1、第一局部专项同步练习第一章行列式一、单项选择廖1 .以卜.排列是5阶偶排列的是().（八）24315(B)14325(C)41523(D)24351.2 .如果“阶排列上人，的逆序数是h那么排列Zi的逆序数是().（八）k(B)j-i(C)-(D)丝”-K3 .阶行列式的展开式中含“R”的项共有()项.（八）O(B)一2(C)(m-2)!(D)(M-I);0001001(=().()10(1000I（八）O(B)-I(C)I(D)2OO1001000001100()（八）O2x(B)-IX-11(C)1(D)26.在函数f(x)=-1-XI2中F项的系数是().32-X3000I（八）O(B)
2、I(C)I(D)211%2%-2u7.假设。=%3=5，那么=22|七321-20,=(%孙aiyj-2j2（八）4(B)-4(C)2(D)-28 .假设为%=&,那么%：=()a2a22aI1.ai（八）J1.u(B)-Aw(CWa(D)-ka9 .4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3,第3行元的余子式依次为-2.5.1，那么).（八）O(B)-3(C)3(D)2-87436-23-I10.假设D=1.III,那么。中第一行元的代数余子式的和为(43-75（八）-I(B)-2(C)-3(D)O3040Ii.假设。=:111-100,那么D中第四行元的余子式的和为().53-22（八）
3、I(B)-2(0-3(D)O.r1+x,+kxi=O12A等于以下选项中哪个值时，齐次线性方程组+&+/=O有非零解.()村+匹+G=0（八）-I(B)-2(0-3(D)O二、填空期1 .2/邛介排列24(2”)13，(2-1)的逆序数是.2 .在六阶行列式中项心的必必小,所带的符号是3 .四阶行列式中包含且带正号的项是.4 .假设一个”阶行列式中至少有/-+1个元素等0,那么这个行列式的值等于1I5.行列式;OOO()6.行列式O1。O02O=0/J-IO09.某5阶行列式的值为5.将其第行与第5行交换并传置，再用2乘所有元素，那么所得的新行列式的值为- 11X-I10.行列式A+- 1x
4、1-1x-1I-I=- 11-111 .”阶行列式12 .邛介行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为321,那么该行列式的值为1234A=1.,2,3,4）为D中第四行元的代数余子式，那么13 .设行列式0=；：；:87654An+3Ai2+2A1.e+Ait=D中第四列元的代数余了式的和为15设行列式O=2351344467=-6,A0为“4,(/=1.2.3.4)的代数余子式，那么224+4=Aj+Am=16.行列式。=1312I05032/J-100.D中第行元的代数余了式的和为.100n。2x2+x5=017.齐次线性方程组2-tX-NXi=0仅有零解的充要条件是.
5、X2+3=0.r+Ix2+X3=O18.假设齐次线性方程组，2xi-3x-2x,+5q=0有非零解，那么&=.+kxy=Obh2b3a+c+1d3+ft+、/?-、.C1.1.f1.C2=(I-X2)A2Ab2A.o=(b-a)(c-a)d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+ti).1=Ze11(%-G/-11.证明=O的充要条件是+b+c=O.弁考答案一.单项选择题Adaccdabcdbb二.康空题1.n;2.u-t;3.a1.ia22a31.aii;4.0；5.0；6.(-If1!;7.(-1)2a1.o21.11.hn;8.-3W;9.-160:10.X4;11.(4+)*
6、12.-2;13.0:14.0;15.12-9;I6.n!(1.-J-);1.7.-23;18.1=7A-Ik三.计算题I.-(+c+-)(c-a)(i-a)(c-b)(d-b)(d-)(i)(n-2)-力；J1.-1.A-(IaA-17.(-r11(-o，O0、f10-3、(00-31zI00、（八）0I0(b)0I0(c)0I0(d)0I03OIZJ)0I;J0I1()-3IZZU31、12.4=22O,那么(、3II；(b)AT=A（八）A=A13 .设4RC,/为同阶方阵，/为单位矩阵，假设A8C=/,那么()。（八）ACB=I(b)CAB=/(c)CBA=I(d)BAC=I14 .
7、设A为”阶方阵，且AhO,那么().（八）A经列初等变换可变为单位阵/(b)由AX=8A,可得X=B(c)当(A|/)经有限次初等变换变为(118)时，有An=B(d)以上（八）、(b)、(C)都不对15 .设人为mx”阶矩阵，秩（八）=rm秩(8)(b)秩（八）=秩(8)(c)秩（八）秩(3)(d)秩（八）与秩(3)的关系依C而定17 .4,B为n阶非零矩阵，IIA8=0,那么秩（八）和秩(8)()。（八）有一个等于零都为n(C)都小于n个小于n,个等于n18 .n阶方阵A可逆的充分必要条件是()。（八）r（八）=rn(b)A的列秩为n(c)A的每一个行向量都是非零向地(d)伴随矩阵存在19
8、 .n阶矩阵A可逆的充要条件是()。(a) A的每个彳亍向量都是非零向量(b) A中任意两个行向量都不成比例(c) A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示(d)对任何n维非零向贵X,均有AXO二、填空题1 .设A为n阶方阵，/为n阶单位阵,且A?=/,那么行列式IA1.=Oab2 .行列式-0O,=-b-CO那么行列式I(A+3/)T(A2-9/)|的值为fO13 .设2A=O2OOO1/4.设A=23、2且摩=人那么行列式卜I=5 .设A为5阶方阵，4是其伴随矩阵，且M=3,那么IA1.=6 .设4阶方阵八的秩为2.那么其伴他矩阵A,的秩为广。也哂他7.非零矩阵a2b1.a2b2的秩为I
9、岫“也-aubn)&设4为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X,均有AXHO.那么A的秩为9. 假设A=(W)为15阶矩阵，那么人1的第4行第8列的元素是10. 假11. Iini设方阵2KK+1.与4/相似12.Iim三、计尊1.解以下矩阵方程（X为未知矩阵）.1)2231-10-I2I,231022-22)0I0I0000I3、-10j3)(3X(1.-HICy膻=/,其中8=44)10AX=A2+X-/,其中A=025)AX=A+2X,其中A=I102.设A为阶对称阵,且川=0,求A.3.A1-1002I,4(A+2)(A2-4i4.设A=5.设A=22、4,求秩为2的方阵乩使AB
10、0.6,(2fQI6.设A=1I8=121,求非奇异矩阵CJiiA=CBC.OJ7.求非奇异矩阵P,使PyP为对角阵.8 .三阶方阵人的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1)r,(-1.,1.0)T,(-2.1.1)7,求矩阵4.5-329 .设A=6-44,求Awo.4-45、Z四、证明题1 .设A、3均为阶非奇异阵,求证A8可逆.2 .设AA=Oa为整数)，求证/-A可逆.3 .设44，为实数,且如果为=0,如果方阵A满足4+“MI+jA+*/=0,求证A是非奇异阵.4 .设”阶方阵人与6中有一个是非奇异的,求证矩阵八H相似M5 .证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵
11、6 .证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.7 .证明两个矩阵乘枳的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.8 .i正明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.9 .证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.10 .证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和.第二章弁考答案一：1.a：2.b：3.c：4.d：5.b：6.d：7.a：8.d：9.c；10.d：11.b；12.c：13.b：14.a：15.a；16.b：17.c；18.b：19.d.二.1.1或-1：2.0：3.-4：4.1：5.81：6.0：7.1：8.100：9.10.II-I12.0；II
12、3O-6)5)、32、一2不唯：6.3i+2(2x,-1)2(2+31.00)-42(3,-1.)3)、I-4I-5-I6f2003I02.0：3.0,O0-1031-3-1I0j,(/：)-2-2mk,-3,oc,4-2,w-2(3,00)2(1.-3,)3,-1.2(3M-D2(3,)-1.4.2)、-2-2IO-25.:8.-3-110第三章向量32-10O0一、单项选择1 .ai.a.a%.4.我、都是四维列向员II四阶行列式Ia1.a2a/J,=n.a1.2,阂=,那么行列式Ia1.a2ayP+A=(（八）n+n(b)m-n(C)-?+()-，一2 .设A为”阶方阵，且W=O,那么
13、)。S)A中两行(列)对应元素成比例(b)4中任意一行为其它行的线性组合(C)A中至少有一行元素全为零(d)A中必有一行为其它行的线性组合3 .设人为“阶方阵，r（八）=r”,那么在人的个行向量中()。必有r个行向证线性无关(b)任意个行向量线性无关(C)任意M、行向量都构成极大线性无关组(d)任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示4 .”阶方阵人可逆的充分必要条件是()（八）r（八）=rnS)A的列秩为，？(C)A的每一个行向量都是二I熔向量(d)A的伴随矩阵存在5.”维向址组4.外,M,线性无关的充分条件是()()at,a2,a,都不是零向量S)a1.a2,.,中任一向量:均不能由其
14、它向他线性表示(c)a1.,a2,M,中任意两个向量都不成比例W)1,2,、中有一个同部级线性无关6. “维向星组.4,.,(s2)线性相关的充要条件是()(),x2,a,中至少有一个零向量(b)ai.a2.,中至少有两个向量.成比例(c)tf1.,a2,中任意两个向量不成比例(d)a1.a2,中至少有向量可由其它向后:线性表示7. 维向量组四,占,6(3055)线性无关的充要条件是()(.)存在一蛆不全为零的数k1.,k2t6使得AIa1.+22+k1.aiO(b)a1.,a1,中任感两个向量都线性无关(c),.z,.a,中存在个向;也它不能被其余向运线性表示(d)at,ai,中任一局部组线
15、性无关H.设向量组。,的秩为八那么()（八）a1.,a2,.中至少有一个由r个向量组成的局部组线性无关(b)a1.,a2.,中存在由r+1个向量组成的局部组线性无关()tf1,a2,色中由r个向量组成的局部如都线性无关(d).%.,中个数小于r的任意局部组都线性无美9,设囚,生,风均为”维向量,那么以下结论正确的选项是()()假设AIa1.+必+丸,=0,那么.4,线性相关)假设对于任意一级不全为零的数&,.ktMikta1.+k2a2+k,at#0,那么a1.,a3,%一性无关(C)假设%.4.M,线性相关,那么对任意不全为零的数KB.丸.都有A1.cr+kiai+k1.a,=0(d)假设O
16、a1.+0a,+Oa,=0,那么.%.a1.线性无关10 .向量组q.a2,4,%线性无关，那么向量组()（八）a1.+a2.a2+-.a5+4.a4+线性无关(b)a1.-ai,a2-ai,a1.1.-a4,a4-线性无关(c)a1.+a2,a2+a3.ai+ai.a4-at线性无关()+ai,a2+aay-at,a4-线t生无关11 .假设向星月可被向量组.%.线性表示，那么(3)存在一组不全为零的数即(，k,使得尸=k1.ai+kia2+k,a,仍)存在一组全为零的数占,&，,使得夕=AIa1.+k2az+kta,(C)存在一组数匕&，使得#=AIa1.+k2ai+k,a,W)对/y的表
17、达式唯一12 .以下说法正确的选项是()3)假设有不全为零的数匕,心,丸，使得&q+&见+AM=O,那么a1.,a2,线性无关()假设有不全为零的数R1.J2.自，使得Sa1.+4/+A,0,那么at.a2,a,线性无关(C)假设4.%.,线性相关，那么其中每个向量均可由其余向量线性表示S)任何+1个维向量必线性相关13 .设)是向量组=(1.O.Of,4=(0.I,0)，的线性组合，那么夕=(X0,3,O)TSX2,0,1.)r(cXO,0,1.)r(=(b1.,h2,hi),a1.=(a1.,a2)r,i=(1.h2),以下正幽的选项是()()若.夜性相关，则”,也线性相关；S)若,摩戈性
18、无关，则1,4也线性无关：(C)若线性相关,则/也线性相关；(以上都不对二、填空AE1 .假设q=(1,1.1)?=。，2.3)1Of3=(1,3,。线性相关，那么I=，.2 .n维零向量一定线性关。3 .向量线性无关的充要条件是.4假设线性相关,那么%,见，.,(s3)线性关。5 .n维单位向量组一定线性。6 .设向量组4,%,0,的秩为r,那么a1.,a,中任意!个的向量都是它的极大线性无关组“7 .设向殳=(1.O.I)r与I.)正交，那么=。8 .正交向量组一定线性。9 .假设向量组区.火，,a、与0,四等价，那么c,%,的秩与4冬以的秋-10 .假设向量组名。2,.,u1由向量组A血
19、瓦线性表示，那么r(ai,a2,.a,)_34,).11 .向量级9=(%.1,0.0)r,a2(a2,1,1.)r,%=(4,1,1,I)T的线性关系是-12 .设n阶方阵/1=(4,4,%).tf1.=ai+/,那么同=.13 .设名=(0,3，-尸，a2=(.t,0,0)1假设a和力是标准正交向量，那么X和y的值14 .两向班线性相关的充要条件是.三、计Iu1.1 .设/=。+九1.1.)r,a2=(1.,1+1.)r,ai=(1,1.1.+z)r,f=(0.1.，),问(1) Z为何值时，万能由四。2，4唯一地线性表示？(2)/为何值时，q能由4.%,a,线性表示，但表达式不唯?(
20、3)2为何值时，?不能由四,%,%线性表示？2.设a=(1,0,2,3)r,aJ三(1,I,3,5)ra3=(1,I,a+2,1.)r,ai=(,2,4,+8/,/7=(1,I,b+3,5广问:(1)为何值时，夕不能表示为的线性组合？(2).为何值时，。能唯地表示为.4.4.4的线性组合？3 .求向量组q=.-1.O.4)r,%=(2.1.5.6),=(1,2.5.2)r,4=(,-1,-2,0)r,as=(3.0,7.14)的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。4 .设/=(1.k1.)r.ff,=(1.,2,3)r,j=(,3,川，为何值时即线性相关，为何值时线性无关？
21、5 .将向量:组q=,2,0)r,a2=(-1.O.2)r,=(O,1.2),标准正交化。四、证明1 .设户I=%+2=3a2-ai.i=2a1.-a2,试证环外,线性相关。2 .设%.%,.1线性无关，证明+%,%+4.,+%在n为奇数时线性无关：在n为偶数时线性相关。3 .设,尸线性相关，而.%,a,线性无关，证明夕能由,%,.,线性表示且表示式唯一。4 .设即%g线性相关，Q2，即4线性无关，求证见不能由囚线性表示。5 .证明:向量组%.巴.,(sN2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的或性组合。6 .设向量组即,0,中四工0,并且每一个田都不能由前7-1个向量线性表示(
22、/=2,3,s)求证.a?,.,线性无关。7 .证明：如果向量组中有个局部组线性相关,那么整个向盘组线性相关。8 .设是线性无关向量组，证明向量组”.”+?*%+4.Mo+,也线性无关。第三章向量参考答案一、单项选择1.b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.bIO.c1.1.c12.d13.a14.b15.a二、填空题1.52.相关3.04.相关5.无关6.线性无关7.-18.无关9.相等10.11.线性无关12.013.x=1.,y=-14.对应分fit成比例三、解答即I.解：设尸=XIa1.+七%+xsa3(1+).v1+X,+X1=O那么对应方程组为，x+(1.+2)X+x=/
23、x1.+x2+(1+2氏=11+2I1其系数行列式网=I1.+I=2(+3)II1+2(1)当2h0x-3时，同工0,方程组仃唯解.所以夕可由外唯地线性表示;1(2)当7=0时，方程组的增广阵A=II0(IOOIO.OZIIOOOO000,r()=r()=1.任应:时，能唯一地表示为四的线性组合。,%,%为一个极大无关组，且a、=-+%+0.,5=21.+a2-a44 .解：23=r-5.13t当r=5时.a?.出线性相关,当1.5时%.%.火线性无关。5 .解：先正交化：令四=q=(1.2,O)一crt1.a.*：.(I一伍R一伉F1.SI26,6再单位化：YTjXj=卜徜30,i,=伟)九
24、八，八为标准正交向珏组“四、证明题1.证：.3（+凤）-4（24-四）=0-51+3/?,+4/y,=0线性相关2.证：设4(+a1)+k2(a2+j+An(j,+)=0那么6+KJ%+(1.+,)q2+-(*,.(+kn)a=0：a1.,ai,an线性无关8+4=0.4|+为=0kn1.+kn=QIOOIIO其系数行列式011000000O100。=1+(T1.=M为奇数Io.为偶数10II.当n为奇数时,k1.,k2,.kn只能为零，cr1.,2,an线性无关:当n为偶数时，kx,k2,可以不全为零，4.4,M11线性相关。3.tiEs.,a2,见,线性相关.存在不全为零的数占出.,一使得
25、4q+k2a2+ka,+k-0假设=。，那么先%+A%+i,=0.(1.,.人、不全为零)与弓.4,。、线性无关矛盾所以AHO于是尸=Tq专a,kkk用能由a.cr2.,线性表示。i?=k1.a1.+k2a2+A,=ta,+1.2a2+i1.a,那么-得一IJaI+(,-1,)a1+(A;-11)a1.=0Vat.a2,M,线性无关：.,-1.=(),(1=1.2,-,.0即表示法唯-k1.=1.1.,(i=.2.j)4 .证：假设%能由线性表示,.,4.4.出线性无关，?：。3线性无关:3,%,%线性相关，工因可由4,由线性表示,%能由a”4线性表示，从而生.4.a线性相关，矛盾二a,不能由
26、四,2。1线性表示。5 .证：必要性设向量组名.4,0、线性相关那么存在不全为零的数占,心,使得用a+k,a2+k1.a,=0不妨设先#0,那么a,=-4%即至少仃个向量是其余向量的线性组合。充分性设向量组a”a1,a,中至少有一个向域是其余向量的线性组合不妨设点，=4%+k2a2+kt-at-那么AIa1.+h%+,.1.a,.1.-a,=0,所以%.%.a,线性相美。6 .证：用数学归纳法当S=I时，a尸0,线性无关,当s=2时.Va2不能由a线性表示，.ai.a2线性无关,设s=i-1.时，a1.,a2.T线性无关那么$=i时，假设外.七,.a,线性相关，.q.a.a-线性无关，火可由a
27、i.a,a.线性表示，矛盾，所以,a,线性无关。得证7 .证：假设向量组4.%,.,巴中有一局部组线性相关，不妨设囚.外,(Ks)线性相关,那么存在不全为零的数勺,G,号,使得占四+自%+3,=o于是AIa1.+,2+Arctr+0,.1.+Oa,=O因为占出,M,0,O不全为零所以,%,线性相关。8 .证：设AOaI)+K(1.+f1.)+2(+1tf+k2a2+.tf,=0因an,a1.,a,a,线性无关，k0+ki+k2+,=0k1.=0所以k2=0解得jt“=勺=幺=&,=Oks=0所以向1.a1.,.+.1,+4.,a0+,线性无关。第四章线性方程组一、单项选撵1 .设元齐次线性方程
28、组AX=O的系数矩阵的秩为r,那么AX=O有非零解的充分必要条件是()（八）r=11(B)rn(D)rn2 .设A是IX矩阵，那么线性方程组人X=方有无穷解的充要条件是()（八）r（八）rn(B)r（八）11(C)r(Ab)=r（八）m(D)r(Ab)=r（八）必有无穷多解(B)AX=方必有唯解(C)AX=O必有非零解(D)AX=O必有唯一解Aj+2.0-Xj=44 .方程组.k,+2x=2无解的充分条件是=()(-2)x,=-3)(-4X-i)（八）I(B)2(C)3(D)4i+X,+X,=2-15 .方程组2a2-xj=-2有唯一解的充分条件是2=()XJ=Z-4(A-I)X3=-3)(2
29、1.)（八）I(B)2(C)3(D)4x1.+2x,-=-16 .方程组3x2-xi=-2有无穷解的充分条件是4=()Ax2Xj=(A-3X-4)+(-2)（八）1(B)2(C)3(D)47.4,凡是非齐次线性方程组AX=向两个不同的解，外,生是导出级AX=O的根本解系，为任意常数，那么AX=的通解是()（八）k1.a1.+,(z1.+11 .“阶方阵A,对于AX=0,假设每个维向量都是解，那么r（八）=12 .设5x4矩阵A的秩为3,即%,%是非齐次线性方程组AX=。的三个不同的解向量,假设/+,+2,=(2.0,0.0)r,31.+,=(2,4,6,8)r,那么AX=。的通解为.13 .设A为，X”矩阵，r（八）=r2x1-x,+2x,=-46.设A=G为任意实数）.使得A3=0且耳/?）=2“5.求个非齐次线性方程组.使它的全部解为考答案一、单项选择座1.B2.D3.C4.B5.A6.C7.B8.D9.A10.C二、填空题.1.1002.-21U33.14./-5.m
免费区 
