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1、107 Maple 绘图第 六 章 这一章将围绕着Maple 中的绘图功能进 行初步的介绍。本章的介绍将以Windows95 系统中的 Maple V Release 5为例，在其他 版本的 Maple 中，大部分的例子都可以实现。 但是，和各种系统相应，这些绘图功能的输 出是有所不同的。我们把介绍的重点放在各 类函数的使用方法上，对于不同系统下的界 面差异将不作介绍。 本章具体包括以下内容： 单变量函数曲线绘制 参数曲线的绘制 隐函数确定的曲线 根据数据绘制曲线 二维动画的绘制 双变量函数曲面绘制 参数曲面的绘制 隐函数确定的曲面 由数据生成曲面 三维动画的绘制 Maple V Releas
2、e 5 起步与进阶 。108 和别的语言不同，当我们利用Maple 进行二维或者三维绘图时，Maple 可以自动地决定 所需的点数、坐标轴的位置、标尺的数字、图形的颜色等等繁杂的设置，在默认状态下就可 以绘制出令人满意的图形。当然， 你也可以自己设定各种不同的绘图设置，比如更改绘图的 坐标系（以画出极坐标、球坐标、或柱坐标下的图形），或者绘图的点数。 下面，我们就由浅入深地介绍Maple 中的绘图方法。 6.1 二维基本图形绘制 在 Maple中，单变量函数曲线的绘制可以使用函数plot。例如，我们需要绘制函数 )sin()( 3 2 xexf x 在区间 -2，2上的图形，我们可以这样来实现
3、。首先用箭头操作符定 义函数： 然后，调用plot 函数。 键入命令后， 所绘制的图形会立即出现在同一个可执行块中。Maple V Release 5 也支持 把图形单独绘制在一个窗口中，如图6.1 所示，只需要在菜单Option | Plot Display 选择 Window 即可。 一般地，函数plot 的调用格式为plot(f, ab, options)。其中， f 是需要绘制的函数，ab 是自变量的变化范围，options 是可选参数，用它可以控制图形的绘制，我们将在下一节中 详细介绍。除了可以绘制函数的图形外，plot 也可以绘制表达式表示的函数图形，调用格式 为 plot(exp
4、r, x = ab, options)。其中， expr 是表达式（相信读者一定知道表达式和函数间的 区别了），x 是表达式中的自变量，因为表达式中没有自变量的信息（甚至可以是多变量的 表达式），所以必须指定自变量，并用等式形式给出自变量的变化范围。 第六章Maple 绘图 。109 图 6.1 在窗口中绘图 这些基本的绘图功能，Maple 和其他的树脂绘图工具（比如Matlab 、Origin 等）并没有 什么区别。但是，作为符号代数系统，Maple 具有其更为强大的功能，它甚至可以在无穷区 间上绘图。 例如，我们希望在整个实数轴上绘制上面的函数f 的图形： 显然，现在的x 轴并不具有均匀的
5、标尺（否则我们将什么也看不到）。为了显示所有实 数轴上的图形，Maple 作了一个映射，它将整个实数轴映射到(-1, 1)区间上。这个映射可以 近似地表示为) 2 arctan( 2x x。我们可以用Maple 在整个实数域上绘制这个映射函数， 得到的结果接近于一条直线，可见，Maple 绘图中使用的从( , ) 到(-1,1)的映射和这 个表达式相近。 在 Maple 中，可以同时绘制几个图形，也就是把几个函数图形绘制在同一张图上。对于 每一个不同的函数或表达式，Maple 会自动地选择一种不同的颜色来绘制图形，以加以区别。 绘制多个函数的plot 的用法和前面的相近，只是第一个参数是一个函
6、数或表达式的集合（用 一对花括弧“ ”括起来）。 Maple V Release 5 起步与进阶 。110 Maple 的绘图不仅可以在屏幕上进行，还可以输出到不同的设备。例如，可以输出到打 印机文件PostScript 格式的描述文件。它可以用来直接打印，也可以插入到其他支持 PostScript 格式的程序中去，例如TEX。 用以上的形式调用interface 函数后， 图形便会以PostScript 格式输出到文件名为plotfile 的文件中去了。如果需要将图形输出重新定向为默认的格式，可以用plotfile = default 或者 plotfile = inline为参数调用int
7、erface。 6.2 plot 函数的可选参数 在默认情况下，Maple 的 plot 函数会自动地选择各种绘图参数。例如，它可以自动选择 绘图的区间，采样点数，标尺的刻度等等。Maple 选择这些参数的依据是，使最常用的图形 绘制尽可能简单易行，而且具有可以认可的质量。当然，为了绘制某些特殊要求的图形，我 们也可以人为地确定这些绘图参数。 第六章Maple 绘图 。111 我们已经知道，对于单变量函数曲线的绘制，plot 的第二个参数是横坐标（自变量）的 取值范围； 如果要限制纵坐标的取值范围，就需要在调用plot 时将它作为第三个参数。在上 面这个例子中，我们在自变量取值区间(-6, 6
8、)上绘制表达式 2 2 sin x x 的图像，而且设定了纵坐 标的范围 0, 1，这样，图像在0, 1 以外的部分就被切除了。 通常情况下这一参数好像并没有必要，但有的时候，函数在我们关心的区域内有奇点， 或者有远大于其他地方函数值的极值点。这时在使用默认的参数绘图，就会得到一些具有 “尖 峰”的函数图形，而其他地方的函数特征都被掩盖掉了。比如我们要绘制正切函数的图像， 在默认情况下得到的曲线是这样的： 为了得到可以恰当地反映函数特征的曲线，这时就必须限制纵坐标的显示区间。比如对 于正切函数的图像，我们在-10, 10 的纵坐标范围中对其进行绘制，得到的曲线就比较令人 满意： 关于绘图的比例
9、问题，默认情况下，Maple 自动调整横纵坐标的比例，使横纵坐标上的 最值都可以被正常显示（如果函数在给定区间里有最值的话）。这样，横纵坐标的显示比例 往往是不相同的，如果要使横纵坐标以相同的比例显示，可以加入控制参数scaling = constrained。 Maple V Release 5 起步与进阶 。112 如果所要绘制的函数具有单变量的子程序形式，那么第二个参数可以略写为自变量的取 值范围，而无须指定自变量名称，如前例中正切函数的曲线绘制所示。这样，横纵坐标上都 只有刻度，而没有名称。如果在限制取值范围的同时，还指定了自变量和函数名称，那么坐 标轴上也将分别标上它们的名称。而且，
10、 在 plot 中，我们还可以指定图像的标题，只需要在 plot 中加入可选参数title = 标题，当然标题当中一般都含有特殊字符，例如空格、 括弧等等， 所以需要用反向撇号“ ”将它括起来（也可以用一对双引号括起来，作为字符串）。 在上面的例子中，我们还使用了两个附加参数，xtickmarks=8 和 ytickmarks=4 ，它们分 别指定了横、纵坐标上刻度值的个数。 上面这种绘图方法，一气呵成，把所有要加的东西都一次加上，这样当然方便；但有时 我们需要逐步的在图像中加入各种元素，然后一同显示。 这时， 我们可以把图形对象赋值给 一个变量（这个变量的类型是函数型的）。把我们需要的图形元
11、素依次赋给不同的变量，然 后调用 plots 工具包中的函数display 就可以将它们显示在一张图上了。我们还可以用textplot 在图形的任意位置进行标注。 第六章Maple 绘图 。113 plotstextplot 函数的第一个参数是一个有序表的集合，其中每个有序表表示一个标注。 有序表由三个元素组成，前两个表示标注点的坐标，第三个是需要标注的数值、变量或者字 符串（不管什么类型， 输出时都会转换成为字符串输出）。plotstextplot 的第二个参数align = t 是可选参数，它确定标注的字符串相对于给定坐标的对齐方式，其中t 可以是 BELOW ， RIGHT ，ABOVE
12、 ，LEFT 中的一个或几个的集合，在默认情况下，plotstextplot 将字符串的 中心位置和给定坐标对齐。plotsdisplay 函数可以用来显示图形对象，它可以显示一个图形 或者几个图形的集合。 在绘图时， Maple 首先计算曲线上的一些点的坐标（点的个数可以用参数“numpoints = 点数”人为地设定） ，然后，在默认情况下，Maple 用直线段把这些离散的点连成一条曲线。 但有时需要绘制离散的点构成的图形，可以设置参数style = point （默认情况下为style = line） 。 对于多边形， 还可以将绘图方式style 设成为 patch，这时绘制的是经过填充
13、的多边形。 在用 point 方式绘制曲线时，Maple 会用一些以函数点为圆心的小圆圈来绘图，例如： 除了绘制函数或者表达式的曲线外，plot 还可以用于对给定的离散数据绘图，这时同样 Maple V Release 5 起步与进阶 。114 也可以选择point 的绘图方式。例如，我们要在图上绘制前9 个素数，可以把这9 个素数及 其序号组成的有序表作为第一个参数传给plot： 用已知数据绘图往往用在图形不能够显式地写成解析表达式的情况，比如在下面这个例 子中，我们需要绘制以1.0 为初值对余弦函数进行迭代的图形。首先，需要生成一个点的有 序表： 1.0, cos(1.0), cos(1.
14、0), cos(1.0), cos(1.0), cos(cos(1.0), cos(cos(1.0), cos(cos(1.0), cos(cos(1.0), cos(cos(cos(1.0), 。 这样的有序表，最简便的生成方法是利用函数符合操作符： 这里， trunc 函数是向下取整函数，它是用来获得cos的复合次数的；而cos( num ) 则表示 cos函数复合运算num 次。 得到了这些数据对之后，就可以绘制图形了，为了使整个迭代过程更加清楚，我们同时 还要绘制两个函数的图形y = x 和 y = cos(x)。我们将它们分别保存在不同的变量中。 由于图形是分别绘制的，所以Maple
15、 不对它们取不同的颜色；为了加以区别，我们用 第六章Maple 绘图 。115 colour 参数设置绘图的颜色。 Maple 中对于常用的颜色都有相应的名称，请参考再线帮助plot, colour 。 最后，我们用plots 工具包中的函数display 绘制这些图形，并且加上标题。 6.3 二维图形对象的结构 为了能清楚地知道Maple 绘图的可靠性， 我们必须了解它的绘图机制。Maple 中的绘图 是分两步走的：其一，计算出所有的绘图点，再将它存入到图形对象PLOT 中；其二， 在屏幕或者其他输出设备中进行图形的绘制。在这一小节中， 我们把介绍的重点放在第一步 中。 Maple 的图形对
16、象实际上是一个函数调用，plot 函数实际上就是生成了一个这样的函数 PLOT。 PLOT 函数有多个参数，分别确定了绘图所需的点的坐标，绘图的方式，坐标 轴的模式等等。我们也可以直接调用PLOT 函数生成图形对象，例如， 可以画一个一致三个 顶点的三角形： 我们提供了该函数的部分参数CURVES( )和 AXESSTYLE( )，分别表示曲线的 点，坐标轴的模式。其余的参数，例如COLOUR （绘图的颜色） 、 VIEW （绘图范围） 、 AXESTICKS （标尺刻度）等，Maple 都自动选择了默认的情况。 Maple V Release 5 起步与进阶 。116 那用 plot 函数所
17、生成的图形对象是不是和它有所不同呢？作为例子，我们来看一看函数 xxf22)(的图像在Maple 中的结构。 （由于点的数据过多，在这里予以省略） 不难发现，除了特殊的绘图要求需要有较多参数外，这个数据结构和前面的是相同的。 在 Maple 中只要再次输入它，就可以得到它所表示的图形： 调用绘图函数plot 时，Maple 首先对表达式或函数求值，然后在采样点上求它的数值结 果。为了提高运算速度，Maple 在这里使用的是硬件浮点（详见第一章）。 为了提高图形的质量，Maple 在选择采样点的时候采用的是逐步求精的方法。首先，计 算绘图区间中几乎等距的49 个采样点上的函数值；然后，Maple
18、 会检验这些点之间的连续 程度， 检验时用的算法很好理解，想象这些点依次用直线段相连，相邻的两条直线段之间会 形成一定的夹角，如果夹角过大，也就是在这里的连续性不好，Maple 会适当增加附近的采 样点数，以提高图形的质量。但作为一个成熟的计算机软件，Maple 决不会无限制地把采样 点数增加下去。图形的最高分辨率由选项resolution 确定， resolution 的默认值是200。也就 是说，默认情况下，采样点数总是介于49200 之间。 实际上，在上一个例子的图形中，Maple 已经在局部增加了采样点数。这在完整的图形 上几乎看不出来。但是可以利用plots 工具包中的函数replo
19、t 将图形在局部放大，就可以清 楚地看到这一点图形的许多个采样点之间间距不同（如下图所示），这就是利用了上面 的逐步求精算法的结果。 第六章Maple 绘图 。117 但有时，对于一些局部连续性不是太好的函数，Maple 自动取的采样点仍不能使我们满 意。例如，表达式 x x 5cos1 在区间 ( -5, 5 )上的图像： 这时， 人为地增加采样点数，可以提高图形的质量。采样点数可以在plot 函数中用参数 “numpoints = 预定的采样点数”给出。 Maple V Release 5 起步与进阶 。118 前面我们所作的绘图参数的改变，都是对于单个图形对象而言的，如果需要改变默认的
20、绘图参数，可以调用函数setoptions。 6.4 特殊二维图形的绘制 6.4.1参数曲线的绘制 在 Maple 中，对于笛卡尔系下的参数曲线 bta tgy tfx )( )( ， 调用 plot 函数的标准格式是plot( f(t), g(t), t = ab , options )，其中 ab是绘图的范围， options 是可选参数，它的可选参数和绘制一般平面图形式相同的。 作为例子，我们来画一条平面螺线： 当所需绘制的图形是用函数而非表达式给定时，就不能再给定它的自变量了，例如： 第六章Maple 绘图 。119 6.4.2极坐标下的绘图 Maple 的极坐标绘图和二维参数曲线的绘
21、制极其相似，函数调用格式相同，所不同的是 需要增加一个控制参数coords = polar， 极坐标绘图的一般格式为：plot( r(t), (t), t = t0t1 , coords = polar, options )。其中 r(t)和(t)分别是向径和辐角的函数。例如，我们用它在极坐 标下绘制蜗线（cochleoid） ： 绘制极坐标图形，不仅可以通过在plot 中加参数的方法实现，还可以直接调用plots 工 具包中的函数polarplot ，它的调用格式和输出结果都是和上面的调用相同的。作为例子，我 们来看一个有趣的图形，它看起来有点像Maple 的商标图案一片枫叶。 Maple
22、V Release 5 起步与进阶 。120 6.4.3平面代数曲线的绘制 在 Maple 的 plots 工具包中，还有一个函数implicitplot ，利用它可以绘制用一个二元方 程隐式定义的二维平面曲线。例如： 在 Maple 内部，这样的隐函数f(x, y) = 0 的图形被视为一个空间曲面（由方程所定义的 二维函数f(x, y) ）和 z 平面的交线，函数implicitplot的算法就是基于这一点的。由于求交算 法会用到二维曲面的梯度，所以这一算法在函数的奇点附近，也就是0 y f x f 的点附近， 会遇到无法逾越的障碍。最典型的一个例子是由方程： 0232 23244 yyy
23、xyx 所定义的曲线，它有两个奇点，(0, 0)和(0, 1)。即使试用很高的分辨率（用grid 参数设 置） ，implicitplot仍然不能正确地画出它的图形，而且计算所需的时间和资源是令人无法忍 受的。 第六章Maple 绘图 。121 这个算例是在Pentium 200 上进行的， 它运行了将近两分钟，还占据了20M 的内存 （可 以在窗口的状态条上看出）。然而，得到的图形还是不理想，尤其在原点附近。 所以，我们不能过分依赖于Maple 的 implicitplot ；如果可以将表达式写成显式的或者参 数形式的， 就不要直接用隐式表达式画图。例如， 上面这个例子就可以在极坐标中写成为
24、显 式的表达式。 有了显式表达式，就可以用polarplot 在极坐标中绘制图形了： Maple V Release 5 起步与进阶 。122 相比之下，这个图形比前面的要好得多，而且绘图速度也有极大的提高。 6.4.4对数坐标下的绘图 在 Maple 的 plots 工具包中， 还有对数坐标下的绘图函数logplot 和双对数坐标下的绘图 函数 loglogplot 。它们的用法都和plot 类似，也都可以用于绘制表达式，函数和离散数据。 在这里，就不一一详细介绍了，以一个简单的例子来说明它们的使用。 对数坐标绘图往往用在数据处理上，因为在对数坐标上可以看出函数的指数关系。作为 例子，我们用
25、统计工具包中的随机函数random 生成一组具有正态扰动的数据。 然后，用 logplot 来绘制图形： 双对数坐标绘图函数loglogplot 的使用也与此类似，这里不再赘述。 第六章Maple 绘图 。123 6.4.5共形映射的图形绘制 Maple 的绘图工具包plots 中还有一个共形映射（保角变换，conformal mapping）的绘 图函数conformal 。它可以绘制复平面上的一个矩形区域经过给定变换后的图形，还可以在 中间绘制网格。 作为例子，我们来看一个常用的变换e z，它把复平面上一个矩形区域映射成一个半环 形的区域。可以用conformal 获得变换后的网格图形：
26、6.5 二维绘图的注意事项 6.5.1图形走样 前面曾经说过，Maple 在绘图是采用的是逐步求精的算法，逐渐增加采样点数。但它仅 仅在采样点明显不足时也就是图形不连续时才增加采样点数。这样， 有时难免会损失绘 图的局部精度。 因为根据采样定理，采样率必须高于最高频率的两倍，否则会发生频率混淆。 而如果 Maple 第一次采样就低于最高频率，而且因为频率混淆是图形呈现出虚假的“连续”， 这时走样就难于避免了。 例如，我们用默认采样点数绘制x + sin(2 x)在区间 (0, 50)上的图形，就会损失大部分 的局部细节： Maple V Release 5 起步与进阶 。124 当然， 这里我
27、们知道图形的本来面目，所以发生了走样可以察觉；但有时并也不清楚所 绘制图形的特征，这时就需要格外小心，必要时可以适当增加采样点数（用numpoints 作为 附加参数）。 6.5.2常见的错误 对于用 plot(f(x), x = x min x max)形式调用的函数f 的图形绘制， Maple 首先把 f(x) 化成 为 x 的表达式，然后才对其进行数值计算。在一般情况下，这样的调用是不会有问题的，但 如果 f 是一个分段函数， 或者数值函数， 这样的调用就会发生问题。例如下面这个分段函数： 因为函数中有分支结构存在，Maple 不能把它化成为符号表达式，所以无法继续进行下 去。解决这个问
28、题的方法之一是在它外面加上单引号延迟它的求值： 不过，对于单变量函数，最方便的方法还是用函数名的直接调用：plot(f, x min x max)。 第六章Maple 绘图 。125 6.6 基本三维图形的绘制 在 Maple 中，绘制由二元函数确定的三维空间中的曲面，和绘制一元函数的图形同样方 便，只需要调用plot3d，并且确定变量的范围就可以了。例如，绘制曲面cos(x, y)在-3x3 ， -3y3 中的部分，可以这样调用plot3d ： 上面的命令是以下的标准调用格式的一个例子。一般地，对于二元函数或者表达式f(x, y)，绘制它所确定的曲面，plot3d 的调用格式如下： plot
29、3d( f(x, y), x = a b, y = c d, options ); 其中， a b 和 c d 分别是自变量x 和 y 的绘图取值范围，而 options 是可选参数， 它指 定绘图的选项，对它的详细介绍将在下一节中进行。 和 plot 一样， plot3d 也有函数的调用形式。对于函数f 确定的曲面，标准调用形式为： plot3d( f, a b, c d, options ); 下面，我们再用函数形式的调用绘制前面的图形，而且在调用时提供了一些绘图参数： Maple V Release 5 起步与进阶 。126 6.7 三维绘图的选项 如同二维绘图一样，三维绘图也有许多的选
30、项，使用户能够自定输出图形的形式。所有 这些选项， 都可以通过在plot3d 中附加绘图参数实现。在 Maple V Release 5 for Windows 中， 也可以用鼠标选中绘制好的图形，然后在窗口的菜单中相应的选项中进行改动；在图形上单 击鼠标右键弹出的菜单中也可作相同的改动。 在这一节中，我们将对于常用的绘图选项分别加以介绍。 6.7.1style 选项 style 选项决定着图形的样式，可以在函数调用中用“style = 样式名称”指定，也可以 在菜单 Style 中选择相应的样式。对于三维绘图，默认的样式是PATCH ，也就是经过填充后 的曲面图形。 对于三维曲面， 它表现为
31、有一些四边形的小面片组成的近似曲面。对于其他的 绘图样式，我们列表加以说明： 表 6.1 三维图形的样式 样式名称对应的菜单项对应的样式 PATCH Patch 填充后的面片 PATCHNOG RID Patch w/o gird 无线框的填充面图 PATCHCONTOUR Patch and contour 带等高线的填充面图 POINT Point 离散点图 WIREFRAM E 或 LINE Wireframe 线框图 HIDDEN Hidden line 消隐后的线框图 CONTOUR Contour 等高线图 在菜单 Style 下， 还可以设置点、 线的样式，线宽， 和网格形状，
32、分别对应着菜单项Symbol， Line Style ，Line Width ，Grid Style 。其中，点的样式和线的样式分别在绘制点图和线图时才 会起作用。 6.7.2着色选项 在 Maple 的曲面图形中， 着色方式可以用 “shading = 着色方式” 在调用 plot3d 时加入； 对于已经绘制好的图形，也可以在菜单Color 中选择。着色方式的含义，及对应的菜单项请 见下表： 表 6.2 三维图形的着色方式 着色方式对应的菜单项方式的具体含义 XYZXYZ 对 X + Y + Z 相等的点采用相同的色彩 第六章Maple 绘图 。127 XYXY 对 X + Y 相等的点采用
33、相同的色彩 Z Z 根据高度（ Z）不同着色（红蓝色） ZGREYSC ALE Z (Grayscale) 根据高度（ Z）用灰度着色 ZHUEZ (Hue) 根据高度（ Z）用全彩色着色 NONENo Coloring 不着色 注： shading = NONE 和 style = PATCH 联合使用可以生成单色的线框图。 6.7.3坐标轴选项 使用 axes选项或者菜单Axes 可以确定绘图时坐标轴的绘制方式。Maple 中有四种坐标 轴绘制方式： BOXED ，NORMAL ，FRAME ，NONE 。对于三维图形， 默认的选项是NONE ， 也就是不绘制坐标轴。BOXED是绘制框式的
34、坐标轴，将图形绘制在一个立方体框中； NORMAL是通常我们在数学中使用的坐标轴，它绘制于图形的中部，接近原点的地方，但 对于三维图形，这样的坐标轴会影响图形的显示。一般而言，FRAME 是比较好的选择，它 只在图形边缘绘制坐标轴，完全不影响图形本身。 6.7.4空间朝向和投影 在 Maple 中，三维图形的空间朝向是 用视线和空间笛卡尔坐标系的两个夹角 和 确定的，如图6.2 所示。可以在调用 plot3d 时用选项 orientation = , 设置。 角 控制着图形在水平方向的转动， 而角 控制着图形的俯仰角度，越大， 视线相对于图形就越低。=90（度）时， 就意味着从水平方向观察图形
35、。 图形的朝向控制没有菜单选项，但是 可以利用鼠标直接进行调整。只需在图形 上按住鼠标左键，朝所需转动的方向拖动，图形的朝向就会相应地改变，操作十分方便。 6.7.5透视投影 三维空间的图形，要显示在平面上，必须采用一定的投影方式。在 Maple 中，我们可以 用绘图选项projection 确定图形的投影方式。Projection 必须设定成一个介于0 和 1 之间的数 值，数值的大小表示视点距离物体的远近，0 表示非常贴近被观察物体，绘图的效果类似于 鱼眼镜头的摄影效果，透视效果非常明显；1 表示距离被观察物体无穷远，也就是平行投影， 没有透视效果。Maple 中有三个预设的投影效果FIS
36、HEYE ， NORMAL ， ORTHOGONAL ， 分别对应着取0，0.5，1 的情况。在菜单Projection 中也有相应的选项No Perspective（无透 视） ，Near Perspective（近距透视） ，Medium Perspective （中距透视） ，Far Perspective（远透 z 视线 0 y x 图 6.1 空间朝向的确定 Maple V Release 5 起步与进阶 。128 视）对应着不同的投影方式。 为了体会不同投影方式的效果，我们来看同一个曲面在不同透视距离时的图形（注意图 形朝向也就是视角并未发生改变）： （a）无透视（ No Pers
37、pective）（b）近距透视（ Near Perspective） 第六章Maple 绘图 。129 （c）中距透视（ Medium Perspective）（d）远透视（ Far Perspective） 图 6.2 曲面的不同透视效果 6.7.6网格大小 和二维绘图不同， 在三维绘图中Maple 没有相应的逐步求精采样算法，采样点数或者说 网格数是确定的。默认情况下，Maple 采用 25 25 的网格绘制曲面。如果需要人为加以限 制，可以用grid = m, n 在绘图时确定网格数为mn，也就是在x 方向分为m等分， y 方向 分为 n 等分。 和前面所讲的选项不同，网格划分时必须在绘
38、图之前确定的选项。也就是说， 图形一旦 绘制完成， 这一选项就无法再改动，否则必须重新计算；而前面介绍的选项都是图形的外观 选项，无需改动图形的数据点。这也就是网格数没有对应的菜单选项的原因。 6.7.7观察区域 和二维图形一样，在 Maple 中，不仅可以设置绘图的自变量变化范围，还可以设置观察 的区域， 也就是输出图形的区域。可以只设置z 方向的范围 （另两个方向的范围和自变量的 变化范围是相同的） ，当然也可以设置三个方向的范围。设置观察区域的范围需要在绘图时 在 plot3d 中加入可选参数，加参数的格式可以使下面两种中的任何一种： view = z min z max view =
39、x min x max, y min y max, z min z max 6.7.8光照模型 为了使所绘制的三维图形具有立体感，仅仅使用着色是不够的，采用一定的光照模型可 以极大地增强图形的表现效果。在Maple 中用 plot3d 等函数绘制三维图形的时候，可以用 light = , , r, g, b 设置光源。其中和 是光源的方位，定义和图形朝向中的视线角度定义 相同， r、g、b 是设置光源的颜色的，分别表示光源的红、绿、篮色分量，它们在01 之间 取值。 但是， 这样定义光源的位置和属性不十分方便，往往经过多次的调整，还打不到满意的 效果。 Maple 中预设了几种光照模型，我们可
40、以用lightmodel选项加以设置，预设的值有 light1 ，light2 ，light3 ，light4 四种，默认的情况是none，表示不使用光照模型。这些光照模 型可以通过菜单Color 中直接予以选择。下图所示是对前面的例子采用光照模型light4 后的 效果。 Maple V Release 5 起步与进阶 。130 图 6.3 光照模型的使用 在这一节中， 我们介绍了三维绘图中的常用选项。其他还有一些不常用的选项，这里不 再一一介绍，如果需要，可以察看Maple 的在线帮助plot3d, options。我们介绍的方法都是 针对单个图形而言的，如果需要改动系统的默认绘图选项，可
41、以调用函数setoptions3d 进行 设置。 6.8 三维图形对象的结构 和二维图形一样，Maple 绘制三维图形的过程也可以分为两步。其一，Maple 计算各个 网格点上的函数值，并将它们和绘图参数一起存入三维图形对象PLOT3D 中；第二步， Maple 将 PLOT3D 对象绘制到屏幕或其他设备上。先来看一个简单的例子： 第六章Maple 绘图 。131 有了前一节中绘图选项的知识，相信读者不难理解上面例子中图形对象参数的意义。这 是一个以点（ 1，1，1） ， （-1，-1，1） ， （-1，1，-1） ， （1，-1，-1）为顶点的四面体，以线框 样式绘图，坐标轴采用框式的，观察
42、方向为（30 ，60 ） 。 用 Maple 三维绘图函数plot3d 得到的三维图形对象也具有这样的形式。只不过如果采 用矩形网格，那么PLOT3D 中的第一个数据结构将不再是POLYGONS ，而是一个形式类似 于矩阵的数据结构GRID 。例如，我们用默认的矩形网格绘制二元函数f(x, y) = x y 2确定的 空间曲面： 有了这些数据点，Maple 下一步就可以用线性插值的方法绘制整个曲面了。 6.9 特殊三维图形的绘制 在本章第四节中，已经介绍了一些特殊的二维图形的绘制。同样，Maple 也提供了一些 特殊三维图形的绘制函数。它们中的大部分位于Maple 的绘图工具包plots 中。
43、在这一节中， 我们将对其中一些常用的特殊图形绘制函数作一简单介绍。 6.9.1空间参数曲线和参数曲面 在 Maple 的 plots 工具包中有绘制空间参数曲线的函数spacecurve。它标准的调用格式 为： spacecurve ( L, options )。 Maple V Release 5 起步与进阶 。132 其中，第一个参数L 是一个数据的有序表或者一个表示参数曲线的有序表，表示参数曲 线的有序表必须具有三个或四个元素，前三个分别表示x，y，z 的参数表达式， 最后一个（可 选）为参数的变化范围。options 是绘图的选项。在上面的例子中，我们在同一张图上绘制 了三条参数曲线。
44、 要绘制参数曲面，只需调用plot3d 函数。绘制由参数方程x = f(s, t), y = g(s, t), z = h(s, t) 所确定的曲面，标准的调用格式为：plot3d( f(s, t), g(s, t), h(s, t) , s = a b, t = c d , options )。其中 a b 和 c d 是参数 s 和 t 的取值范围，options 是绘图选项。 作为例子，我们绘制一个螺旋面： 第六章Maple 绘图 。133 6.9.2球坐标和柱坐标下的绘图 Maple 也支持球坐标和柱坐标下的三维图形绘制，它们分别是plots 工具包中的 sphereplot 和 cy
45、linderplot 函数。下面通过两个简单的例子来说明它们的使用： 首先通过一个常函数1 绘制球坐标中的单位球面： 接下来用常函数1/2 在柱坐标下绘制一个圆柱面： 用 plots 中的函数 display3d 可以将多个三维图形对象绘制在同一张图中，这样， 可以通 过多个简单图形合成比较复杂的图形。例如，我们可以这样将上面两个图形合成起来： display3d( %, %, ) 6.9.3管状图形的绘制 在 plots 工具包中有一个函数tubeplot， 它专门用于绘制由一条或者多条空间曲线定义的 管状图形。 作为例子，我们用它绘制一个较为复杂的三维管状图： Maple V Releas
46、e 5 起步与进阶 。134 6.9.4等高线图绘制 等高线图在工程和科学领域的许多方面都有应用，例如二维数据场的可视化等等。Maple 中也提供了绘制等高线图的函数contourplot 。等高线的条数可以在函数调用时用“contour = 条数”设置，默认情况下是20 条。 作为例子，我们来绘制平面上四个同性点电荷（-1，0） ， （ 1，0） ， （0，1） ， （0，-1）产 生的电场的等势线。从物理学中知道，一组在Pi的点电荷q i在 P 点的电势有计算公式： )ln( i ii qUPP 第六章Maple 绘图 。135 平面的数据场还有一个表现方法，就是平面密度图，它用平面上个点
47、的不同灰度或者不 同颜色来表示不同的数值分布。在plots 工具包中，对应的函数是densityplot： 在大多数情况下，将两者结合起来使用会有较好的表现效果。（只需用display 同时显示 两个图形对象就可以将两者绘制在同一张图上。） 6.9.5隐式曲面的绘制 在 Maple 中，可以绘制笛卡尔坐标系下由隐函数确定的曲面，所需的函数是plots 中的 implicitplot3d 。不过，和二维情况下一样，这个函数只能处理非奇异的曲面。 作为例子，我们绘制由隐函数 22 coshyxz 定义的旋转悬链曲面（Catenoid） ： Maple V Release 5 起步与进阶 。136
48、6.9.6多面体的绘制 多面体是立体几何中经常研究的对象，Maple 的 plots 工具包中的函数polyhedraplot 可 以直接绘制多种特殊的多面体。 作为例子，用函数polyhedraplot 绘制正十二面体（dodecahedron） 。 函数 polyhedraplot 的第一个参数是多面体的中心坐标，其他大部分选项和plot3d 等三 维绘图函数相同，它所独有的是polytype 选项， 它用来确定所绘制的多面体类型。它可以绘 制的特殊多面体种类多达123 种，这里无法一一列举，读者在需要的时候可以调用函数 polyhedra_supported() 来获得所有它能绘制的所有
49、的多面体名称。 6.10 图形动画的制作 在本章的最后一节中，将介绍 Maple 中的图形动画制作。Maple 中的动画是由一系列的 静止图形（帧）快速地连续播放形成的。最简单的制作二为图形动画的方法是使用plots 工 具包中的函数animate，如图 6.4 所示。 第六章Maple 绘图 。137 刚生成的动画对象是静止的，要播放动画， 只需要在动画对象上单击鼠标右键，在弹出 菜单中选择Animation | Play 就可以播放（也可在选中动画对象后选择主菜单Animation | Play） ，选择 Animation | Next可以单帧播放。 如果需要调整播放的速度，可以选择 Animation | Faster 或 Slower，它们分别可以加快和减慢播放速度。在默认情况下，动画只播放一遍， 选择 Animation | Continuous 可以进行循环播放。 与前面介绍过的大多数绘图函数类似，函数animate 的标准调用格式是： animate ( F(x, t), x