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1、第十节函数模型及其应用 知识能否忆起 1几种常见的函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)axb(a，b 为常数， a0) 二次函数模型f(x)ax2 bxc(a，b，c 为常数， a0) 指数函数模型f(x)ba xc(a，b，c 为常数， a0 且 a1，b 0) 对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c 为常数， a0 且 a1， b0) 幂函数模型f(x)axnb(a，b，n 为常数， a0，n0) 2.三种增长型函数模型的图象与性质 函数yax(a1) ylogax(a1)yx n(n0) 在(0， )上的 增减性 增函数增函数增函数 增长速度越来越快越来越慢相对平稳
2、 图象的变化 随 x 增大逐渐表现为与y 轴平行 随 x 增大逐渐表现为与x 轴平行 随 n 值变化而不同 小题能否全取 1(教材习题改编)f(x)x 2，g(x)2x，h(x)log 2x，当x(4， )时，对三个函数的 增长速度进行比较，下列选项中正确的是() Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x) Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x) 答案： 选 B由图象知，当x(4， )时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x) 2一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为图中的() 解
3、析： 选 B由题意 h205t,0t 4.结合图象知应选B. 3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件 时的生产成本为C(x) 1 2x 22x20(万元 )一万件售价是 20 万元，为获取最大利润，该企 业一个月应生产该商品数量为() A36 万件B 18 万件 C22 万件D 9 万件 解析： 选 B利润 L(x)20xC(x) 1 2(x18) 2142，当 x18 时， L(x)有最大值 4 一种产品的成本原为a 元， 在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%， 成 本y是经 过 年数x(0500 时， f(x)0.05500 1 20
4、000 500 2 0.25 x 1000.5 12 1 400x， 故 f(x) 1 20 000x 219 400x 1 2，0500. (2)当 0500 时， f(x)12 1 400x4 时， y41.8 3x1.83(5x 4)20.4x4.8. 当乙的用水量超过4 吨，即 3x4 时， y241.83(3x4)(5x4)24x9.6. 所以 y 14.4x，0 x 4 5， 20.4x4.8， 4 5 4 3. (2)由于 yf(x)在各段区间上均单调递增， 当 x 0， 4 5 时， yf 4 5 500. 当 f(x)168 时，由 168 0.9187 10 5 ，即 f(
5、x) x 5不恒成立 故函数模型y x 1502 不符合公司要求 11高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500 元 /台当笔记本电 脑销售价为6 000 元/台时， 月销售量为a 台市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售 价提高的百分率为x(00；当 1 20，y0. (2)依题意，要求四个矩形木雕总面积的最大值即求4xy 的最大值 因为 a，b，x，y 均大于 0，所以 2bx 2ay22bx 2ay，从而 S4 abxy 4xyab，当 且仅当 bxay 时等号成立 令 txy，则 t0，上述不等式可化为4t24ab tabS0， 解得 Sab 2 t Sab 2 .
6、 因为 t0，所以 0t Sab 2 ， 从而 xyab S2 abS 4 . 由 bxay， S2bx2ay4xyab， 得 x abSab 2b ， y abSab 2a . 所以当 x abSab 2b ，y abSab 2a 时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为abS 2abS. 1某地 2011 年底人口为500 万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增 长率为 1%.问为使 2021 年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少 为(1.01 101.104 6)( ) A90 万 m 2 B87 万 m 2 C85 万 m 2 D80 万 m
7、2 解析： 选 B由题意 500 11% 1075006 10 86.6(万 m 2) 87(万 m2) 2.一高为 H，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞， 满缸水从洞中流出若鱼缸水深为h 时的水的体积为v，则函数v f(h)的大致 图象可能是图中的_ 解析： 当 h0 时， v0 可排除、；由于鱼缸中间粗两头细，当h 在H 2 附近时， 体积变化较快；h 小于 H 2时，增加越来越快； h大于 H 2 时，增加越来越慢 答案： 3(2011 湖北高考 )提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般 情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米 /时)是车流密度x(单
8、位：辆 /千米 )的函数当桥上 的车流密度达到200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/ 千米时，车流速度为60 千米 /时研究表明：当20x200 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数 (1)当 0x200 时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/ 时)f(x) x v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/时) 解： (1)由题意，当0x 20 时， v(x)60； 当 20x200 时，设 v(x)axb， 再由已知得 200ab0， 20ab60， 解得 a 1 3，
9、 b 200 3 . 故函数 v(x)的表达式为 v(x) 60， 0x20， 1 3 200x ，20x200. (2)依题意并由 (1)可得 f(x) 60x，0 x20， 1 3x 200x ，20x200. 当 0x20 时， f(x)为增函数， 故当 x20 时，其最大值为60201 200； 当 20x200 时， f(x) 1 3x(200x) 1 3 x 200 x 2 210 000 3 ，当且仅当x200x， 即 x100 时，等号成立 所以当 x100 时， f(x)在区间 20,200 上取得最大值 10 000 3 . 综上，当 x100 时， f(x)在区间 0,2
10、00 上取得最大值 10 000 3 3 333， 即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333 辆 /时 (2012 浙江金华阶段性检测)某民营企业生产A， B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关 系如图 2(注：利润与投资单位：万元) (1)分别将 A， B 两种产品的利润表示为投资x(万元 )的函数关系式； (2)该企业已筹集到10 万元资金，并全部投入A，B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元 解： (1)当投资为x
11、万元，设A 产品的利润为f(x)万元， B 产品的利润为g(x)万元， 由题意可设f(x)k1x，g(x)k2 x. 由图知 f(1) 1 4，故 k1 1 4.又 g(4) 5 2，故 k2 5 4. 从而 f(x) 1 4x(x0)，g(x) 5 4 x(x0) (2)设 A 产品投入x 万元， 则 B 产品投入 (10x)万元， 设企业利润为y 万元 yf(x)g(10x) 1 4x 5 4 10x(0x 10) 令 t10x，则 y 10t 2 4 5 4t 1 4 t5 2 265 16(0t 10) 当 t 5 2时， y max 65 16，此时 x3.75,10x6.25. 即当 A 产品投入3.75 万元， B 产品投入6.25 万元时，企业获得最大利润为 65 16万元