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1、53 对数函数的图像和性质(2) 导入新课 思路 1. 复习指数函数与对数函数的关系，那么函数ya x 与函数ylogax到底还有什 么关系呢？这就是本堂课的新内容反函数 思路2. 在比较系统地学习对数函数的定义、图像和性质的基础上，利用对数函数的图 像和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图像和性质，特别明确了对数函 数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题因此，搞清ya x 与函数y logax的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力 推进新课 新知探究 提出问题 用列表描点法在同一个直角坐标系中画出xlog2y与y2 x 与y log2x的函数图
2、像 . 通过图像探索在指数函数y2 x 中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量， x当成因变量，那么x是y的函数吗？ 如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由. 探索y2 x 与xlog2y的图像间的关系. 探索y2 x 与ylog2x的图像 间的关系 . 结合与推测函数ya x 与函数y logax的关系 . 讨论结果：y2 x 与xlog2y. x 3210123 y 1 8 1 4 1 2 1248 ylog 2x. y 3210123 x 1 8 1 4 1 2 1248 图像如图 7. 图 7 在指数函数y2 x 中，x是自变量，y是x的函数 (xR，yR ) ，而且
3、其在R上是单 调递增函数过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y2 x 的图像有且只有一个交 点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数 由指数式与对数式关系，y2 x 得xlog2y，即对于每一个y，在关系式xlog2y的 作用之下， 都有唯一的确定的值x和它对应， 所以， 可以把y作为自变量，x作为y的函数， 即xlog2y. 这时我们把函数xlog2yy(0 ，) 叫作函数y 2 x( xR) 的反函数， 但 习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调xlog2y中的x、y写成y log2x，这样 ylog2xx (0 ， ) 是指数函数y2 x( xR
4、) 的反函数由上述讨论可知，对数函数 ylog2xx(0 ， ) 是指数函数y2 x( xR) 的反函数；同时，指数函数y2 x( x R) 也是对数函数ylog2xx(0 ， ) 的反函数因此，指数函数y2 x( xR)与对数函 数ylog2xx(0 ， ) 互为反函数 以后，我们所说的反函数是x，y对调后的函数如ylog3x，x(0 ， ) 与y 3 x( x R) 互为反函数，ylog0.5x与y0.5 x( xR) 互为反函数 从我们的列表中知道，y2 x 与xlog2y是同一个函数图像 通过观察图像可知，y2 x 与ylog2x的图像关于直线yx对称 通过与类比， 归纳知道，ya x
5、( a0， 且a1)的反函数是ylogax(a0且a1)， 且它们的图像关于直线yx对称 由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y x对称 提出问题 1用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图像：ylog3x；ylog2x；y log5x. 2从图像上观察它们之间有什么样的关系？ 3函数ylogax，a1 时，a的变化对图像有何影响？ 4函数ylogax， 0a1 时，a的变化对图像有何影响？ 活动： 学生动手画出函数图像，教师点拨，学生没有思路教师可以提示 学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图像，特别是关键点 讨论结果： (1) 如图 8. 图 8 (
6、2) 观察图 8 可以看出，ylog3x，ylog2x，ylog5x的图像间有如下关系：都过 (1,0) 点，都在y轴右边，都是定义域上的增函数，不同的是函数增长的速度不同 (3)ylogax，a1 时，a越大，函数增长得越慢，向右离x轴越近，向下离y轴越近 (4)ylogax,0a 1 时，a越小，向右离x轴越近，向上离y轴越近 应用示例 例 1 观察在同一坐标系内函数ylog2x与y2 x 的图像，分析它们之间的关系 活动： 学生独立在同一坐标系内作出两个函数的图像，要抓住关键点和关键步骤，教 师指点、引导学生动手、动脑，注意观察的方法 解：图 9 是函数ylog2x与y 2 x 的图像
7、从图像上可以看出，函数ylog2x与函数y 2 x 的图像关于直线yx对称事实上，函数ylog2x与函数y2 x 互为反函数，对应于 函数y log2x的图像上的任一点P(a，b) ，P点关于直线yx的对称点Q(b，a) 总在函数y 2 x 的图像上 图 9 例 2 课本例 7. 活动： 学生仔细阅读题目，分析问题的实际意义列出数学模型，从而达到解决问题 的目的 解： 因为 14C的半衰 期是 5 730 年所以建立方程1 2e 5 730 r. 解得r0.000 121 ，由此可知 14C的衰减规律服从指数型函数 C(t) C0e 0.000 121t . 设发现 Hammurbi王朝木炭的
8、时间(1950 年 )为t0年 因为放射性的物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以 Ct0 C0 4.09 6.68 . 于是 e0.000 121t0 4.09 6.68 . 两边取自然对数，得0.000 121 t0ln 4.09ln 6.68，解得t04 054( 年 ) 即 Hammurbi王朝大约存在于公元前2100 年 例 3 若 1x2，比较 (log2x) 2，log 2x 2，log 2(log2x) 的大小 活动： 学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，学生有困难，教师可以提 示并及时评价这是有条件的比较大小，几个对数式各不相同，应采取中间量法很明显， log2(
9、log2x) 小于 0，只要比较 (log2x) 2 与 log2x 2 的大小即可 解： log2(log2x) (log2x) 2log 2x 2. 解法一：因为log2x 2(log 2x) 2log 2x(2 log2x) log2xlo g24 x， 又因为 1x2，所以 1x 4 x. 所以 log24 x0，log 2x0. 所以 log2x 2(log 2x) 20. 又因为 log2x1，log2(log 2x) 0，所以 log2(log2x) (log2x) 2log 2x 2. 解法二：因为(log2x) 2log 2x 2 (log2x) 22log 2x11(log
10、2x1) 2 1， 又 1x2，所以 0 log2x1，即 0(log 2x) 21. 因此 (log 2x1) 210. 又 log2(log 2x) 0，故 log2(log2x) (log2x) 2log 2x 2. 点评： 比较数的大小方法： 作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大 作商，但必须是同号数，看商与1 的大小，再决定两个数的大小 计算出每个数的值，再比较大小 若是两个以上的数，有时采用中间量比较 利用图像法 利用函数的单调性 知能训练 已知集合Mx|x 3 ，N x|log 2x1 ，则MN等于 ( ) A? Bx0x3 Cx1x3 Dx2x3 答案： D 拓展提升
11、对于区间 m，n 上有意义的两个函数f(x) 与g(x) ， 如果对任意的x m，n ， 均有 |f(x) g(x)| 1，则称f(x) 与g(x) 在m，n 上是接近的，否则称f(x) 与g(x) 在m，n 上是非接 近的 现有两个函数f1(x)loga(x3a) 与f2(x) loga 1 xa( a0，a1)，给定区间 a2， a3 (1) 若f1(x) 与f2(x)在给定区间 a2，a3 上都有意义，求a的取值范围； (2) 讨论f1(x) 与f2(x) 在给定区间 a2，a3 上是否是接近的 活动： 学生读题，理解题目的含义，教师引导学生，及时提示，严格把握新信息f(x) 与g(x)
12、 在m，n 上是接近的定义解题 解： (1) 依题意a0，a1，a23a0，a2a0，所以 0a 1. (2)|f1(x) f2(x)| |log a(x 24ax3a2)|. 令|f1(x) f2(x)| 1， 得1 loga(x 24ax3a2) 1. 因为 0a 1，又 a2，a3 在x 2a的右侧， 所以g(x) loga(x 24ax3a2 )在a 2，a3 上为减函数 从而g(x)maxg(a2) loga(4 4a) ，g(x)ming(a3) loga(9 6a) 于是成立，当且仅当 loga4 4a1， loga9 6a 1， 0a1. 解此不等式组得0a 957 12 .
13、故当 0a 957 12 时，f1(x) 与f2(x) 在给定区间 a2，a3 上是接近的； 当a9 57 12 且a1 时，f1(x) 与f2(x) 在给定区间 a 2，a3 上是非接近的 课堂小结 1互为反函数的概念及其图像间的关系 2对数函数图像的平移变换规律 3本节课又复习了对数函数的图像与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数 的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数 图像的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律 4指、对数函数图像性质对比 作业 习题 35 B组 1,2,3,4. 设计感想 学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义
14、、图像和性质， 因此本堂课首先组织学生回 顾函数的通性， 以及有关指数型函数的图像的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶 性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备由于本节课是本 单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节， 努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨 备课资料 【备用习题】 1f(x 23) log a x 2 6x 2(a0，a1)，判断f(x) 的奇偶性 活动： 学生考虑，学生之间可以相互交流讨论判断函数的奇偶性，一般用定义法； 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；学生回忆判断函数奇
15、偶性的方 法，利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 解： f(x 23) log a x 233 3x 23， f(x) loga3 x 3x. 由 3x 3x 0，得 f(x) 的定义域为 ( 3,3) 又f( x) loga3 x 3xlog a 3x 3x 1 log a 3x 3x f(x) ， f(x) 是奇函数 点评： 解指数不等式要注意底数的大小，必要时要分类讨论 2已知常数a、b满足a1b 0，若f(x) lg(a x b x )， (1) 求yf(x) 的定义域； (2) 证明yf(x) 在其定义域内是增函数； (3) 若f(x) 恰在 (1 ， ) 上恒取正值，且f(2) lg
16、 2 ，求a，b的值 (1) 解： 由a x b x0，得 a b x1. 因为ab 0， 所以 a b 1. 所以y a b x 是增函数而且由 a b x1 得 x0， 即函数f(x) 的定义域是 (0， ) (2) 证明：任取x1，x2(0 ， ) ，且x1x2， 因为a1，所以g1(x) a x 是增函数所以ax1ax20， (ax1ax2) (bx1bx2)0， 即(ax1bx1) (ax2bx2) 0. 因此 0ax1bx1ax2bx2， 于是 lg(ax1bx1) lg(ax2bx2) ，故f(x) lg(a xbx) 在(0 ， ) 内是增函数 (3) 解： 因为f(x) 在(1 ， ) 内为增函数，所以对于x(1 ， ) 内每一个x值，都 有f(x) f(1) 要使f(x) 恰在 (1， ) 上恒取正值，即f(x) 0，只需f(1) 0. 于是f(1) lg(ab) 0，得ab1. 又f(2) lg 2 ，所以 lg(a 2 b 2) lg 2. 所以a 2b22，即 ( ab)(ab) 2. 而ab1，所以ab2. 由 ab1， ab2， 解得 a 3 2， b 1 2. 经检验知a 3 2， b 1 2为所求 点评： 解(3) 要用到 (1) 与(2) 的结果，是相互联系的，恒成立问题是高考的热点问题， 要注意把握