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1、第三节三角函数图象与性质 知识能否忆起 1周期函数 (1)周期函数的定义： 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f(x T) f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数T 叫做这个函数的周期 (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期 2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数ysin x ycos x ytan x 图象 定义域RR xxR且x 2 k ，kZ 值域1,1 1,1R 单调性 2k 2， 2 2k (kZ)上递增； 2k 2， 3 2 2k (kZ)上
2、递减 2k ，2k (kZ)上递增； 2k ，2k (kZ)上递减 k 2， 2 k (kZ)上递增 最值 x 22k (k Z)时， ymax1； x 22k (kZ)时， ymin 1 x2k (kZ)时， ymax 1；x 2k (kZ)时， ymin 1 奇偶性奇函数偶函数奇函数 对称 中心 (k ，0)(kZ) 2k ，0 (kZ) k 2 ，0 (kZ) 对称轴 方程 x 2 k (kZ) xk (k Z) 周期22 小题能否全取 1函数 y tan 4x 的定义域是 ( ) A. x x 4 ，xR B. x x 4 ， xR C. x xk 3 4 ，kZ，xR D. x xk
3、 3 4 ，kZ，xR 解析： 选 D x 4k 2， xk 3 4 ，kZ. 2(教材习题改编)下列函数中，最小正周期为的奇函数是 () Aycos 2xBysin 2x Cytan 2xDy sin 2x 2 解析： 选 B选项 A、D 中的函数均为偶函数，C 中函数的最小正周期为 2，故选 B. 3函数 y |sin x|的一个单调增区间是() A. 4， 4 B. 4 ， 3 4 C. ， 3 2 D. 3 2 ，2 解析： 选 C作出函数y|sin x|的图象观察可知，函数y|sin x|在 ， 3 2 上递增 4比较大小，sin 18 _sin 10 . 解析： 因为 ysin x
4、 在 2，0 上为增函数且 18 10，故 sin 18 sin 10 . 答案： 5(教材习题改编)y 23cos x 4 的最大值为 _此时 x_. 解析：当 cos x 4 1 时，函数 y23cos x 4 取得最大值5， 此时 x 4 2k ， 从而 x 3 4 2k ， kZ. 答案： 5 3 4 2k ，k Z 1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成yAsin(x )( 0)的形式， 再根 据三角函数的单调区间，求出x所在的区间应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同： (1)ysin x 4 ；(2)ysin 4x . 2周期性是函数
5、的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x 值都满足 f(x T) f(x)，其中 T 是不为零的常数如果只有个别的x 值满足 f(xT)f(x)，或找到哪怕只 有一个 x 值不满足f(xT)f(x)，都不能说T 是函数 f(x)的周期 三角函数的定义域与值域 典题导入 例 1(1)(2013湛江调研 )函数 ylg(sin x)cos x 1 2的定义域为 _ (2)函数 ysin 2x sin x1 的值域为 ( ) A1,1 B. 5 4， 1 C. 5 4，1 D. 1，5 4 自主解答 (1)要使函数有意义必须有 sin x0， cos x 1 20， 即 sin x0， cos
6、 x1 2， 解得 2k0， tan x0， xk 2，kZ ? 00， 0)的函数的单调区间，基本思路是把x 看作是一 个整体，由 2 2k x 22k (k Z)求得函数的增区间，由 22k x 3 2 2k (kZ)求得函数的减区间 (2)形如 yAsin(x )(A0， 0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数， 得到y Asin(x )，由 2 2k x 2 2k (k Z)得到函数的减区间，由 2 2k x 3 2 2k (kZ)得到函数的增区间 (3)对于 yAcos(x )，yAtan(x )等，函数的单调区间求法与y Asin(x )类 似 以题试法 2(1)函数 y
7、|tan x|的增区间为 _ (2)已知函数f(x) sin x3cos x，设 af 7 ，bf 6 ，cf 3 ，则 a，b，c 的大小关 系是 () Aa0)的最小正周期为1，则它的图象的一 个对称中心为 () A. 8，0 B(0,0) C. 1 8，0 D. 1 8， 0 解析： (1)选 A对于选项A，注意到 ysin 2x 2 cos 2x 的周期为 ，且在 4， 2 上 是减函数 (2)选 C由条件得f(x)2sin ax 4 ，又函数的最小正周期为1，故 2 a 1， a2 ， 故 f(x)2sin 2 x 4 .将 x 1 8代入得函数值为 0. 1函数 ycos x1 2
8、的定义域为 ( ) A. 3， 3 B. k 3，k 3 ， kZ C. 2k 3，2k 3 ，kZ DR 解析： 选 C cosx 1 20，得 cos x 1 2， 2k 3 x2k 3 ， kZ. 2已知函数f(x)sin x 2 (x R)，下面结论错误的是() A函数 f(x)的最小正周期为2 B函数 f(x)在区间0， 2 上是增函数 C函数 f(x)的图象关于直线x0对称 D函数 f(x)是奇函数 解析： 选 D ysin x 2 cos x， T2 ，在 0， 2 上是增函数，图象关于y 轴 对称，为偶函数 3已知函数f(x)sin 2x 3 ( 0)的最小正周期为 ，则函数f
9、(x)的图象的一条对称 轴方程是 () Ax 12 B x 6 Cx 5 12 D x 3 解析： 选 C由 T 2 2 得 1，所以 f(x)sin 2x 3 ，则 f(x)的对称轴为2x 3 2 k (kZ)，解得 x 5 12 k 2 (k Z)，所以 x5 12为 f(x)的一条对称轴 4(2012 山东高考 )函数 y2sin x 6 3 (0x9)的最大值与最小值之和为() A23 B 0 C 1 D 13 解析： 选 A当 0x9 时， 3 x 6 3 7 6 ， 3 2 sin x 6 3 1，所以函数的最 大值为 2，最小值为3，其和为23. 5 已知函数 f(x) 2sin
10、(2x )(| |0)在区间 3， 4 上的最小值是2，则 的最小值等于 () A. 2 3 B. 3 2 C2 D3 解析： 选 B x 3， 4 ，则 x 3 ， 4 ，要使函数 f(x)在 3， 4 上取得最 小值 2，则 3 2或 4 3 2 ，得 3 2，故 的最小值为 3 2. 7函数 y cos 42x 的单调减区间为 _ 解析： 由 ycos 42x cos 2x 4 得 2k 2x 42k (kZ)， 故 k 8x k 5 8 (kZ) 所以函数的单调减区间为k 8，k 5 8 (k Z) 答案：k 8， k 5 8 (kZ) 8已知函数f(x)5sin (x 2)满足条件f
11、(x3)f(x)0，则正数 _. 解析： f(x3) f(x)0? f(x6)f(x)，故 f(x)以 6 为最小正周期，故 2 |6.又 0， 3. 答案： 3 9如果函数y 3cos(2x )的图象关于点 4 3 ，0 中心对称，那么| |的最小值为 _ 解析： ycos x 的对称中心为k 2，0 (kZ)， 由 2 4 3 k 2(kZ)，得 k 13 6 (kZ) 当 k2 时， | |min 6. 答案： 6 10设 f(x)12sin x. (1)求 f(x)的定义域； (2)求 f(x)的值域及取最大值时x 的值 解： (1)由 12sin x0，根据正弦函数图象知：定义域为
12、x 2k 5 6 x2k 13 6 ，kZ . (2) 1sin x1， 112sin x 3， 12sin x0， 01 2sin x3， f(x)的值域为 0，3，当 x2k 3 2 ，kZ 时， f(x)取得最大值 11已知函数f(x)2sin( x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 6， 2 上的最大值和最小值 解： (1)f(x)2sin( x)cos x 2sin xcos xsin 2x， 函数 f(x)的最小正周期为. (2) 6x 2， 3 2x ，则 3 2 sin 2x1. 所以 f(x)在区间 6， 2 上的最大值为1，最小值为
13、3 2 . 12(2012 北京高考 )已知函数f(x) sin xcos x sin 2x sin x . (1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间 解： (1)由 sin x0 得 xk (kZ)， 故 f(x)的定义域为 x R|xk ， kZ 因为 f(x) sin x cos x sin 2x sin x 2cos x(sin xcos x) sin 2x cos 2x1 2sin 2x 4 1， 所以 f(x)的最小正周期T2 2 . (2)函数 ysin x 的单调递增区间为2k 2，2k 2 (kZ) 由 2k 2 2x 42k 2，xk (k
14、Z)， 得 k 8x k 3 8 ，xk (kZ) 所以 f(x)的单调递增区间为k 8，k和 k ，k 3 8 (kZ) 1 (2012 新课标全国卷)已知 0,00，函数 f(x) 2asin 2x 6 2ab，当 x 0， 2 时， 5f(x)1. (1)求常数 a，b 的值； (2)求 f(x)的单调区间 解： (1)x 0， 2 ， 62x 6 7 6 ， 1 2 sin 2x 6 1， 又 a0， 5f(x)1， 2a2ab 5， a2ab1， 即 a2， b 5. (2)f(x) 4sin 2x 6 1， 由 2 2k 2x 6 22k得 3k x 6k ，kZ， 由 22k 2
15、x 6 3 2 2k 得 6k x 2 3 k ，kZ， f(x)的单调递增区间为 6k ， 2 3 k(kZ)， 单调递减区间为 3k ， 6k(k Z) 1(2012 湖南高考 )函数 f(x) sin xcos x 6 的值域为 () A2,2 B 3，3 C1,1 D. 3 2 ， 3 2 解析： 选 B因为 f(x)sin x 3 2 cos x1 2sin x 3 3 2 sin x1 2cos x 3sin x 6 ， 所以函数f(x)的值域为 3，3 2(2012 温州模拟 )已知函数y2sin(x )(0)为偶函数 (00，| | 2 ，给出以下四个论断： 它的最小正周期为
16、； 它的图象关于直线x 12成轴对称图形； 它的图象关于点 3，0 成中心对称图形； 在区间 6， 0 上是增函数 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 _(用序号表示即可) 答案： ? (或 ? ) 4已知函数f(x)sin(x ) 0 2 3 的最小正周期为. (1)求当 f(x)为偶函数时的值； (2)若 f(x)的图象过点 6， 3 2 ，求 f(x)的单调递增区间 解： 由 f(x)的最小正周期为 ，则 T 2 ， 2. f(x)sin(2x ) (1)当 f(x)为偶函数时，f(x)f(x) sin(2x )sin(2x )，展开整理得sin 2xcos 0， 由已知上式对? xR 都成立， cos 0， 0 2 3 ， 2. (2)f(x)的图象过点 6， 3 2 时， sin 2 6 3 2 ，即 sin 3 3 2 . 又 0 2 3 ， 3 3 . 3 2 3 ， 3. f(x)sin 2x 3 . 令 2k 2 2x 32k 2，kZ， 得 k 5 12 xk 12，kZ. f(x)的递增区间为k 5 12，k 12 ，kZ.