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1、辽宁省大连市2012-2013 学年高一上学期期末考试数学试题 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分考生作答时，将答案答在答题卡上，在本 试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 参考公式：球的体积公式 3 4 3 VR，球的表面积公式 2 4SR. 第 I 卷 一选择题 : 本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 . 1.下列图形中 , 表示集合NM关系的韦恩图是（） 2已知直线10xmy与直线220xy平行，则m的值为（） A. 2 B. 1 2 C. 2 D. 1 2 3. 函数 3 ( )f xx
2、的图像关于（） A y轴对称 B 坐标原点对称 C 直线xy对称 D 直线xy对称 4. 直 线l的 方 程 是5x， 圆C的 方 程 是 22 (2)9xy, 则 直 线l与 圆C的 位 置 关 系 是 （） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 5已知函数，则的值是 ( ) A. B. C. 4 D. 9 6如图为函数lnymx的图像，其中 m、n常数，则下列结论正确的是 （） A0,1mn B0,1mn C0,01mn D 0,01mn 7在用二分法求方程 3 210xx的一个近似解时，现已经确定一根在区间(1,2)内，则下一步可断定 该根所在的区间为( ) A(1.4,
3、2)B(1,1.4)C 3 (1, ) 2 D 3 (,2) 2 8已知函数 2 2 log (2)yxkxk的值域为 R,则 k的取值范围是（） A . 01k B 0 1kC.0k 或 1kD.0k 或 1k x x xf 3 log )( 2 )0( )0( x x ) 4 1 ( ff 9 1 4 1 O 1 x y 9在下列正方体中，有ABCD的是（） A B C D 10. 若过点(4,0)A的直线l与曲线 22 (2)1xy有公共点， 则直线l的斜率的取值范围 为（） A3,3B(3,3)C 33 , 33 D 33 (,) 33 11点(4,2)P与圆 22 4xy上任一点连线
4、的中点轨迹方程是() A 22 (2)(1)1xyB 22 (2)(1)4xy C 22 (4)(2)4xy D 22 (2)(1)1xy 12 已知函数yfx的定义域为D， 若对于任意的 1 x， 2 xD 12 xx， 都有 12 12 22 fxfx xx f， 则称yfx为D上的凹函数由此可得下列函数中的凹函数为（） A 2 logyxByxC 3 yxD 2 yx 第卷（非选择题，共90 分） 二. 填空题 :( 本大题共4 小题 , 每小题 5 分, 共 20 分, 把答案填在答卷纸的相应位置上) 13设 2. 0 3a， 2 1 logb， 30 2 1 c，则cba,从大到小的
5、顺序为. 14. 过点1, 2引一直线，使其倾斜角为直线:l30xy的倾斜角的两倍，则该直线的方程是 _. 15给出下列四个命题： 若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面； 若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面； 若直线l平面，直线m 平面，则lm； 若直线a直线b，且直线 la，则lb 其中正确命题的序号是 16 从点P出发三条射线,PA PB PC两两成 60角，且分别与球O相切于,A B C三点， 若球的体积为 4 3 ， 则OP的距离为 三. 解答题 ( 本大题共6 小题 , 共 70 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17( 本小
6、题满分10 分) 1) 2( 22 yx D C B A D C B A A D C B B D A C 定义在 R 上的函数( )yf x是偶函数，当x0 时， 2 483f xxx（ ）. （）当0x时，求( )fx的解析式； （）求( )yf x的最大值，并写出( )f x在 R 上的单调区间（不必证明）. 18( 本小题满分12 分) 如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD， 60ABC，PAACa，2PBPDa， 点E是PD的中点证明： （）PA平面ABCD； （）PB平面EAC 19. (本小题满分12 分) 如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图(其中主视图为直角梯形，俯视图为正
7、方形，左视图为直 角三角形，尺寸如图所示)， ( )求四棱锥PABCD的体积； ( ) 若G为BC的中点，求证：AEPG. 20.( 本小题满分12 分 ) 已知 2 ( )3g xx，( )f x是二次函数， 当 1,2x时，( )f x的最小值为1， 且( )( )f xg x为奇函数， 求函数( )f x的表达式 21(本小题满分12 分) 已知圆M过两点A(1， 1)，B(1,1)，且圆心M在20xy上 4 42 4 22 22 主视图 左视图 俯视图 (1)求圆M的方程； (2)设 P 是直线3480xy上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边 形PCMD面积的最小
8、值 22 （本题满分12 分） 定 义 ： 对 于 任 意 x0, 1， 函 数 恒 成 立 ， 且 当时 ， 总 有 成立，则称( )f x为G函数 已知函数 2 ( )g xx与( )21 x h xa是定义在0, 1上的函数 （1）试问函数( )g x是否为 G函数？并说明理由； （2）若函数( )h x 是G函数，求实数a的值； （3）在（ 2）的条件下，利用函数图象讨论方程(2 )( 21) x ghxm(R)m解的个数情况 ( )0f x 1212 0,0,1xxxx 1212 ()()()f xxf xf x 高一期末测试卷 数学参考答案与评分标准 一选择题 1. C；2A；3.
9、B；4.B；5A；6D；7D； 8C；9A；10.C；11A；12D 二. 填空题 13a cb；141x ；15， ；163 三. 解答题 17解：（）设x0，则 0x ， 22 ()4()8()3483fxxxxx， 2分 ( )f x是偶函数，()( )fxf x， 0x时， 2 ( )483f xxx 5分 （）由（）知 2 2 4(1)1(0) ( ) 4(1)1(0) xx f x xx ， 6分 ( )yf x开口向下，所以( )yf x有最大值(1)( 1)1ff 8分 函数( )yf x的单调递增区间是（-， -1 和0，1； 单调递减区间是-1，0和 1，+ 10分 18证
10、明：（1）底面ABCD为菱形，60ABC， ABBCCDDAACa 2分 PAAC，PAABa，2PBa， PAAB，同理可证PAAD， 4分 又ABADA，PA平面ABCD 6分 （2）连结ACBD，相交于O，则O为BD的中点 E为PD的中点，PBOE 8分 又OE平面EAC，PB平面EAC， 10分 PB平面EAC 12分 19. 解 ( )由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4 的正方形， 2 分 PA面ABCD，PAEB，且PA42，BE22，ABADCDCB4， 4分 VPABCD 1 3PA xSABCD 1 34 244 642 3 . . . 5分 ( )连BP， EB
11、AB BA PA 1 2 ，EBABAP90， 7分 EBABAP，PBABEA， . 8分 PBABAEBEABAE90，PBAE. . 10分 又BC面APEB，BCAE，AE面PBG，AEPG. 12分 20. 解：设,0 2 acbxaxxf 则31 2 cbxxaxgxf 2 分 又xgxf为奇函数，3, 1 ca 4 分 , 3 2 bxxxf对称轴 2 b x 当2 2 b 时，( )f x在2, 1上为减函数 ( )f x的最小值为13242bf3b又4b， 此时无解 6 分 当2 2 1 b 时，1 4 3 2 2 min bb fxf22b 2224bb，此时 , 322
12、2 xxxf 8 分 当1 2 b 时，( )f x在2, 1上为增函数( )f x的最小值为141bf 3b，又满足2b, 33 2 xxxf 10 分 综上所述，, 322 2 xxxf或33 2 xxxf 12 分 21解： (1) 法一 : 线段AB的中点为 (0,0),其垂直平分线方程为0xy 2 分 解方程组 0, 20. xy xy 所以圆M的圆心坐标为(1,1) 故所求圆M的方程为： 22 (1)(1)4xy 4 分 法二 : 设圆M的方程为： 222 ()()xaybr， 根据题意得 222 222 (1)( 1), ( 1)(1), 20. abr abr ab 2 分 解
13、得1,2abr 故所求圆M的方程为： 22 (1)(1)4xy 4 分 (2) 由题知，四边形PCMD的面积为 11 22 PMCPMD SSSCMPCDMPD. 6 分 又2CMDM,PCPD， 所以2SPC，而 222 |4PCPMCMPM， 即 2 |4SPM 8 分 因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可， 即在直线3480xy上找一点P，使得PM的值最小， 所以 min 22 3 1 4 18 3 34 PM ， 10 分 所以四边形PCMD面积的最小值为 22 |42 342 5SPM. 12 分 22解： （1） 当时，总有 2 g xx0( )，满足条件， 1分 当时， 2
14、2222 121212121212 g xxxxxx2x xxxg xg x()()()()， 满足条件 3分 （2）( )21 x h xa是G函数，210 x a， 1 2 x a恒成立 4分 a1 5分 由 1212 g xxg xg x()()()，得 1212 xxxx a 21a 21a 21， 即 12 xx a121 211()()， 6分 因为 所 以 1 x 0211 2 x 0211 1 x与 2 x不 同 时 等 于1 11 xx 021 211()()， 11 xx 0121 211()()， 11 xx 1 a 121 21()() 7分 当 12 xx0时， 11 xx 1 1 121 21 min () ()() ，a1， 8分 综合上述 a的值为 1. 8分 0,1x 1212 0,0,1xxxx 1212 0,0,1xxxx （3）根据知：a=1，方程为 x2x1 421m， 9分 令 x 4tt1 4 , 方程为 2 tm1 t 图（略） 10分 由图形可知： 当 7 m2 212 2 ( ,时，有一解； 当m2 21 2(, 时，有二不同解； 当 7 m2 21 2 (,)(,)时，方程无解 2分