2013年秋北师大版必修1示范教案3.4.1对数及其运算(2).pdf

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1、41 对数及其运算 (2) 导入新课 思路 1. 上节课我们学习了以下内容： 1对数的定义 2指数式与对数式的互化 a b Nlog aNb. 3重要公式： (1) 负数与零没有对数；(2)log a10，logaa 1；(3) 对数恒等式 alog aNN. 下面我们接着讲对数的运算性质教师板书课题 思路 2. 我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则 a m a n a m n； a m a n a m n；( a m ) n a mn ； m a n n m a. 从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和 指数相类似的运算法则呢？

2、答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题 推进新课 新知探究 提出问题 1在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数 的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？ 2如我们知道a m M，a n N，a m a n a m n，那 mn如何表示，能用对数式运算吗？ 3在 上述24 你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述. 5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？ 6上述结论能否推广呢？ 7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？ 讨论结果： (1) 通过问题 (2) 来说明 (2) 如a m a n a m n，设 Ma m ，Na

3、n，于是 MNa m n，由对数的定义得到 Ma m mlog aM，Na n nlog aN， MNa m n mnlogaMN， logaMNlogaMlogaN. 因此mn可以用对数式表示 (3) 令Ma m ，Na n，则M N a m a n a mn，所以 mnlogaM N . 又由Ma m ，Na n，所以 mlogaM，nlogaN. 所以 logaMlogaNmnlogaM N ， 即 logaM N logaM logaN. 设Ma m ，则M n( a m ) n a mn . 由对数的定义， 所以 logaMm，logaM n mn. 所以 logaM n mnnlo

4、gaM，即 logaM n nlogaM. 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a0，a1，M0，N0，则有 loga(MN) logaMlogaN， logaM N logaMlogaN， logaM n nlogaM(nR) (4) 以上三个性质可以归纳为： 性质：两数积的对数，等于各数的对数的和； 性质：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质：幂的对数等于幂指数乘底数的对数 (5) 利用对数运算性质进行运算，所以要求a0，a1，M0，N0. (6) 性质可以推广到n个数的情形： 即 loga(M1M2M3Mn) logaM1logaM2logaM3 logaMn( 其中a

5、0，a1，M1M2M3Mn 均大于 0) (7) 纵观这三个性质我们知道， 性质的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算 性质的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左 是一个升级运算 性质从左往右仍然是降级运算 利用对数的性质可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差 运算，大大的方便了对数式的化简和求值 应用示例 思路 1 例 1 用 logax，logay，logaz表示下列各式： (1)log a(x 2yz) ；(2)log a x 2 yz ；(3)log a x y 2z. 活动： 学生思考观察，教师巡视，检查学

6、生解题情况，发现问题及时纠正 利用对数的运算性质，把整体分解成部分 对(1) 可先利用性质1，转化为两数对数的和，再利用性质3，把幂的对数转化为两数对 数的积 对(2)(3)可先利用性质2，转化为两数对数的差，再利用性质1，把积的对数转化为两 数对数的和，最后利用性质3，转化为幂指数与底数的对数的积 解： (1)log a(x 2yz) log ax 2log aylogaz2logaxlogay logaz. (2)loga x 2 yz log ax 2log a(yz) 2logaxlogaylogaz. (3)loga x y 2zlogax loga(y 2z) 1 2log ax2

7、logaylogaz. 点评： 对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算 变式训练 1若a0，a1，x0，y0，xy，下列式子正确的个数为( ) logaxlogayloga(xy) logaxlogayloga(xy) logax ylog axlogayloga(xy) logaxlogay A0 B 1 C 2 D 3 答案： A 2若a0，a1，xy0，nN，下列式子正确的个数为( ) (log ax) n nlogax(log ax) n log ax n logax loga1 x logax logaylog ax y n logax 1 nlog a

8、x 1 nlog axloga n x log ax nnlog ax log ax y xy log ax y xy A3 B 4 C 5 D6 答案： B 例 2 计算： (1)log3(9 235) ； (2) 1 5 lg100. 活动： 学生审题，回顾对数的运算性质和运算顺序，严格按性质和法则解题，注意运算 结果的准确性 解： (1)log3(9 235) log 39 2log 33 5log 33 45log 33459； (2)lg 1 5 100 1 5lg 10 21 52 2 5. 例 3 计算： (1)lg 142lg 7 3lg 7 lg 18 ； (2) lg 24

9、3 lg 9 ；(3) lg27lg 8 3lg10 lg 1.2 . 解： (1) 解法一： lg 14 2lg 7 3lg 7 lg 18 lg(2 7) 2(lg 7 lg 3) lg 7 lg(3 22) lg 2 lg 7 2lg 7 2lg 3 lg 7 2lg 3 lg 2 0. 解法二： lg 14 2lg 7 3 lg 7 lg 18 lg 14 lg 7 3 2lg 7 lg 18 lg 147 7 3 218lg 1 0. (2) lg 243 lg 9 lg 3 5 lg 3 2 5lg 3 2lg 3 5 2. (3) lg27lg 8 3lg10 lg 1.2 lg

10、3 3 1 2lg 2 33lg 10 1 2 lg 32 2 10 3 2 lg 3 2lg 2 1 lg 3 2lg 2 1 3 2. 点评： 此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3) 题各部分变 形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2) 题要避免错用对数运算性质特别是 对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视 例 4 科学家以里氏震级来度量地震的强度若设I为地震时所散发出来的相对能量程 度，则里氏震级r可定义为r0.6lg I，试比较6.9 级和 7.8 级地震的相对能量程度 解： 设 6.9 级和 7.8 级地震的相对能量程度分别为I1和I2

11、，由题意，得 6.9 0.6lg I1， 7.8 0.6lg I2. 因此 0.6(lg I2lg I1) 0.9 ， 即 lg I2 I11.5. 所以 I2 I1 10 1.5 32. 因此， 7.8 级地震的相对能量程度约为6.9 级地震的相对能量程度的32 倍 思路 2 例 1 求下列各式的值 (1)log525； (2)log0.41；(3)log2(4 725) ； (4)lg 5 100. 解法一： (1)log 525log55 22； (2)log0.410； (3)log 2(4 725) log 24 7log 22 5 log 22 27 log 22 527 519；

12、 (4)lg 5 1001 5lg 10 22 5lg 10 2 5. 解法二： (1) 设 log525x，则 5 x2552，所以 x2； (2) 设 log0.41x，则 0.4 x10.40，所以 x0； (3)log 2(4 725) log 2(2 1425) log 22 1919， 或 log2(4 725) log 24 7log 22 57log 22 2log 22 527 519； (4) 设 lg 5 100x，则 10 x 1 5 100 2 5 10，所以x 2 5. 点评： 此题关键是要记住对数运算性质的形式 例 2 计算： (1)2log510log50.25

13、 ；(2)2log5253log264；(3)log2(log216) 解： (1) 因为 2log510log510 2log 5100，所以 2log510log50.25 log5100log50.25 log5(1000.25) log55 22log 552； (2) 因为 2log5252log55 24log 554,3log2643log22 618log 2218， 所以 2log5253log26422； (3) 因为 log216log22 44，所以 log 2(log216) log24log22 22. 点评： 要注意灵活运用对数的运算性质，特别是公式的逆用 例 3

14、 计算下列各式的值： (1) 1 2lg 32 49 4 3lg 8lg245； ( 2)lg 5 22 3lg 8 lg 5 lg 20 (lg 2) 2； (3) lg2lg 3 lg10 lg 1.8 . 活动： 学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导：将真数中的积、商、幂化 为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质先利用对数的性质把积、商、幂化为对 数的和、差、积进行计算再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的 积、商、幂再计算 (1) 解法一： 1 2lg 32 49 4 3lg 8lg245 1 2(5lg 2 2lg 7) 4 3 3 2lg 2 1

15、2(2lg 7 lg 5) 5 2lg 2 lg 7 2lg 2 lg 7 1 2lg 5 1 2lg 2 1 2lg 5 1 2(lg 2 lg 5) 1 2lg 10 1 2. 解法二： 1 2lg 32 49 4 3lg 8lg245lg 42 7 34 23 lg2 lg 75 lg 4275 74 lg(25) lg10 1 2. (2) 解法一： lg 5 22 3lg 8 lg 5 lg 20 (lg 2) 2 2lg 5 2lg 2 lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2) 2 2lg 10 (lg 2lg 5) 2 2(lg 10)2213. 解法二： lg 5 22 3l

16、g 8 lg 5 lg 20 (lg 2) 2 2lg 5 2lg 2 lg 5(2lg 2 lg 5) (1 lg 5) 2 2lg 10 lg 52(1lg 5)lg 5(1 lg 5) 22lg 5(2 lg 5)(1 lg 5) 2 22lg 5 (lg 5) 212lg 5 (lg 5)23. (3) 解法一： lg2lg 3 lg10 lg 1.8 1 2 lg 2 lg 9 lg 10 lg 1.8 lg 18 10 2lg 1.8 lg 1.8 2lg 1.8 1 2. 解法二： lg2lg 3 lg10 lg 1.8 1 2lg 2 lg 3 1 2 lg 18 10 1 2

17、lg 2 lg 3 1 2 2lg 3 lg 2 1 1 2 2lg 3 lg 2 1 2lg 3 lg 2 1 1 2. 点评： 这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、 幂运用对数的运算 法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算 法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值 例 4 已知a，b，c均为正数， 3 a4b6c，求证： 2 a 1 b 2 c. 活动： 学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程从求证的结论看，解题的 关键是设法把a，b，c从连等号式中分离出来，为便于找出a，b，c的关系，不

18、妨设3 a4b 6 c k(k0)，则a，b，c就可用这一变量k表示出来，再结合对数的运算性质就可证得 结论 证法一：设3 a4b6c k，则k 0. 由对数的定义得alog3k，blog4k，clog6k， 则左边 2 a 1 b 2 log3k 1 log4k2log k3logk4logk9logk4logk36， 右边 2 c 2 log6k2log k6logk36，所以 2 a 1 b 2 c. 证法二：对3 a4b6c 同时两边取常用对数得lg 3 alg 4b lg 6c， alg 3blg 4clg 6. 所以 c a lg 3 lg 6 log63， c b lg 4 lg

19、 6 log64. 又 2c a c blog 6(94) 2，所以 2 a 1 b 2 c. 点评： 本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质灵活运用指数、对数的概念及性 质解题，适时转化 知能训练 1用 logax， logay，logaz，loga(xy) ，loga(xy) 表示下列各式： (1)log a 3 x y 2z；(2)loga x 4 z 3 y 2 ；(3)log a( 21 32 xy z ) ；(4)log a xy x 2 y 2； (5)loga xy xy y；(6)loga y xxy 3. 解： (1)log a 3 x y 2zloga 3 xlog a

20、y 2z1 3log ax(2logaylogaz) 1 3log ax2logaylogaz； (2)log a x 4 z 3 y 2 logax loga 4 z 3 y 2 logax1 4(log az 3 log ay 2) logax2 4log ay3 4log azlogax1 2log ay 3 4log az； (3) loga( 21 3 2 xy z ) logaxlogay 1 2 2 3 logaz logax 1 2log ay2 3log az； (4)log a xy x 2 y 2logaxyloga(x 2 y 2) log ax logayloga(x

21、y)(xy) logaxlogayloga(xy) loga(xy) ； (5)loga xy xy ylogax y xylog ayloga(xy) loga(xy) logay； (6)loga y xxy 33log aylogaxloga(xy) 3logay3logax 3loga(xy) 2已知f(x 6) log 2x，则f(8) 等于 ( ) A. 4 3 B 8 C18 D. 1 2 分析： 因为f(x 6 )log2x，x0，令x 6 8，得x 3 6 2 1 2 2，所以f(8) 1 2 2 log 2 1 2. 解析： 因为f(x 6) log 2x 1 6log 2

22、x 6，所以 f(x) 1 6log 2x. 所以f(8) 1 6log 28 1 6log 22 31 2. 答案： D 拓展提升 已知x，y，z0，且 lg xlg ylg z0，求 11 lglgyz x 11 lglgzx y 11 lglgxy z 的值 活动： 学生讨论、交流、思考，教师可以引导大胆设想，运用对数的运算性质由于 所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性 质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为 t. 解： 令 11 lglgyz x 11 lglgzx y 11 lglgxy z t，则

23、lg t 1 lg y 1 lg z lg x 1 lg z 1 lg x lg y 1 lg x 1 lg y lg z lg x lg y lg x lg z lg y lg z lg y lg x lg z lg x lg z lg y lg xlg z lg y lg xlg y lg z lg y lg z lg x lg y lg y lg z lg z lg x lg x 3， 所以t10 3 1 1 000 即为所求 课堂小结 1对数的运算法则 2对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用 3对数与指数形式比较： 式子a b N logaNb 名称 a幂的底数 b幂的指数

24、N幂值 a对数的底数 b以a为底的N的对数 N真数 运算 性质 a m a n a m n； a m a n a mn； (a m ) n a mn (a0，a1，m、nR) loga(MN) logaMlogaN； logaM N logaMlogaN； logaM n nlogaM(nR) (a0，a1，M0，N0) 作业 习题 34 A组 6,7,8. 设计感想 在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算法则， 推出了对数的运算法则，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性 质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字 母的取值范围， 由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练 习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务 ( 设计者：卢岩冰)