2014挑战中考数学压轴题_1.3因动点产生的直角三角形问题.pdf

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1、1.3 因动点产生的直角三角形问题 例 1 2013年山西省中考第26题 如图 1，抛物线 213 4 42 yxx 与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧），与 y 轴 交于点 C，连结 BC，以 BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC，点 P 是 x 轴上的一个 动点，设点P 的坐标为 (m, 0)，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点Q （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线l 分别交 BD、BC 于点 M、 N试探究m 为何 值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由； （3）

2、当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点Q，使 BDQ 为直角三角形，若存在， 请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“13 山西 26” ，拖动点 P 在线段 OB 上运动，可以体验到，当P 运动到 OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形拖动点P 在线段 EB 上运动，可以体验到，DBQ 和 BDQ 可以成为直角 请打开超级画板文件名“13 山西 26” ，拖动点 P 在线段 OB 上运动，可以体验到，当P 运动到 OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形拖动点P 在线段 EB 上运动，可以体

3、验到，DBQ 和 BDQ 可以成为直角 思路点拨 1第（ 2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQDC 列方程 2第（ 2）题要判断四边形CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一 个准确的示意图，先得到结论 3第（ 3）题 BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂 线可以构造相似三角形 满分解答 （1）由 2131 4(2)(8) 424 yxxxx，得 A(2,0)，B(8,0)，C(0,4) （2）直线 DB 的解析式为 1 4 2 yx 由点 P 的坐标为 (m, 0)，可得 1 (,4) 2 M mm， 213 (,4) 42 Q m

4、mm 所以 MQ 221131 (4)(4)8 2424 mmmmm 当 MQDC8 时，四边形CQMD 是平行四边形 解方程 21 88 4 mm，得 m4，或 m0（舍去） 此时点 P 是 OB 的中点， N 是 BC 的中点， N(4,2)，Q(4,6) 所以 MNNQ4所以 BC 与 MQ 互相平分 所以四边形CQBM 是平行四边形 图 2 图 3 （3）存在两个符合题意的点Q，分别是 (2,0)，(6, 4) 考点伸展 第（ 3）题可以这样解：设点Q 的坐标为 1 ( ,(2)(8) 4 xxx 如图 3，当 DBQ 90时， 1 2 QGBH GBHD 所以 1 (2)(8) 1

5、4 82 xx x 解得 x6此时 Q(6,4) 如图 4，当 BDQ 90时， 2 QGDH GDHB 所以 1 4(2)(8) 4 2 xx x 解得 x 2此时 Q(2,0) 图 3 图 4 例 1 2012年广州市中考第24题 如图 1，抛物线 2 33 3 84 yxx 与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C （1）求点 A、B 的坐标； （2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于 ACB 的面积 时，求点 D 的坐标； （3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以A、B、M 为顶点所作的直角三

6、 角形有且只有 三个时，求直线 l 的解析式 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 广州 24” ，拖动点M 在以 AB 为直径的圆上运动，可以体 验到，当直线与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个 请打开超级画板文件名“12 广州 24” ，拖动点M 在以 AB 为直径的圆上运动，可以体 验到，当直线与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个 思路点拨 1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的 点 D 有两个 2当直线l 与以 AB 为直径的圆相交时，符合AMB 90的点 M 有 2 个；当直线l 与圆相切时，符合AMB90的点 M

7、只有 1 个 3灵活应用相似比解题比较简便 满分解答 （1）由 2333 3(4)(2) 848 yxxxx ， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A( 4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线x 1 （2）ACD 与 ACB 有公共的底边AC，当 ACD 的面积等于 ACB 的面积时， 点 B、 D 到直线 AC 的距离相等 过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D，在 AC 的另一侧有对应的点D 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G，与 AC 交于点 H 由 BD/AC，得 DBG CAO所以 3 4 DGCO BGAO 所以 39 44 DGBG ，点 D 的坐标为 9 (1,) 4 因

8、为 AC/BD，AG BG，所以 HGDG 而 D HDH，所以 D G 3DG 27 4 所以 D的坐标为 27 (1,) 4 图 2 图 3 （3）过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2 个点 M 以 AB 为直径的 G 如果与直线l 相交，那么就有2 个点 M；如果圆与直线l 相切，就 只有 1 个点 M 了 联结 GM，那么 GM l 在 RtEGM 中， GM3，GE5，所以 EM4 在 RtEM1A 中， AE8， 1 1 3 tan 4 M A M EA AE ，所以 M1A6 所以点 M1的坐标为 (4, 6)，过 M1、E 的直线 l 为

9、3 3 4 yx 根据对称性，直线l 还可以是 3 3 4 yx 考点伸展 第（ 3）题中的直线l 恰好经过点C，因此可以过点C、E 求直线 l 的解析式 在 RtEGM 中， GM3，GE5，所以 EM4 在 RtECO 中， CO3， EO4，所以 CE5 因此三角形EGM ECO， GEM CEO所以直线CM 过点 C 例 3 2012年杭州市中考第22题 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数yk(x2 x1)的图象交于点A(1,k)和点 B( 1, k) （1）当 k 2 时，求反比例函数的解析式； （2）要使反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x

10、 的 取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Q，当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值 动感体验 请打开几何画板文件名“12 杭州 22” ， 拖动表示实数k 的点在 y 轴上运动， 可以体验到， 当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大观察 抛物线的顶点Q 与 O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上 请打开超级画板文件名“12 杭州 22” ， 拖动表示实数k 的点在 y 轴上运动， 可以体验到， 当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大观察 抛物线的顶点Q 与 O 的位置

11、关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上 思路点拨 1由点 A(1,k)或点 B( 1,k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是 k y x 题目 中的 k 都是一致的 2由点 A(1,k)或点 B( 1, k)的坐标还可以知道，A、B 关于原点O 对称，以AB 为直 径的圆的圆心就是O 3根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在 O 上是， ABQ 是以 AB 为直径的直角 三角形 满分解答 （1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是 k y x 当 k 2 时，反比例函数的解析式是 2 y x （2）在反比例函数 k y x 中，如果y 随 x 增大而增大， 那

12、么 k 0 当 k0 时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大 抛物线yk(x2x1) 215 () 24 k xk 的对称轴是直 线 1 2 x 图 1 所以当 k0 且 1 2 x 时，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大 （3）抛物线的顶点Q 的坐标是 15 (,) 24 k ，A、B 关于原点 O 中心对称， 当 OQ OAOB 时， ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形 由 OQ 2OA2，得 222215 ()()1 24 kk 解得 1 2 3 3 k （如图 2） ， 2 2 3 3 k （如图 3） 图 2 图 3 考点伸展 如图 4，已知经过原

13、点O 的两条直线AB 与 CD 分别与双曲线 k y x （k0）交于 A、B 和 C、D，那么 AB 与 CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形 问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？ 如图 5，当 A、C 关于直线yx 对称时， AB 与 CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是 矩形 因为 A、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与 OC 无法垂直，因 此四边形 ABCD 不能成为正方形 图 4 图 5 例 4 2011年浙江省中考第23题 设直线 l1：yk1xb1与 l2：yk2xb2，若 l1 l2，垂足为H，则称直线l1与 l2是点 H

14、的直角线 （1）已知直线 1 2 2 yx ； 2yx ； 22yx ； 24yx和点 C(0，2)，则直线 _和_是点 C 的直角线 （填序号即可） ； （2） 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点 A(3， 0)、B(2，7)、C(0，7)，P 为线段 OC 上一点，设过B、P 两点的直 线为 l1，过 A、P 两点的直线为l2，若 l1与 l2是点 P 的直角线，求 直线 l1与 l2的解析式 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11 浙江 23” ，拖动点P 在 OC 上运动，可以体验到，APB 有两个时刻可以成为直角，此时BCP POA 答案 （1）直线和是点C 的

15、直角线 （2）当 APB90时， BCP POA那么 BCPO CPOA ，即 2 73 PO PO 解得 OP 6 或 OP1 如图 2，当 OP6 时， l1： 1 6 2 yx ， l2：y 2x6 如图 3，当 OP1 时， l1：y 3x1， l2： 1 1 3 yx 图 2 图 3 例 5 2010年北京市中考第24题 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2215 32 44 mm yxxmm与 x 轴的交点 分别为原点O 和点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上 （1）求点 B 的坐标； （2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点A 运动，过点P 作 x 轴的垂线，与直线

16、OB 交于点 E，延长PE 到点 D，使得 EDPE，以 PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形 PCD（当点 P 运动时，点C、D 也随之运动） 当等腰直角三角形PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求OP 的长； 若点 P 从点 O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1 个单位，同时线段OA 上另一 个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动， 速度为每秒2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动， 点 P 也停止运动） 过 Q 作 x 轴的垂线，与直线AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FM QF，以 QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点 Q 运动

17、时，点M、N 也随之运动） 若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直 线上，求此刻t 的值 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“10 北京 24” ，拖动点P 从 O 向 A 运动，可以体验到，两个等 腰直角三角形的边有三个时刻可以共线 思路点拨 1这个题目最大的障碍，莫过于无图了 2把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长 3点 C 的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长 4当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程 就可以求解了 满分解答 (1) 因为

18、抛物 线 22 15 32 44 mm yxxmm经 过原点，所以 2 320mm 解得 1 2m， 2 1m（舍去）因此 215 42 yxx所以点B 的坐 标为（ 2，4） (2) 如图 4，设 OP 的长为 t，那么 PE2t，EC 2t，点 C 的坐标为 (3t, 2t)当点 C 落在抛物线上时， 2 15 2(3 )3 42 ttt解得 22 9 tOP 如图 1，当两条斜边PD 与 QM 在同一条直线上时，点P、Q 重合此时3t10解 得 10 3 t 如图 2，当两条直角边PC 与 MN 在同一条直线上，PQN 是等腰直角三角形，PQ PE此时1032tt解得2t 如图 3，当两

19、条直角边DC 与 QN 在同一条直线上，PQC 是等腰直角三角形，PQ PD此时1034tt解得 10 7 t 图 1 图 2 图 3 考点伸展 在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以 QM 为直径的圆F 相切，求t 的值 如图 5，当 P、Q 重合时，两圆内切， 10 3 t 如图 6，当两圆外切时，30202t 图 4 图 5 图 6 例 6 2009年嘉兴市中考第24题 如图 1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，4MN，1MA，1MB以 A 为中心顺 时针旋转点M，以 B 为中心逆时针旋转点N，使 M、N 两点重合成一点C，构成 ABC，设 xAB （1）求 x 的取值范围；

20、 （2）若 ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究： ABC 的最大面积？ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“09 嘉兴 24” ，拖动点 B 在 AN 上运动，可以体验到，三角形的 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；CAB 和 ACB 可以成为直角，CBA 不可 能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当 AB 等于 1.5 时，面积达到最大值 思路点拨 1根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可 以求得 x 的取值范围 2分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的 存在性 3把

21、 ABC 的面积 S的问题，转化为S 2 的问题 AB 边上的高CD 要根据位置关系分 类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况 满分解答 （1）在ABC 中，1AC，xAB，xBC3，所以 .31 ,31 xx xx 解得21x （2）若 AC 为斜边，则 22 )3(1xx，即043 2 xx，此方程无实根 若 AB 为斜边，则1)3( 22 xx，解得 3 5 x，满足21x 若 BC 为斜边，则 22 1)3(xx，解得 3 4 x，满足21x 因此当 3 5 x或 3 4 x时， ABC 是直角三角形 （3）在 ABC 中，作ABCD于 D，设hCD， ABC 的面积为S，则xhS

22、 2 1 如 图2 ， 若 点D在 线 段AB 上 ， 则xhxh 222 )3(1 移 项 ， 得 222 1)3(hxhx 两边平方， 得 22222 112)3(hhxxhx整理， 得431 2 xhx两 边 平 方 ， 得16249)1( 222 xxhx整 理 ， 得 16248 222 xxhx 所以462 4 1 2222 xxhxS 2 1 ) 2 3 (2 2 x（ 4 2 3 x） 当 2 3 x时（满足 4 2 3 x） ， 2 S 取最大值 2 1 ，从而 S取最大值 2 2 图 2 图 3 如图 3，若点 D 在线段 MA 上，则xhhx 222 1)3( 同理可得，

23、462 4 1 2222 xxhxS 2 1 ) 2 3 (2 2 x（ 4 1 3 x ） 易知此时 2 2 S 综合得， ABC 的最大面积为 2 2 考点伸展 第（ 3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设aAD， 例如在图 2 中，由 2222 BDBCADAC列方程 222 )()3(1axxa 整理，得 x x a 43 所以 2 1a 2 2 2 1624843 1 x xx x x 因此 462)1 ( 4 12222 xxaxS 例 7 2008年河南省中考第23 题 如图 1，直线4 3 4 xy和 x 轴、 y 轴的交点分别为B、C，点 A 的坐标是（ -

24、2，0） （1）试说明 ABC 是等腰三角形； （2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点N 从点 B 出发沿线段BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒1 个单位长度 当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动 设 M 运动 t 秒时， MON 的面积为S 求 S与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时， 是否存在S4 的情形？若存在，求出对应的t 值； 若 不存在请说明理由； 在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求t 的值 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“08 河南 23” ，拖动点M 从 A 向 B 运动，观察S随 t 变化的图 象，可以体验

25、到，当M 在 AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M 在 OB 上时， S随 t 的增大而增大 观察 S的度量值，可以看到，S的值可以等于4 观察 MON 的形状，可以体验到，MON 可以两次成为直角三角形，不存在ONM 90的可能 思路点拨 1第（ 1）题说明 ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M、N 同时出发，同时到达 终点 2不论 M 在 AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用 含有 t 的式子表示OM 要分类讨论 3将 S4 代入对应的函数解析式，解关于t 的方程 4分类讨论MON 为直角三角形，不存在ONM 90的可能 满分解答 （1）直

26、线4 3 4 xy与 x 轴的交点为B（3，0）、与 y 轴的交点C（0，4）RtBOC 中， OB3，OC4，所以 BC 5点 A 的坐标是（ -2， 0），所以BA 5因此 BC BA， 所以 ABC 是等腰三角形 （2） 如图 2， 图 3， 过点 N 作 NHAB， 垂足为 H 在 RtBNH 中，BNt， 4 sin 5 B， 所以 4 5 NHt 如图 2，当 M 在 AO 上时， OM2t，此时 2 11424 (2) 22555 SOMNHtttt 定义域为0t2 如图 3，当 M 在 OB 上时， OMt 2，此时 211424 (2) 22555 SOMNHtttt 定义域

27、为2t5 图 2 图 3 把 S4 代入 2 24 55 Stt，得 2 24 4 55 tt解得1211t，2211t（舍 去负值）因此，当点M 在线段 OB 上运动时，存在S4 的情形，此时211t 如图 4，当 OMN 90时，在 RtBNM 中， BNt，BM 5t， 3 cos 5 B，所 以 53 5 t t 解得 25 8 t 如图 5，当 OMN 90时， N 与 C 重合，5t不存在 ONM 90的可能 所以，当 25 8 t或者5t时， MON 为直角三角形 图 4 图 5 考点伸展 在本题情景下，如果MON 的边与 AC 平行，求t 的值 如图 6，当 ON/AC 时，

28、t3；如图 7，当 MN/AC 时， t2.5 图 6 图 7 例 8 2008年河南省中考第23题 如图 1，直线4 3 4 xy和 x 轴、 y 轴的交点分别为B、C，点 A 的坐标是（ -2，0） （1）试说明 ABC 是等腰三角形； （2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点N 从点 B 出发沿线段BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒1 个单位长度 当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动 设 M 运动 t 秒时， MON 的面积为S 求 S与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时， 是否存在S4 的情形？若存在，求出对应的t 值； 若 不存在请

29、说明理由； 在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求t 的值 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“08 河南 23” ，拖动点M 从 A 向 B 运动，观察S随 t 变化的图 象，可以体验到，当M 在 AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M 在 OB 上时， S随 t 的增大而增大 观察 S的度量值，可以看到，S的值可以等于4 观察 MON 的形状，可以体验到，MON 可以两次成为直角三角形，不存在ONM 90的可能 思路点拨 1第（ 1）题说明 ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M、N 同时出发，同时到达 终点 2不论 M 在 AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示O

30、M 边上的高都是相同的，用 含有 t 的式子表示OM 要分类讨论 3将 S4 代入对应的函数解析式，解关于t 的方程 4分类讨论MON 为直角三角形，不存在ONM 90的可能 满分解答 （1）直线4 3 4 xy与 x 轴的交点为B（3，0）、与 y 轴的交点C（0，4） RtBOC 中， OB3，OC4，所以 BC5 点 A 的坐标是（ -2，0），所以BA5 因此 BCBA，所以 ABC 是等腰三角形 （2）如图2，图 3，过点 N 作 NHAB，垂足为H 在 RtBNH 中， BNt， 4 sin 5 B，所以 4 5 NHt 如图 2，当 M 在 AO 上时， OM2t，此时 2114

31、24 (2) 22555 SOMNHtttt定义域为0t2 如图 3，当 M 在 OB 上时， OMt 2，此时 2 11424 (2) 22555 SOMNHtttt定义域为2t 5 图 2 图 3 把 S4 代入 2 24 55 Stt，得 2 24 4 55 tt 解得 1 211t， 2 211t（舍去负值） 因此，当点M 在线段 OB 上运动时，存在S4 的情形，此时211t 如图 4，当 OMN 90时，在RtBNM 中， BNt，BM 5t， 3 cos 5 B， 所以 53 5 t t 解得 25 8 t 如图 5，当 OMN 90时， N 与 C 重合，5t 不存在 ONM 90的可能 所以，当 25 8 t或者5t时， MON 为直角三角形 图 4 图 5 考点伸展 在本题情景下，如果MON 的边与 AC 平行，求t 的值 如图 6，当 ON/AC 时， t3；如图 7，当 MN/AC 时， t2.5 图 6 图 7