《2014挑战中考数学压轴题_1.7因动点产生的相切问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014挑战中考数学压轴题_1.7因动点产生的相切问题.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.7 因动点产生的相切问题 例 1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题 如图 1，已知 O 的半径长为3，点 A 是 O 上一定点，点P 为 O 上不同于点A 的 动点 （1）当 1 tan 2 A 时，求 AP 的长； （2）如果 Q 过点 P、O，且点 Q 在直线 AP 上（如图2），设 AP x，QPy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）在（ 2）的条件下，当 4 tan 3 A 时（如图3），存在 M 与 O 相内切，同时与 Q 相外切，且OMOQ，试求 M 的半径的长 图 1 图 2 图 3 动感体验 请打开几何画板文件名“13 杨浦25”，拖动点P
2、在 O 上运动，可以体验到，等腰 三角形 QPO 与等腰三角形OAP 保持相似， y 与 x 成反比例M、 O 和 Q 三个圆的圆 心距围成一个直角三角形 请打开超级画板文件名“13 杨浦 25”，拖动点P 在 O 上运动，可以体验到，y 与 x 成反比例拖动点P 使得 5 2 QP ，拖动点M 使得 M 的半径约为0.82， M 与 O 相内 切，同时与 Q 相外切拖动点P 使得 5 2 QP ，拖动点M 使得 M 的半径约为9， M 与 O、 Q 都内切 思路点拨 1第（ 1）题的计算用到垂径定理和勾股定理 2第（ 2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似 3第（ 3）题先把
3、三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股 定理列方程 满分解答 （1）如图 4，过点 O 作 OHAP，那么 AP2AH 在 RtOAH 中， OA3， 1 tan 2 A ，设 OHm，AH2m，那么 m2(2m)232 解得 3 5 5 m所以 12 5 24 5 APAHm （2）如图 5，联结 OQ、OP，那么 QPO、 OAP 是等腰三角形 又因为底角P公用，所以QPO OAP 因此 QPOP POPA ，即 3 3 y x 由此得到 9 y x 定义域是0 x6 图 4 图 5 （3）如图6，联结OP，作 OP 的垂直平分线交AP 于 Q，垂足为D，那么QP、QO
4、 是 Q 的半径 在 RtQPD 中， 13 22 PDPO ， 4 tantan 3 PA ，因此 5 2 QP 如图 7，设 M 的半径为r 由 M 与 O 内切，3 Or ，可得圆心距OM3r 由 M 与 Q 外切， 5 2 Q rQP ，可得圆心距 5 2 QMr 在 RtQOM 中， 5 2 QO ，OM3r， 5 2 QMr ，由勾股定理，得 22255 ()(3)( ) 22 rr 解得 9 11 r 图 6 图 7 图 8 考点伸展 如图8，在第（ 3）题情景下，如果M 与 O、 Q 都内切，那么M 的半径是多 少？ 同样的，设M 的半径为r 由 M 与 O 内切，3 O r，
5、可得圆心距OMr3 由 M 与 Q 内切， 5 2 Q rQP ，可得圆心距 5 2 QMr 在 RtQOM 中，由勾股定理，得 22255 ()(3)( ) 22 rr 解得 r9 例 2 2012年河北省中考第25 题 如图1，A( 5,0)，B(3,0)，点C 在 y 轴的正半轴上，CBO45， CD/AB， CDA90点 P 从点 Q(4,0) 出发，沿x 轴向左以每秒1 个单位长的速度运动，运动时间 为 t 秒 （1）求点 C 的坐标； （2）当 BCP15时，求t 的值； （3）以点P 为圆心， PC 为半径的 P 随点 P 的运动 而变化，当 P 与四边形ABCD 的边（或边所在
6、的直线） 相切时，求t 的值 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 河北 25”，拖动圆心P 在点 Q 左侧运动，可以体验到， P 可以与直线BC、直线 DC、直线 AD 相切，不能与直线AB 相切 答案 （1）点 C 的坐标为 (0,3) （2）如图 2，当 P 在 B 的右侧， BCP15时， PCO30，43t； 如图 3，当 P 在 B 的左侧， BCP15时， CPO30， 43 3t 图 2 图 3 （3）如图 4，当 P 与直线 BC 相切时， t 1； 如图 5，当 P 与直线 DC 相切时， t4； 如图 6，当 P 与直线 AD 相切时， t5.6 图 4 图 5
7、图 6 例 3 2012年无锡市中考模拟第28题 如图 1，菱形ABCD 的边长为2 厘米， DAB60点P 从 A 出发，以每秒3厘米的速度沿AC 向 C 作匀速运动；与此 同时，点Q 也从点A 出发，以每秒1 厘米的速度沿射线作匀速 运动当点P 到达点 C 时， P、Q 都停止运动设点P 运动的时 间为 t 秒 （1）当 P 异于 A、C 时，请说明PQ/BC； （2）以 P 为圆心、 PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时， P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？ 图一 动感体验 请打开几何画板文件名“12 无锡 28”，拖动点P 由 A 向 C 运动，可以体验到
8、，P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1 个公共点，相交有2 个公共 点，相交只有1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点 请打开超级画板文件名“12 无锡 28”，拖动点P 由 A 向 C 运动，可以体验到，P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1 个公共点，相交有2 个公共 点，相交只有1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点 答案 （1）因为 2 AQt AB ， 3 22 3 APtt AC ，所以 AQAP ABAC 因此 PQ/BC （2）如图 2，由 PQPH 1 2 PC ，得 1 (2 33 ) 2 tt 解得4 36t 如图 3，由 PQPB，得等边三角形PBQ所以 Q 是 AB 的中点， t1 如图 4，由 PQPC，得2 33tt解得33t 如图 5，当 P、C 重合时， t2 因此，当4 36t或 1t33或 t2 时， P 与边 BC 有 1 个公共点 当4 36t1 时， P 与边 BC 有 2 个公共点 图 2 图 3 图 4 图 5