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1、2 定义与命题 1定义 对某些名称或术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是对名称和术语下定义 谈重点下定义的注意事项 在定义中， 必须揭示出事物与其他事物的本质属性的区别定义的双重性： 定义本 身既可以当性质用， 又可以当判定用 语句必须通顺、 严格、准确， 一般不能用 “大约 ”“ 大 概”“ 差不多 ”“ 左右 ”等含糊不清的词语 要有利于人们对被定义的事物或名词与其他事 物或名词区别 【例 1】 下列语句，属于定义的是() A两点之间线段最短 B连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 C三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 D三人行则必有我师焉 解析：判断是不是定义， 关
2、键看是否对名称或术语的含义加以描述，而且作出了规定 很 明显， A，C， D 没有对名称或术语作出描述，故应选B. 答案 ：B 点技巧分清定义与命题 注意定义与命题的区分，作出判断的是命题，对名称或术语作出描述的是定义 2命题 (1)定义：判断一件事情的句子，叫做命题 (2)命题的组成结构： 每个命题都是由条件和结论两部分组成条件是已知事项， 结论是由已知事项推断出 的事项命题一般写成“如果那么”的形式“如果”引出的部分是条件，“那么” 引出的部分是结论 有些命题没有写成“如果那么”的形式，条件和结论不明显对于这样的命 题， 要经过分析才能找到条件和结论，也可以将它们改写成“如果那么”的形式命
3、 题的条件部分， 有时也可用“已知”或“若”等形式表述命题的结论部分，有时 也可用“求证”或“则”等形式表述 谈重点改写命题 命题的改写不能是简单地加上“如果 ”“ 那么 ”， 而应当使改写的命题和原来的命题内 容不变，且语句通顺完整，命题的条件、结论要清楚可见有些命题条件和结论不一定只 有一个，要注意区分 【例2】 指出下列命题的条件和结论：平行于同一直线的两条直线互相平行；若 ab 1，则 a 与 b 互为倒数；同角的余角相等；矩形的四个角都是直角 分析： 命题的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项命题一般写成“ 如 果 ，那么 ” 的形式 “如果 ”引出的部分是条件，“那么 ”引
4、出的部分是结论 解： 条件：两条直线都和第三条直线平行，结论：这两条直线互相平行 条件： ab 1，结论： a 与 b 互为倒数 条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等 条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角都是直角 点技巧分清条件和结论 “若 则” 形式的命题中“若”后面是条件，“则”后面是结论 3公理、定理、证明 (1)公理 公认的真命题称为公理 公理是不需推理论证的真命题 公理可以作为推理论证定理及其他命题真假的依据 常用的几个公理： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 两边及其夹角对应相等的两个三角形
5、全等 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 三边对应相等的两个三角形全等 全等三角形的对应边相等、对应角相等 其他公理：等式和不等式的有关性质，等量代换都可以看作公理 (2)定理 有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理 定理是经过推理论证的真命题，但真命题不一定都是定理 定理可以作为推理论证其他命题的依据 (3)证明 推理的过程叫证明推理必须做到步步有据，条条有理 【例 3】 下列说法正确的是() A真命题都可以作为定理 B公理不需要证明 C定理不一定都要证明 D证明只能根据定义、公理进行 解析： 真命题并不都是定理，故选项A 不正确；定理必须经过证明，故选项C 不正确；
6、 证明可以根据定义、公理、定理进行，故选项D 不正确；公理是公认的真命题，不需要证 明，故选 B. 答案 ：B 点评： 掌握公理、定理、命题之间的区别，明确其含义，是解决本题的关键 4命题及真假命题的判断 (1)命题的判断 判断一个句子是否为命题，要根据命题的定义 命题的特征： 一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判 断，即具有明确的判断性如果一个句子对某一件事情没有作出任何判断，那么它就不是命 题 命题并不是数学所独有，凡是判断某一件事情的正确或错误的语句都是命题 命题是陈述语句，其他形式的句子，如：疑问句、 感叹句、 祈使句等都不是命题如： “你爱好什么运动？”没有
7、作出判断，这不是命题 注意： 错误的判断也是命题，不能以正确与否来判断是否为命题 (2)真假命题的判断 命题是一个判断，这个判断可能正确，也可能错误 因此可以将命题分为真命题和假命 题 正确的命题称为真命题 不正确的命题称为假命题 真命题、假命题的判断与比较： 要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命 题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据公理和定理证明 谈重点判断真假命题的方法 如果题设成立，结论也一定成立，那么这样的命题为真命题；如果题设成立， 但结 论不成立，这样的命题为假命题 【例 41】 下列句子中是命题的有_(填序号 )直角三角
8、形中的两个锐角 互余正数都小于0.如果 1 2180 ，那么 1 与 2 互补太阳不是行星 对顶角相等吗？作一个角等于已知角 解析： 判断是否为命题，要根据命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对 某件事情做出肯定或否定的判断所以 是命题， 它们都对事情作出了肯定回答； 是命题，它对事情作出了否定回答； 不是陈 述语句； 只是描述了一个作图的过程，并 未作出判断，不是命题 答案 ： 【例 42】 下列命题中，真命题是() A若 a b0，则 a 0，b0 B若 a b0，则 a0，b 0 C若 a b 0，则 a 0，且 b0 D若 a b0，则 a0，或 b0 解析：分析是否为真命题
9、， 需要分析各题设能否推出结论，从而利用排除法得出答案 由 a b0 可得 a，b 同号，可能同为正，也可能同为负，所以A 是假命题； a b0 可得 a，b 异号，所以B 是假命题； a b0 可得 a，b 中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零， 所以 C 是假命题；若a b0，则 a 0，或 b0，或二者同时为0，所以 D 是真命题故选 D. 答案 ： D 【例 43】 已知下列命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形；等腰梯形的 对角线相等；对角线互相垂直的四边形是菱形；内错角相等 其中假命题有_(填序号 ) 解析： 真命题对角线互相平分的四边形是平行四边形 真命题等腰梯形的 对角线
10、相等 假命题对角线互相垂直平分的四边形是菱形 假命题两直线平行，内错角相等 答案 ： 析规律巧判真假命题 命题是判断事情的语句若命题判断的事情是正确的，则命题是真命题；反之，命题为 假命题 5命题的组合 命题是由条件和结论组成的，当条件成立，结论也成立时，该命题即为真命题命题 的组成就是通过选择一定的条件，使结论成立，即组成真命题 组合新的命题是考察命题的概念及有关知识的重要题型该题型常见于对几何的考查， 一般是给出几个单独的论断，根据有关知识内容结合图形重新组合写出正确的命题 命题的条件和结论往往不是固定的，要使所组合的命题是正确的，要求必须理解掌握有 关的知识内容 点评： 命题组合时，条件
11、可能不止一个，注意两个条件的情况 组合命题一般是几 何中的某一图形的性质或者判定 【例 51】 如图，在 ABD 和 ACE 中，有下列四个论断：ABAC； ADAE； B C； BDCE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一 个正确的命题 _(用序号的形式写出 ) 解析： 答案 不唯一，如：由ABAC，BC，BD CE，得到 ABD ACE，则 ADAE.所以 . 答案 ： 【例 52】 对同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断： ab；b c； ab； ac； ac.以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成一个你认为正 确的命题： _(用序号表示 ) 解析： 答案 不唯一根据“ 如果 两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平 行” ，可得出：若 ，则 . 答案 ：若，则