索延伸： 如图 2，若在四边形ABCD 中， AB=AD ， B+D=180

44、E，F分别是 BC ， CD上的点，且 EAF= BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的 A处，舰艇乙在指挥中心南 偏东 70的 B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里 / 小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80 海里 / 小时的速度前进.1.5小时后，指挥 中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F 处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的 距离 【解答】解：问题背景：EF=BE+DF ； 探索延伸： EF=BE+DF 仍然成立 证明如下：如图，延长FD到 G ，使