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1、2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题）2 一填空题（共10 小题） 1已知 x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2的值为 2两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分 解成 2（x1） （x9） ；另一位同学因看错了常数项分解成2（x2） （x4） ， 请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： 3若多项式 x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则m 的值是 4分解因式： 4x 24x3= 5利用因式分解计算： 202 2+202196+982= 6ABC三边 a，b，c 满足 a 2+b2+c2=ab+bc+ca，则 ABC的形状是 7计算： 12
2、22+3242+5262+ 1002+1012= 8定义运算 ab=（1a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论： 2（ 2）=3 ab=ba 若 a+b=0，则（ aa）+（bb）=2ab 若 ab=0，则 a=1或 b=0 其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号） 9如果 1+a+a 2+a3=0，代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 10若多项式 x 26xb 可化为（ x+a）21，则 b 的值是 二解答题（共20 小题） 11已知 n 为整数，试说明（ n+7）2（n3）2的值一定能被 20 整除 12因式分解： 4x2y4xy+y 13因式分解 （1
3、）a3ab2 （2） （xy）2+4xy 14先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m 和 n 的值 解： m2+2mn+2n26n+9=0 m2+2mn+n2+n26n+9=0 （m+n）2+（n3）2=0 m+n=0，n3=0 m=3，n=3 问题： （1）若 x2+2y22xy+4y+4=0，求 x y 的值 （2）已知ABC的三边长 a，b，c都是正整数，且满足a 2+b26a6b+18+| 3 c| =0，请问 ABC是怎样形状的三角形？ 15 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为 “ 和 谐数” 如 4=2 202
4、，12=4222，20=6242，因此 4，12，20 这三个数都是和 谐数 （1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数 构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？ （3）介于 1 到 200 之间的所有 “ 和谐数 ” 之和为 16如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形、长为b 宽为 a 的长方形以及 边长为 b 的大正方形的纸片 （1）如果现有小正方形 1 张，大正方形 2 张，长方形 3 张，请你将它们 拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系， 将 多项式 a2+3
5、ab+2b2分解因式 （2） 已知小正方形与大正方形的面积之和为169，长方形的周长为34， 求长方形的面积 （3）现有三种纸片各 8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张， 把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求 可以拼成多少种边长不同的正方形 17 （1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1 所示，用若干块这样的硬纸片 拼成一个新的长方形，如图2 用两种不同的方法，计算图2 中长方形的面积； 由此，你可以得出的一个等式为： （2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3 所示 请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图； 请你用拼图等方法推出2a2+5
6、ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图 18已知 a+b=1，ab=1，设 s1=a+b，s2=a 2+b2，s 3=a 3+b3， ，s n=a n+bn （1）计算 s2； （2）请阅读下面计算 s3的过程： 因为 a+b=1，ab=1， 所以 s3=a 3+b3=（a+b） （a2+b2）ab（a+b）=1s 2（ 1）=s2+1= 你读懂了吗？请你先填空完成（2）中 s3的计算结果，再用你学到的方法计算 s4 （3）试写出 sn2，sn1，sn三者之间的关系式； （4）根据（ 3）得出的结论，计算s6 19 （1）利用因式分解简算： 9.82+0.49.8+0.04 （2）分解因式：
7、 4a（a1）2（1a） 20阅读材料：若 m 22mn+2n28n+16=0，求 m、n 的值 解： m22mn+2n28n+16=0，（ m22mn+n2）+（n28n+16）=0 （mn） 2+（n4）2=0，（ mn）2=0， （n4）2=0，n=4，m=4 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 xy 的值 （2）已知 ABC的三边长 a、b、c都是正整数，且满足a 2+b26a8b+25=0， 求ABC的最大边 c 的值 （3）已知 ab=4，ab+c26c+13=0，则 ab+c= 21仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式
8、x24x+m 有一个因式是（ x+3） ，求另一个因式以及m 的值 解：设另一个因式为 （x+n） ， 得 x24x+m= （x+3）（x+n） ， 则 x 24x+m=x2+ （n+3） x+3n n+3=4 m=3n 解得：n=7，m=21 另一个因式为（ x7） ，m 的值为 21 问题： （1）若二次三项式 x25x+6 可分解为（ x2） （x+a） ，则 a=； （2）若二次三项式 2x2+bx5 可分解为（ 2x1） （x+5） ，则 b=； （3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x 2+5xk 有一个因式是 （2x3） ，求另一个因式以及k 的值 22分解因式： （1
9、）2x2x； （2）16x21； （3）6xy29x2yy3； （4）4+12（xy）+9（xy）2 23已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2） ，试确定 三角形的形状 24分解因式 （1）2x44x2y2+2y4 （2）2a 34a2b+2ab2 25图是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四 块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形 （1）图中的阴影部分的面积为； （2）观察图请你写出三个代数式（m+n）2、 （mn） 2、mn 之间的等量关 系是 （3）若 x+y=7，xy=10，则（ xy）2= （4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示 如图，它表示了